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ひたすら受験問題を解説していくブログ
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東京大学2019年前期
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解説

やれと言われたので。
ベンゼン環の配向性がテーマのようです。最後の設問がわかりにくい気がします。


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芳香族に硝酸っていうことはニトロ化です。実験1で希硝酸でもいいのはフェノールは通常のベンゼンよりもベンゼン環の電子密度が上がっているため,電子を求めるニトロ基は付きやすくなっているからです。
実験2では反応条件が激しいのでさらにニトロ基がついているものだと考えられます。

さて,AとFの識別ですが,フェノール自体はオルトパラ配向性(ベンゼン環についている原子に非共有電子対があるので),また,Eはパラ位にNがついているので,Aはパラ位についたものになります。


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Gは激しい条件なのでオルトパラともについてピクリン酸になります。



実験3で鉄(他にはスズ,もしくはニッケルなどの触媒)によって還元しているので,Bはニトロ基がアミノ基に変わっています。
実験4のCですが,実験5が同じ試薬で塩化鉄(III)と反応しない=OHがつぶれていること,およびEでアセチル化されていること,更に,実験7ではニッケル触媒でベンゼン環を水素化させているだけっぽいことから,CはBのアミノ基がアセチル化されているものです。
Hは実験6でCと酢酸の比が1対1とあるので,HはOHもNH2もともにアセチル化されていると考えられます。
(ふと疑問なんですが,実験5で硫酸酸性だとBはアミノ基の非共有電子対が水素イオンに配位されて潰されないのだろうかと心配です。東大さんなので実験をちゃんとやっているものだとは思いますが・・・)
よって,
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エ 2
実験7からCのベンゼン環を水素付加したもの,もしくは実験8でアルコールのケトンを2級アルコールに戻したものを考えればよいので,
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この物質には不斉炭素はないですが,二重結合だけでなく,環構造の時にもシストランスが生じることは押さえておいてほしいものです。つまり,OHとアミドが同じ方向に出るものと,反対方向に向くものの2通りがありえます。

オ X:無水酢酸 Y:水酸化ナトリウム Z:水素
X:アセチル化できるものなので,候補は酢酸,無水酢酸,酢酸クロリドあたりです。この順に反応性が強くなります。また,アミンに対しては酢酸だと中和してしまって反応があまり進まないので,無水酢酸を使うことが多いと思います。酢酸クロリドは逆に反応しすぎるので,実験4でHができてしまうと思います。
Y:実験6では酢酸が生じているのでHを加水分解しているようです(エステルの加水分解,すなわちけん化)。また,実験7でC(フェノール類)とD(2級アルコール)を分けていることから,塩基だと判断できます。
Z:ニッケル,パラジウム,白金はかなりの確率で水素ですし,実際にEはベンゼン環が水素化されています。


Cはフェノール類であり水酸化ナトリウムによって中和されてイオンになり水に解けるが,Dはアルコールであり反応しないため,水に溶けず有機層に溶けるから。


オルトパラ配向性を考慮しろと間接的に書いてあるので,オルオル,オルパラ,パラパラの3通りがあります(パラオルはオルパラと同じです)。よって,
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ク 6.1
フェノールとホルムアルデヒドは2:3で反応します(フェノール1つあたり,3か所つくところがあって,一つのホルムアルデヒド,つまりメチレンが2つのフェノールで共有されているので)。よって,ホルムアルデヒドを足しますが,その際にホルムアルデヒド1つあたり水が脱水していることに注意してください。
2×C6H6O+3×CH2O-3H2O=C15H12O12
よって,44×15/(18×12÷2)≒6.11


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ホルムアルデヒドは電子密度が高い部分で起こる,ヒドロキシ基とメチル基はともにオルトパラ配向性であり,特にヒドロキシ基の配向性が強いので,このオルトとパラが3か所空いているメタクレゾールが立体網目構造を持つための3か所の結合を実現できる。また,メチル基による配向性を考慮しても,メタクレゾール以外は,3か所つくためには隣同士に重合の結合が来ることになるが,立体的な障壁によって非常に起こりにくい。

