FC2ブログ
ひたすら受験問題を解説していくブログ
京都大学理学部2019年特色入試数学第4問
kyodai_2019_tokumath_q4.png
問題はツイッターに落ちてたものを勝手に加工

解説

ところで,[x2/100]がxは100以下の自然数という条件で取りうる値は何種類でしょうか?こんな感じの問題は超はつかない程度ですが有名問題です。本問はこれと何も変わりません。もうここでこの問題の解説はやめてしまってもいいんじゃないかってぐらいい同じです。

===上記問題の解法が分かる人は読み飛ばしてOK===
ポイントは1対1に対応するか分からないものは対応の仕方で場合分けすることです。絶対に他とはかぶらないxを見つけてやります。一歩の大きさに着目してやると,一つ前のxの時のx2/100との差つまり(2x-1)/100が1より大きければ,同数字なることはありません。
つまり場合分けは
(i)(2x-1)/100>1
この時はかぶりがないので,x一つに対して1個の値をとります。

(ii)(i)以外
この時は,ある整数になる区間を1歩でまたく事はできないので,必ずすべての整数をとります。
===ここまで読み飛ばし===

さて,本問でもDの不等式にnをかけると,
kyodai_2019_tokumath_a4_1.png

n/mの歩幅が1以上になっていたmは(m=1はそもそも不等式Dを満たさない,またn≧2とする)
kyodai_2019_tokumath_a4_2.png

よってこの範囲のmまではそのmの分だけ数えればよい。個数は
kyodai_2019_tokumath_a4_3.png

一方,この範囲外ではn/mは一個たりとも区間を飛ばせないので,
kyodai_2019_tokumath_a4_4.png

で個数は
kyodai_2019_tokumath_a4_5.png

(1)
本来は50に意味はないので試行錯誤させるためだけの問題な気がします((2)は真面目に計算しなくていいのでそのための対策かもしれませんが)。
n=50を入れます。
kyodai_2019_tokumath_a4_6.png

(2)
logとってリミットしているのでオーダーしか気にしていません。
ガウス記号をとってもオーダーは変わらないので,Tnのオーダーは√nです(足すものがともにこのオーダー)。
よって,1/2


京都大学理学部2019年特色入試に戻る
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

京都大学理学部2019年特色入試数学第1問
kyodai_2019_tokumath_q1.png

画像は例によってとあるツイッター様より窃盗

解説


普通の手法がそのまま使えるので,京大特色を受けようという人間には流れ作業ではないでしょうか?とはいえ(2)の手法を知らない人も多いかと思います。

(1)
言われていること書きだすと,n→∞でkとnがあるので,反射で区分求積に行きついて欲しいです。
kyodai_2019_tokumath_a1_1.png

(2)
まずは言われている所がどこなのかをしっかり図にしてみてください。
両方を積分の形に直すと(”(=”のあとは平均値の定理での処理用),
kyodai_2019_tokumath_a1_2.png

そして,その図を近似で求めます(本問のように収束する値との差に無限大になるものをかけたときに発散する問題はこの解き方で解けることが多いです。あと,慣れてくると平均値の定理でそのまま図を描かないで処理できます)。
網掛け(濃い部分及び薄い部分)が求めるべきところで,∞に発散することを証明するためにそれより小さい三角形を接線で考えます。本問の関数が上に凸な関数であることに注意してください。k-1≦x≦kでの比較です。
kyodai_2019_tokumath_a1_5.png

濃いところがそれより小さい近似で,横が1で高さがkでの接線でxが1増えた分の落差なので,
kyodai_2019_tokumath_a1_3.png

となります。これの2a倍は,Σ1/kより大きいので∞に発散します(下参照)。
kyodai_2019_tokumath_a1_4.png

京都大学理学部2019年特色入試に戻る

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

京都大学理学部2019年特色入試数学
今一番難しい入試と噂の京大理学部2019年特色入試の解説です。今年は一般的な大学入試から大きく外れているのは第2問ぐらいでしょうか?
個人的な難易度は2>>3>>4=1で4,1はありふれた普通の問題なのでコメントに困ります。


テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

京都大学理学部2016年特色入試数学
今一番難しい入試ですかね。京大特色は。
個人的な難易度順は第3問>第4問>>第1問>>第2問です。3,4は前期では出してはいけないぐらいでしょうね。出されて灘生とかが固まっているのも見てみたいですけど(一部は解いてきそうですが)。

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

京都大学理学部2016年特色入試数学第4問
kyodai_2016_t_math_q4.png

解説

完全に忘れていました。ごめんなさい。不等式の意味を考えてみたり,そもそもx,y,zとかになっている奴は作問者が座標を前提としているので,その枠組みで考えてみると幸せになれることが多かったりします。

まず,条件1はどうでもいいでしょう。条件3の意味はどんな点(a,b)をとっても,そのある程度近くに点(xn,yn)が存在していることを意味しています。換言すれば,点(xn,yn)の疎らさの上限を規定しています(数学的に厳密な意味での上限は指していません)。

一方,条件2はある点(xn,yn)と点(xm,ym)が離れていることを意味しており,疎らさの下限を規定するようなものです。

これをしっかりと踏まえると,これらが共存できるの?と考えていくことになります。
さて,一定以上の数学力のある皆さん,こんな問題の100だのの数字には意味はないとお気づきですね。一般化して無視してしまいましょう。

条件3自体はめんどくさいので,十二分(条件3のひし形の10倍とかでいいです。こうすることで,格子点以外の空白の有無を議論しなくてよくなります)に大きい面積Sのひし形領域を考え,最も疎らな場合よりも更に甘い条件(必要条件)を考えます。
各点(xn,yn)を含むように描いたひし形がすべての点(a,b),要するに第1象限のを重なりなく敷き詰められていることが必要です(そうじゃないとあぶれている点は条件を満たさなくなります)。こう考えれば,条件3よりも甘い(=条件2と共存しやすい)条件になります(条件3’)。

さて,条件2は2文字も考えたくないので,m=1にでも固定します。右辺は直角三角形の縦横をそれぞれs,tとすると,(s+t)2<2(s2+t2)となることから,斜辺(=点間の距離)をdnとすると100(√2)dn+100となります(真面目に求める必要すらないです)。これは距離と同じオーダーです。

ここで,点(x1,y1)から点を順番に選んでいきますが,条件3’によってひし形の隙間ができてはダメです。条件2によると,n-1<dnなので,あまりに大きいnが点(x1,y1)から近い点にあってはいけません。
点(x1,y1)から半径n-1の円の4分の1(第1象限に限られているので,最小が4分の1の円)は面積がn2のオーダーになります。
これが面積S(=定数)の図形で埋めるので,やはりn2のオーダー個だけ必要になります。

nを大きくしていくと,n2のオーダーで必要な個数は増えるのに,埋めなければいけない場所の条件2左辺は距離つまりnのオーダーなので,逆転現象が起きます。

したがって,十分大きなnにおいて,条件3’と条件2は同時に満たすことはできません。
ゆえに,それより厳しい条件3とはもってのほかです。

以上より,こんな条件を満たす数列は存在しえないです。


京大理学部2016年特色入試に戻る

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育