ひたすら受験問題を解説していくブログ
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東京大学2018年前期物理第3問
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todai_2018_phy_q3_3.png

解説

他二つよりレベルは若干落ちる感じでしょうか。
I
液体の圧力を簡易的に高さで表すと,ACの比較からp0=5hなので,ABの比較からp1=3hです。よって,

p1=3p0/5

II
(1)
Cの圧力は一定です。また,Bから排除された液体が何所に行くかを考える際にAかCです。しかし,Aの上が真空であることを考慮するとAC間の液面差は常に5hでなければなりません。よって,ともにx/2ずつ上昇します。

(2)
Vの方はそのままですね。高さの比です。
x/4h

pの方はBC間の液面差で考えます。液面はBがx減ってcがx/2増えています。ここでp1=3hから

Δp={5h-(2h-3x/2)}-3h=3x/2
よって,x/2h

(3)
W=pΔV≒p1Sx=3p0Sx/5

(4)
Bの高さxの液柱を鉛直面で2分割します(別に水平面で切ってもいいです)これらの重心は高さ2hを0の基準にとると-x/2です。これをAでは3h+3x/4だけあげていて,Cでは2h-3x/4だけ下げています。移動した液中の重さをそれぞれmだとすると
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ここで,mが液柱x/2分であり,液柱5hがp0なので,
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なお,液体の密度をρとか置いて解いてももちろんいいです。

(5)
等しくない
容器Cにおいて水面をあげる際に大気圧に対して仕事をするから。

差をとると,(3)の方がp0Sx/2大きいです。これはちょうどp0Sでx/2だけ押しのけるのに必要な仕事ですね。

III
(1)
IIで触れたようにAがh上がるならx=2hです。よって,II(1)よりΔV=1/2よって3/2倍、Δp=1よって2倍です。Tは状態方程式的にこれらをかけた物なので3倍です。

(2)
第一法則で考えます。
todai_2018_phy_a3_3.png


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東大2018大問2に抵抗を付けた場合

Q

いつもお世話になっています。
先日は同志社大のコンデンサー問題の解説ありがとうございました。
同志社大に引き続き、東大でもなかなか悩ましいコンデンサー問題を出題してくれました。
さて。
?ですが、もしスイッチ2の直上に抵抗Rが挟まれた回路であったとしたら、結果はどうなりますでしょうか。
直感的には周期Tは変わらずに減衰振動となり、最終的には金属板3の振動が止まりそうな感じですが(ジュール熱によるエネルギー散逸のため)、あっていますでしょうか。
また、発生したジュール熱の総量は「最初バネに蓄えられていた弾性エネルギー+最初にコンデンサーの系に蓄えられていた静電エネルギー」になるのでしょうか?
もし可能でありましたら数式とともに解説頂けませんでしょうか。
どうぞよろしくお願いいたします。

A


エネルギー総和はそうなります。実際の運動はかなり複雑です。というか出てくる三次方程式を解く気がしません。
やる気の出る範囲で式でゴリゴリ行くと,電圧降下と金属板3の運動方程式を連立させることになります。左回り電流をIとすると,
QA_phy_2_1.png

とすると
QA_phy_2_2.png

y=0で正であり,yの等式を微分すると全係数が正になることから,極値をとるyは二つとも負になるもしくは極値を持たないです。いずれの場合も解の実部は負になるため,xは時間の経過とともに小さくなっていきます。
実数解を3つもつときは周期成分は出てこないので負になることなく0に近づいていきます(Rが大きいと多分そうなります)。
重解も含めて実数解を三つ持たない場合はsin成分cos成分が出てきます(周期は解の虚数部分が角振動数ωなので3次関数の解の公式に入れて虚数部を出せばよいでしょう。また,解の共役性よりすべてのsinやcosの角振動数は共通です)。

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東京大学2018年前期物理第2問
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解説

極板間引力とか電位とか電場の足し算になれているかどうか。これもそこそこ難しいですね。
I
(1)
極板間引力は自身の電場からは受けません。つまりコンデンサーのEの半分を電荷Qで受けることになります。よって,
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(2)
力のつり合いからkxを求めて2乗して2kで割ります。
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(3)
極板間引力とバネをΔdでとってやります。つり合いに考慮すれば差分だけ考えればいいです。
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II
(1)
金属板3が受ける力は金属板1,2,4,5とばねから受ける力です。しかし,2,4は同じ電荷であるため打ち消しあいます。よって金属板1,5からは下向きそれに釣り合うようにバネが上向きなので,
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(2)
この辺から難しい気がしますね。
電位で考えます。金属板で区切られた領域のEを上から順に出し(上下にある電荷の総和で考えます),距離をかけていくと,
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【別解答】組合せ
金属板1,5と2,4そして3が作るEを考えて長さをかけていきます(3はx下に下がると2xだけ上下の電場の打ち消しが崩れます)。
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以下本解答と同じ

(3)
電位が0ですね。
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(4)
後は運動方程式を立てるだけです(単振動と言われたらとりあえず立てる)。
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東京大学2018年前期物理第1問
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解説

多体問題は重心から考えるか相対で考えるのがセオリーです。本問もその基本ができているかどうかですね。

I
(1)2体問題なので運動量保存則です。また,式が足りないのでエネルギー保存も立てます。小球をv,台をVだとすると
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(2)糸の下端がv,上端がVで動いているだけなので,位置が内分点になる⇒その微分である速度も内分点になります(内分比L-l:l)。よって,
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(3)横に外力が働いていないのであきらかにPと小球の重心みたいなものですね。
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【別解答】(2)の利用
(2)に運動量保存則を使います。
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(4)
少し難しめです。二物体をばねで連結したものを重心から伸びる短いばねに置き換えて考えたことがあれば解けそうですね。Qが固定なので,長さがL-l0の振り子になります。よって,
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【別解答】ガリガリいくと
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II
(1)振動中心が加速度によってずれているだけですね。maとmgが作る見かけの重力の方向を中心に単振動します。この角度をθとすると求める高さは2θのときなので,
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(2)最大の高さとかは速度が同じということです。その速度をVとしてエネルギー保存則を立てると,
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(3)少し難しめ。重心の加速度もしくは小物体の遅れや加速で考えます。はじめは台のみ加速するのでMa,最大の高さの時はその後に小球が重心より速くなるので(M+m)aより大きな力になります。
よって,イ

(4)
Qは重心相当なので横方向に外力がない以上,横方向は等速運動します。よって,at0
周期もI(4)と同じになります(Qと一緒に等速運動してみてください)。よって,
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東京大学2018年前期物理
当日はインフルで死んでたので今頃です。予備校に大分出遅れたことと確定申告に追われていたことでモチベーションが上がりませんでした。
難易度は結構難しめですね。上位受験生以外は死んだと思います。化学が簡単なので物理50分化学100分とは大分ずれた人が多いはず。

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