熱硬化性樹脂になるためには3個以上の手をもって立体網目構造を作ることが肝要です。
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てきとーに解くセンター物理2019年
問題は公表されているのを見てください。ちゃんと解かないでどこまでいけるかって企画です。
基本的に次元の解析(そもそも次元=単位がことなるもの,および,単位が違う者同士の足し算引き算はあり得ない)と極限を含めて変数に値を代入してやると結構解けます。

この手法は見直しや,選択問題でわからないときに使えます(どっかのマーチの問題を解いたときは7割は行きました)。

以下計算問題部分

第1問
(問2 打消しでマイナス,距離の2乗なので -4q 問3ア 計算はせず作図で0.25)

問4 
重い物載せると小さくなるので mの減少関数なので3か5
重くしまくっても高さは府にならないので3

(問5 もともと2π√(k/m)なので見かけの重力加速度の影響はない4)

第2問
問3 r→∞で断線するので0になるものは,2か4
R→∞の断線で0にはならないので2

問4
r→∞で断線するので0になるものは,4か5
R→∞の断線で0にはならないので5

第3問
(問3 普通に解くのより面倒ですが変数が3つなので異なる3点を入れてもいいです)

第4問
問1 a=0でθも0なので,1か3
a→∞で90°に近づくので3 (分からなけでは鉛筆を試験会場で動かせばいい)

問4 aが0でPと同じだけ上がるので,初めは張力ゼロだから4,5,6
係数の問題は絞りにくいのでここで断念

第6問
問1ア Vで加速って言っているのでVが入っているeV
速く振動させるほうが大変なのでEは分子でE/h

問2エ E0=E1だったら光出すはずもないので,E1ーE0

合格報告2019
受験生少なめなので,と言い訳しておきます。


【国公立】

【私立】
[医学部医学科]
岩手医大 一次合格 1名
川崎医大 合格 1名
金沢医大 一次合格 1名
聖マリ医大 一次合格 1名
埼玉医大 一次合格 1名
東北医薬大 一次合格 1名 

[その他]
青山大 経営?経済?セン利 (生徒本人が覚えてないって一体) 合格1名

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京都大学理学部2019年特色入試数学第2問
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例ツイパクだけど間違っている所を修正

解説

他の問題で順調に行ったとしても,本問に使えるのは2時間半かそこらで,その上で(2)では式を弄って形をうまく整える試行錯誤がいるので,時間的に結構つらめな気がします。他の問題に比べて反射や一本道具合が少ないので,思いつかない泥沼があり得ます。
一般入試で出すと,確実に運ゲー状態になりそうです。表記としてΠで未定義となるところ(かけ始めより)

(1)
これは普通だし割と有名ですね。項を消すように処理すればいいので,うまく代入する値を考えていきます。
(あ)の存在は次々にわり算下だけです。
F(x)を(x+1)・・・(x+n)でわって,その商cnは実数であり,その余りは高々n—1です。
今度は余りを(x+1)・・・(x+n-1)で割ることを繰り返してcnと余りを出すことを繰り返していけば,一意的にckが定まります。


(い)は両辺に(x+1)・・・(x+n)をかけて,数学的帰納法で行きます。
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(i)cnに関して
x=-nを代入すると,F(-n)=cnでありcnは整数
また,(n-n)!cn=cnであり整数

(ii)ckからcnまで全てて成立していると仮定
x=-k+1を代入すると,
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よって,F(—k+1)も整数でΣ内もすべて整数なので,第1項も整数です。

(i)(ii)より(あ)でありながら(い)を満たすものが存在します。

(2)
Pが(1)のFの様な扱いができることはすぐわかるでしょう。右辺がaまでの和になっているので,左辺をa次式以下に下げます。
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この分子はa次式であり,ちょっと違いますが,分母のΠは(1)に似ています。ということで(1)を拡張します。

補題
F(x)の条件は(1)と同じで,
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これは(あ)と同様に割り算を考えれば実数c0・・・cnが存在し一意的です。

ここでこの補題からくるc0・・・caと証明すべきものの右辺を比べるために右辺にa!b!をかけてやります。
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つまり,次の式を証明すればいいです。
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(1)同様に両辺にb!P a(x)をかけたもので考えて数学的帰納法を使います(別解のように,そもそも次数+1個のxを代入して同じになっているなら同一であることを使ってもいいです)。
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(i)q=aの時
x=-2a+1を代入すると
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となり成立します。

