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ひたすら受験問題を解説していくブログ
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京都大学理学部2019年特色入試数学第2問
kyodai_2019_tokumath_q2.png
例ツイパクだけど間違っている所を修正

解説

他の問題で順調に行ったとしても,本問に使えるのは2時間半かそこらで,その上で(2)では式を弄って形をうまく整える試行錯誤がいるので,時間的に結構つらめな気がします。他の問題に比べて反射や一本道具合が少ないので,思いつかない泥沼があり得ます。
一般入試で出すと,確実に運ゲー状態になりそうです。表記としてΠで未定義となるところ(かけ始めより)

(1)
これは普通だし割と有名ですね。項を消すように処理すればいいので,うまく代入する値を考えていきます。
(あ)の存在は次々にわり算下だけです。
F(x)を(x+1)・・・(x+n)でわって,その商cnは実数であり,その余りは高々n—1です。
今度は余りを(x+1)・・・(x+n-1)で割ることを繰り返してcnと余りを出すことを繰り返していけば,一意的にckが定まります。


(い)は両辺に(x+1)・・・(x+n)をかけて,数学的帰納法で行きます。
kyodai_2019_tokumath_a2_1.png

(i)cnに関して
x=-nを代入すると,F(-n)=cnでありcnは整数
また,(n-n)!cn=cnであり整数

(ii)ckからcnまで全てて成立していると仮定
x=-k+1を代入すると,
kyodai_2019_tokumath_a2_2.png

よって,F(—k+1)も整数でΣ内もすべて整数なので,第1項も整数です。

(i)(ii)より(あ)でありながら(い)を満たすものが存在します。

(2)
Pが(1)のFの様な扱いができることはすぐわかるでしょう。右辺がaまでの和になっているので,左辺をa次式以下に下げます。
kyodai_2019_tokumath_a2_3.png

この分子はa次式であり,ちょっと違いますが,分母のΠは(1)に似ています。ということで(1)を拡張します。

補題
F(x)の条件は(1)と同じで,
kyodai_2019_tokumath_a2_4.png

これは(あ)と同様に割り算を考えれば実数c0・・・cnが存在し一意的です。

ここでこの補題からくるc0・・・caと証明すべきものの右辺を比べるために右辺にa!b!をかけてやります。
kyodai_2019_tokumath_a2_5.png
つまり,次の式を証明すればいいです。
kyodai_2019_tokumath_a2_6.png

(1)同様に両辺にb!P a(x)をかけたもので考えて数学的帰納法を使います(別解のように,そもそも次数+1個のxを代入して同じになっているなら同一であることを使ってもいいです)。
kyodai_2019_tokumath_a2_7.png


(i)q=aの時
x=-2a+1を代入すると
kyodai_2019_tokumath_a2_8.png
となり成立します。

(ii)k≦q≦aで成立と仮定
x=-2k+3を代入すると
kyodai_2019_tokumath_a2_9.png

ここでコンビネーション部分は左辺はa+b—k+1個からa個選ぶ組合せであり,右辺はa-k+1とbのグループを考え,各グループから選び出す人数を先に決めて選び出す組合せなので,実質的に同じものです。
したがって左辺=右辺が言え,ck・・・caまでで成立している仮定すれば,きれいに打ち消されて,
ck-1でも成立します。

以上より,与式は成立します。

【(2)】別解答
補題の前までは同じです。分母が違うので同じにしてやれば使えると考えます。xではなく2x+1を代入すると両辺は,
kyodai_2019_tokumath_a2_10.png

です。両辺にPa(x)をかけて考えます。帰納法でもいいし,次数+1個の値を入れて同じになっていることを確かめてもいいです。ここでは後者で行きます。

x=-k(0≦k≦a)を代入すると,両辺はそれぞれ
kyodai_2019_tokumath_a2_11.png

これもbとa-k個にグループ分けして考えたものになるので等しいです。以上よりa+1個の実数を代入して等しくなるa次式なので,与式に戻っても成立します。



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京都大学理学部2019年特色入試数学第3問
kyodai_2019_tokumath_q3.png
例によってツイッターで転がっていたものを無断乞食した画像です。

解説

本問は数列とその極限に関する問題なのですが,ある数列an+1=f(an)は点(x,f(x))からy=xにx軸な平行な線を引いて,その交点からy=f(x)にy軸に平行な線を引いて、その交点からx軸に・・・・というものになっていることはご存知でしょうか?これを知っていると,収束する極値はy=xとy=f(x)の交点ですし,その収束の証明は多くの場合に平均値の定理で解くことができます。

本問ではもう一つポイントがあります。ある値になるanを探していくことは,an-1を見つけていくことになるので,関数でいうと,逆関数を求めていることになります。

(1)(2)不都合な初項になるためにはxk=2cから順にその時の(x,x)からx軸に平行に引いた直線とy=f(x)の交点を求めて,その点からy軸に平行な直線とy=xの交点を求めてとしてもいいですが,ここでは逆関数な数列をqn+1=f-1(qn),q1=2cを考えます。
kyodai_2019_tokumath_a3_1.png

するとイメージとしてはこんな感じです。漸化式を解いて分かる様にc>1はy=xと交点を二つ以上もつというものです。
kyodai_2019_tokumath_a3_2.png

