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ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2018年前期数学第4問
todai_2018_math_q4.png

解説

書かれている条件を数学語に翻訳していくことができるか否かですね。かなり簡単なので淡々と進んでいく問題です。

条件1,2ともに見るからにbについて変数分離な感じです。したがって,f(x)をまず図示して考えていきます。
f' (x)=3(x-a)(x+a)
よってグラフはy=bも併せて書いて
todai_2018_math_a4_1.png
1<aかつf(1)>bかつf(a)<bが条件になるので
1<a
b<1-3a^2
b>-2a^3
を描きますが,2a^3-3a^2+1=(2a+1)(a-1)^2に注意すると
todai_2018_math_a4_2.png

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東京大学2018年前期数学第3問
todai_2018_math_q3.png

解説

前に解説した実戦模試かなんかと似てますね。まあベクトルの合成で解くのは有名問題だったりもしますけど。

OQを足すことはただのx正にkだけのスライドなので、放物線をずらすだけです。
OP,OQを適当において
todai_2018_math_a3_1.png

ずらした時に放物線の左側が,ずらす前の右側を通り過ぎるか否かで場合分けが生じます。

(i)1/k≧k-1/kつまり√2≧k>0の時
todai_2018_math_a3_2.png

何でもいいのですが、x≧k/2を考えて最後に2倍、
todai_2018_math_a3_4.png

(ii)1/k<k-1/kつまり√2<kの時
todai_2018_math_a3_3.png

これも何でもいいのですが、x≧k/2を考えて最後に2倍、
todai_2018_math_a3_6.png


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東京大学2018年前期数学第2問
todai_2018_math_q2.png

解説

満点難度は今年最難でしょうか。(1)は落としちゃダメですけど。

(1)
とりあえず言われた形を計算してみます。
todai_2018_math_a2_1.png

ここで2n+1は2(n+1)-1つまり、n+1と互いに素、またnの倍数+1でnとも互いに素であることに注意し,連続する2数(というか和の公式)の形に注意しています。

(2)
todai_2018_math_a2_2.png

ここで,q系列は必ず奇数,p系列はkもしくはk+1に4の倍数が来たら偶数となります。よって,約分不能になるのでn=3までしか考える必要がありません(n+1=4でありa1=3と奇数)。よって2までを調べて終わりでn=1と2のみです。


【別解】力技
(1)における分母分子の次数に着目してみると分子は1次で分母は2次です。つまり,あるn以降はanは単調に減少していきます。分母>分子なるnはn≧4であること(2次不等式解くだけですね)に注意し,順にanを求めていくと
3
3×5/3=5
5×7/6=35/6
35/6×9/10=21/4
21/4×11/15=77/20
77/20×13/21=11・13/(20・3)
11・13/(20・3)×15/(7・4)=11・13/(4・4・7)
11・13/(4・4・7)×17/(4・9)<1
移行全て1未満
って求めても時間内にどうにでもなると思います。



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東京大学2018年前期数学第1問
todai_2018_math_q1.png

解説

増減表とはびっくりです。一応の難易度を少し上げる工夫があるので,教科書よりは難しいですが,理系なら確実に取っておきたい問題です。ちなみに自分は増減表って書かない主義なので,かなり新鮮な感じです。

グラフの概形をつかむために先にlimとっておきます。
todai_2018_math_a1_1.png
考えている範囲で連続なので奇数回折り返します。微分して
todai_2018_math_a1_2.png
ここでsin2xと2xのグラフはx=0で接してxの方が上になるので,cosxと逆符号です。つまり,cosx=0⇔x=π/2で極小です。
todai_2018_math_a1_3.png

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東京大学2018年前期数学
ごく普通の東大ですね。自分の思う難易度は2≧6>5>3>4>>1な感じです。2はできたと思っても論理が甘くて引かれている人も多そうですね。1はまさかの増減表で少しびっくりしました。

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