ひたすら受験問題を解説していくブログ
灘中学校2017年算数1日目第11問
nada_2017_math1_11q.png

解説

展開図の問題は私も苦手ですし,なんの意味があるの?中受と折り紙以外で何で役に立つの?って思いますけど,いくつか定石があります。本問では,直角三つで直立,対面が同じ図形かチェックするっていうことをしっかりやればどうにかなります。

ど真ん中に直角が三つ集まっているので,ここで直立しますそれに注目して,少し組み立てた図を描いてみます(下図左)。更に,同じ図形が2組ずつにでき,各面の付き方も同じであることから対面は同じ図形で平行になります。これに注意していけば,下図右のようになります。
nada_2017_math1_11a_1.png

正直なところ対称性から下半分は書く必要はありませんが。直角三角形の平面で切ってやると,一辺3の立方体と,高さ(6-3)の三角柱2つになります。よって,

3×3×3+2×(3×3×3÷2÷3)=36


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灘中学校2017年算数1日目第10問
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解説

断面を考えてその切断箇所を問う問題はある平面に投射した図で考えるとわかりやすいです。
OP=ORなので対称性から面OQDに投射した図を考えます。

nada_2017_math1_10a_1.png

三角形OBAとQBHの相似から,
QH=2OA/5
BH=2BA/5  ∴HD=8BA/5

三角形QHDとPADの相似から,
PA=5QH/8=OA/4  ∴OP=3OA/4=7.5

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灘中学校2017年算数1日目第9問
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解説

比が分かっている辺に沿って頂点を移動していき,底辺や高さの比から面積比にしていくことが定石です。しかしながら,本問ではGを(に)移動することができないという問題が生じてしまいます。
このような場合には,Gに関する比を求める必要があり,方法としてはGの比を使う方法と使わない方法で同一のものを表してやることが考えられます。

三角形ABCをいろいろいじって三角形FDEを作ってみます(なんとなく一番外の大きい三角形を作ることが好みです)。このときも本問はいやらしく,移動を工夫しないとできないようになっています。関連している影響度を考慮するとBまたはCの後にAの順に動かしていくのでしょうが,それではAが移動できません。そのため,三角形FDEを分割してやります。

FDE=FAD+FAE+DAE
FAD=3×1×ABC (B→F,C→D)
FAE=4×3×ABC (C→F,B→E)
DAE=1×3×ABC (C→D,B→E)
∴FDE=18×ABC

今度はAGとFGの比を使ってやると,FG=kAGとします。
FDE=1×3×k×ABC (C→D,B→E,A→F)
よって,k=6
FAD=3×ABC=(6-1)×ADG (G→F)
より3/5

【別解答1】邪道(過程不要のところを受ける受験生は大学受験生も含め覚えておくと良い手法です)
与えられている条件だけで答えが1つに求まるならば,他の条件は何でもいいです。置きやすいように置いてしまっていいので,下図のように置きます。

nada_2017_math1_9a_1.png

あとはただの直線の交点なので簡単な数学の問題です。比から
E(3,0)
F(-3,4)
Gは直線DE(y=x/3-1)とFA(y=-4x/3)の交点なので,Gのx座標は3/5です。AC=AD,AB=1なので3/5倍です。

【別解答2】ベクトル(高校生向け)
ベクトルの三角形の公式を使って両方の面積を求めます。ABをb,ACをcベクトルとします。FとEを求めて交点Gを出してやればでます。あとは適当に頑張ってください。計算めんどいです。

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灘中学校2017年算数1日目第8問
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解説

斜めがあるため一見ややこしいです。横縦で行くよりも斜めの方が最短なので,斜めの選択肢をなくす移動はダメです。そのような移動を消すと次のようになります。
nada_2017_math1_8a_1.png
斜めになっているだけで普通の4×4の最短経路問題です。AからBは2×2なので,数字を書く方法か,Cを使う方法で解けばいいです。ここでは後者で解きます。

4C2=6通り

AからCは4×4なので,

8C4=8×7×6×5÷(4×3×2×1)=70通り

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灘中学校2017年算数1日目第7問
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解説

①②
基準からのずれで考える手法が身についていると楽な問題です。全部水曜日を選べたとすると,3×5+7×(1+2+3+4)=85となって,81より4オーバーしてしまいます。
日月火水木金土の順に,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3なので,これらから5つ選んで合計を-4にしてやればよいです。
5つ選ぶには必ず+も選ばなければならないので,-5か-6をまず作ります。-5は日月ですが,どんなプラスを小さくしても+1には収まりません。なので-6を作って残り二つで+2です。つまり,木と土が不要です。


何が嫌かって,週によって選べない曜日があることですね。じゃあ,どの曜日も選べるところから考えればいいです。求めたい通りは(高校生はおなじみの集合で考えています),

全部OK-アで違反-オで違反+アオ共に違反

で求まるので,制限の多いい所から計算する定石どおりに(アで違反ならアから決める)
5×4×3×2×1-1×4×3×2×1-1×4×3×2×1+1×1×3×2×1
=3×4×3×2×1+3×2×1
=13×3×2×1
=78


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