ここで,qnが解c+√(c^2-1)に収束しつつ(これをαとします),等しくはならないことを示せばいいです。
まず,qnがα以下になるためにはqn-1が以下αでなければならないです(∵不等式の解)。
qn+1とαで差をとって平均値の定理を活用すると(f-1(x)はx>0で微分可能です),
kyodai_2019_tokumath_a3_3.png

qn≦2cは帰納法で単調減少なのでという所です。この不等式から単調的減少してにαに近づくが一致はしないので,qnは無限に存在し,かつ,これらは全部不都合な初項になるものなので(1)が示せます。
また,f-1(x)は1対1の関数なのでqnとqn+1は1対1に対応し,数列qnに含まれない不都合な初項はありませんから,(2)も示せています。

(3)普通に漸化式を解きます。分数な漸化式なので,適当な数zを足して逆数が求められる数列に置き換えられるものを探します。
kyodai_2019_tokumath_a3_4.png

このうち一方をβとします。|β|=1で0-π<arg(β)<πです(ただし議論の都合上βはπの無理数倍とします)。代入して解いていくと,
kyodai_2019_tokumath_a3_5.png

|1-β2n|部分がβが無理数倍なら0にいくらでも近づくnが存在することを示します。

補題 |γ|=1で-π<arg(γ)<πがπの無理数倍のとき,任意の正数εに対して,|1-γn|<εなるnが存在する。
arg(β)≠0よりarg(γk)=k・arg(γ)>2πなる最小の自然数kが存在する。γkとγk-1の内で1により近い(絶対値の差が小さい)ものをγ1とした場合,|1-γ1|<|1-γ|/2である。-π<arg(γ1)<πで同様のことを繰り返しγ2・・・γNを定義していけば,|1-γN|<|1-γ|/2Nであり,十分大きいNをとればいくらでも小さくなる(N→∞で0に収束する)。
さて,γNはγの累乗なので,あるnが存在し,任意の正数εに対して,|1-γn|<εを満たす。

この補題から,|β2|を補題の|γ|として扱えるので,|1-β2n|がいくらでも小さくなるため,そのnにおいて,qnはいくらでも大きくできる。


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京都大学理学部2019年特色入試数学第4問
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問題はツイッターに落ちてたものを勝手に加工

解説

ところで,[x2/100]がxは100以下の自然数という条件で取りうる値は何種類でしょうか?こんな感じの問題は超はつかない程度ですが有名問題です。本問はこれと何も変わりません。もうここでこの問題の解説はやめてしまってもいいんじゃないかってぐらいい同じです。

===上記問題の解法が分かる人は読み飛ばしてOK===
ポイントは1対1に対応するか分からないものは対応の仕方で場合分けすることです。絶対に他とはかぶらないxを見つけてやります。一歩の大きさに着目してやると,一つ前のxの時のx2/100との差つまり(2x-1)/100が1より大きければ,同数字なることはありません。
つまり場合分けは
(i)(2x-1)/100>1
この時はかぶりがないので,x一つに対して1個の値をとります。

(ii)(i)以外
この時は,ある整数になる区間を1歩でまたく事はできないので,必ずすべての整数をとります。
===ここまで読み飛ばし===

さて,本問でもDの不等式にnをかけると,
kyodai_2019_tokumath_a4_1.png

n/mの歩幅が1以上になっていたmは(m=1はそもそも不等式Dを満たさない,またn≧2とする)
kyodai_2019_tokumath_a4_2.png

よってこの範囲のmまではそのmの分だけ数えればよい。個数は
kyodai_2019_tokumath_a4_3.png

一方,この範囲外ではn/mは一個たりとも区間を飛ばせないので,
kyodai_2019_tokumath_a4_4.png

で個数は
kyodai_2019_tokumath_a4_5.png

(1)
本来は50に意味はないので試行錯誤させるためだけの問題な気がします((2)は真面目に計算しなくていいのでそのための対策かもしれませんが)。
n=50を入れます。
kyodai_2019_tokumath_a4_6.png

(2)
logとってリミットしているのでオーダーしか気にしていません。
ガウス記号をとってもオーダーは変わらないので,Tnのオーダーは√nです(足すものがともにこのオーダー)。
よって,1/2


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京都大学理学部2019年特色入試数学第1問
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画像は例によってとあるツイッター様より窃盗

解説


普通の手法がそのまま使えるので,京大特色を受けようという人間には流れ作業ではないでしょうか?とはいえ(2)の手法を知らない人も多いかと思います。

(1)
言われていること書きだすと,n→∞でkとnがあるので,反射で区分求積に行きついて欲しいです。
kyodai_2019_tokumath_a1_1.png

(2)
まずは言われている所がどこなのかをしっかり図にしてみてください。
両方を積分の形に直すと(”(=”のあとは平均値の定理での処理用),
kyodai_2019_tokumath_a1_2.png

そして,その図を近似で求めます(本問のように収束する値との差に無限大になるものをかけたときに発散する問題はこの解き方で解けることが多いです。あと,慣れてくると平均値の定理でそのまま図を描かないで処理できます)。
網掛け(濃い部分及び薄い部分)が求めるべきところで,∞に発散することを証明するためにそれより小さい三角形を接線で考えます。本問の関数が上に凸な関数であることに注意してください。k-1≦x≦kでの比較です。
kyodai_2019_tokumath_a1_5.png

濃いところがそれより小さい近似で,横が1で高さがkでの接線でxが1増えた分の落差なので,
kyodai_2019_tokumath_a1_3.png

となります。これの2a倍は,Σ1/kより大きいので∞に発散します(下参照)。
kyodai_2019_tokumath_a1_4.png

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京都大学理学部2019年特色入試数学
今一番難しい入試と噂の京大理学部2019年特色入試の解説です。今年は一般的な大学入試から大きく外れているのは第2問ぐらいでしょうか?
個人的な難易度は2>>3>>4=1で4,1はありふれた普通の問題なのでコメントに困ります。


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