(ii)k≦q≦aで成立と仮定
x=-2k+3を代入すると
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ここでコンビネーション部分は左辺はa+b—k+1個からa個選ぶ組合せであり,右辺はa-k+1とbのグループを考え,各グループから選び出す人数を先に決めて選び出す組合せなので,実質的に同じものです。
したがって左辺=右辺が言え,ck・・・caまでで成立している仮定すれば,きれいに打ち消されて,
ck-1でも成立します。

以上より,与式は成立します。

【(2)】別解答
補題の前までは同じです。分母が違うので同じにしてやれば使えると考えます。xではなく2x+1を代入すると両辺は,
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です。両辺にPa(x)をかけて考えます。帰納法でもいいし,次数+1個の値を入れて同じになっていることを確かめてもいいです。ここでは後者で行きます。

x=-k(0≦k≦a)を代入すると,両辺はそれぞれ
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これもbとa-k個にグループ分けして考えたものになるので等しいです。以上よりa+1個の実数を代入して等しくなるa次式なので,与式に戻っても成立します。



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京都大学理学部2019年特色入試数学第3問
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例によってツイッターで転がっていたものを無断乞食した画像です。

解説

本問は数列とその極限に関する問題なのですが,ある数列an+1=f(an)は点(x,f(x))からy=xにx軸な平行な線を引いて,その交点からy=f(x)にy軸に平行な線を引いて、その交点からx軸に・・・・というものになっていることはご存知でしょうか?これを知っていると,収束する極値はy=xとy=f(x)の交点ですし,その収束の証明は多くの場合に平均値の定理で解くことができます。

本問ではもう一つポイントがあります。ある値になるanを探していくことは,an-1を見つけていくことになるので,関数でいうと,逆関数を求めていることになります。

(1)(2)不都合な初項になるためにはxk=2cから順にその時の(x,x)からx軸に平行に引いた直線とy=f(x)の交点を求めて,その点からy軸に平行な直線とy=xの交点を求めてとしてもいいですが,ここでは逆関数な数列をqn+1=f-1(qn),q1=2cを考えます。
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するとイメージとしてはこんな感じです。漸化式を解いて分かる様にc>1はy=xと交点を二つ以上もつというものです。
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ここで,qnが解c+√(c^2-1)に収束しつつ(これをαとします),等しくはならないことを示せばいいです。
まず,qnがα以下になるためにはqn-1が以下αでなければならないです(∵不等式の解)。
qn+1とαで差をとって平均値の定理を活用すると(f-1(x)はx>0で微分可能です),
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qn≦2cは帰納法で単調減少なのでという所です。この不等式から単調的減少してにαに近づくが一致はしないので,qnは無限に存在し,かつ,これらは全部不都合な初項になるものなので(1)が示せます。
また,f-1(x)は1対1の関数なのでqnとqn+1は1対1に対応し,数列qnに含まれない不都合な初項はありませんから,(2)も示せています。

(3)普通に漸化式を解きます。分数な漸化式なので,適当な数zを足して逆数が求められる数列に置き換えられるものを探します。
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このうち一方をβとします。|β|=1で0-π<arg(β)<πです(ただし議論の都合上βはπの無理数倍とします)。代入して解いていくと,
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|1-β2n|部分がβが無理数倍なら0にいくらでも近づくnが存在することを示します。

補題 |γ|=1で-π<arg(γ)<πがπの無理数倍のとき,任意の正数εに対して,|1-γn|<εなるnが存在する。
arg(β)≠0よりarg(γk)=k・arg(γ)>2πなる最小の自然数kが存在する。γkとγk-1の内で1により近い(絶対値の差が小さい)ものをγ1とした場合,|1-γ1|<|1-γ|/2である。-π<arg(γ1)<πで同様のことを繰り返しγ2・・・γNを定義していけば,|1-γN|<|1-γ|/2Nであり,十分大きいNをとればいくらでも小さくなる(N→∞で0に収束する)。
さて,γNはγの累乗なので,あるnが存在し,任意の正数εに対して,|1-γn|<εを満たす。

この補題から,|β2|を補題の|γ|として扱えるので,|1-β2n|がいくらでも小さくなるため,そのnにおいて,qnはいくらでも大きくできる。


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