ひたすら受験問題を解説していくブログ
灘中学校2017年算数2日目第5問
nada_2017_math2_5q.png

解説

27通りなので書きだせば余裕です。

(1)
(ア)
ルールを適用するだけです。
A:2134
AC:1342
ACB:3412

(イ)
(ア)で試したところ,Aなら2番目が前に,Bなら2番目と3番目が前に,Cだと2,3,4番目が前に来ます。後ろに行くのはいずれも1番目のみです。
4が先頭ということは4が3回の操作で3回前に来ています。
C,CB,ABC
のパターンなので,
1×2×3=6通り

3が先頭ならば,3は2回の操作で前に来ています。2番目に来てしまうとどの操作でも前に来るので,
A,BC,ABC
1×2×3=6通り

2が先頭ならば,初めにABCの何が来ても先頭になり,その後どこかに移動して1回の操作で戻ってこれなければならないので,
ABC,A,ABC
3×1×3=9通りです。

1が先頭になるのは27から上記の3つを引いたものなので,
27-6-6-9=6通り

【(1)イ別解答】先頭が1の場合
初めにABCの何が来てもどこかに飛ばされます。その後2回で戻ることを考えれば3番目に飛ばされて戻ってくるしかないです。
B,BC,ABC
1×2×3=6通り

(ウ)
3回の操作ですべての並び順が実現できることに触れないと本当はいけないのでしょうが,問題文が重複しているものが3組と教えてくれているので2が先頭のケースで重複が生じていると考えられます。
AAAとBABは上げてくれているので,他のものを考えます。
AAB:2314
AAC:2341
BAA:2314
BAC:2143
CAA:2341
CAB:2431
CAC:2413

よって,2314と2341

【(1)ウ別解答】
AAは元に戻る操作なのでないものと同じです。
すると,AAのどちらにどの操作をしても変わらないです。
したがって,AAB=BAA,AAC=CAAが得られます。

(2)
27通りで重複しているものが3組,全並び替えは24通りなので全部の並び替えが存在しています。
この場合,ある並び替えに対して逆の並び替え(逆セット)が必ず存在することになります。しかしながら問題は重複しているものです。

重複しているもののうち2134は2つペアの交換であり,自分自身の3操作が逆セットになります。それ以外の重複は重複しているもの以外が逆セットになります(2番目が1ではないと逆セットになり得ない)。
すると,9通りは次のように分類できます。

7通り
AAAおよびBBB

前者にはそのままひとつづつ逆セットが,後者は2×2=4通りです。
したがって,11通りになります。

(3)
他の数字が先頭の場合は2314と2341になる3操作の逆セットのみに注意します。つまり,合計2増えることになります。
よって,
11+3×6+2=31通り

【(3)参考】(2)を飛ばしてまとめて考える
27を(2)と同じように分類すると,
27中23については逆セットが1つ存在し(重複しているものの逆セットを除いている),2つについては逆セットがそれぞれ2通り(2314と2341が逆セット),2つについては2134となる3操作自身が逆セットで4通りです。
したがって,
23+4+4=31通り


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灘中学校2017年算数2日目第4問
nada_2017_math2_4q.png

解説

解き方が悪いのか,非常にめんどくさい問題です。ある傾きを90°回転させると縦横の関係が逆になることがポイントです(相似でいいです)。

(1)
明らかに求めにくいのがIBDとFCEですね。それ以外は,

3×3+4×4+5×5+3×4=62

となります。三角形ABCでAからBCに垂線を引いた場合,左側は比でいう3相当の方なので,IBの横方向は比でいう4方向です。
よって,
3×4/5=12/5
したがって,
IBD=12/5×5÷2=6

同様に,FCE=6です。
以上から,62+6+6=74

(2)
DJの縦=IDIの横=BIの横です。また,EKの縦=EFの横=CFの横です。
CFの横=BIの横なので,KもJもDEから同じだけ下に来ており,KJはDEと平行です。

下図((3)で使う数値も書いています)におけるJPはIBの縦+BDなので,
JP=3×3/5+5

同様に
QK=4×4/5+5

したがって,
JK=3×3/5+5+5+4×4/5+5=20となります。

nada_2017_math2_4a_1.png

同様のことをLMにやれば,16,NOにやれば12が得られます。

(3)
上図のRSTUから余分なところを引いていきます。ORとRJはORJ≡JPD,LSとKSはLSK≡KQEより出しています。

以下,計算表記の都合上すべての長さを5倍しておきます。

求める六角形=RSTU-ORJ-LKS-MTL-UVNM-OVN
=124×89-(34×12+12×41+16×16×3×4+(12×5+12×3)×7+12×12×3×4)÷2
=314×25

よって,314

【(3)別解答】こっちが普通ですね
求めにくいのはOJDIとEKLFなのでここを次のような図形を考えます。
nada_2017_math2_4a_2.png

中の直角三角形はOJDIの場合はJDPです。よって,中の正方形は
34/5-12/5=22/5
です。したがって,
OJDI=(22×22+4×12×34÷2)÷25=52

同様に,
EKLF=(29×29+4×12×41÷2)÷25=73

台形勢は,
{(5+20)×12/5+(4+16)×3+(12+3)×4}÷2=90

よって,5×5の正方形と(1)で求めた図形も足して,
25+52+73+90+74=314


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灘中学校2017年算数2日目第3問
nada_2017_math2_3q.png

解説

断面は比例関係で交点の位置を求めること,複雑な立体の体積は面を共有する図形(角錐であることが多い)で分けて考えることを徹底すれば解けます。でも嫌いです。

(1)
結論から言うと下図のようになります(Rが後から出てくるなんて・・・なので(2)のRとは無関係です)。
nada_2017_math2_3a_1.png
まず,Rの位置ですが,PB:BQ=2:1です。よって,GH:HR=2:1となり,HR=4です。Sの位置は,QF:FG=1:3なので,RD:DS=1:3です。RD=DH-HR=1なので,DS=3で中点です。

さて,ここから体積ですが,断面を底面として含むことは避けたいので,SPRQGのどれかに集中させます。ここではGが各錐の頂点だとします。
G-PBQ=6×3÷2×6÷3=18
G-PSDCB=(6×8-3×2÷2)×5÷3=75
G-SDR=3×1÷2×8÷3=4

18+75+4=97

(2)
下図のような比になっています。したがってこの面積は,

8x×6y-2x×3y÷2=45xy

です。1/3なら15xyですね。QGの高さは6yなので,RQ=5xとなります。よって,1:5です。

nada_2017_math2_3a_2.png

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灘中学校2017年算数2日目第2問
nada_2017_math2_2q.png

解説

いい解法が浮かばないですね。こんなの方程式じゃだめなんでしょうか。

(1)全部同じ時間なので,移動距離は速さの比になります。よって,歩いた距離の7倍が855mです。

初めに240-120=120の速度差,つまり歩いた距離の2倍だけ差がつき,240-60=180,つまり歩いた速度の3倍で詰めることになります。歩いた時間の2/3倍です。よって,歩いた距離の4+2/3=14/3倍だけの位置です。

855/7×14/3=570

(2)
歩き,ジョギング,走りの時間をぞれぞれx,y,zとすると,時間合計,PQ間の距離,追い抜き距離で式を立てられます。
nada_2017_math2_2a.png

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灘中学校2017年算数2日目第1問
nada_2017_math2_1q.png

解説


複雑なイメージとかがいらないので解きやすい問題です。外してはならないですね。

(1)紙の上辺下辺をしっかり追っていきます。また,追う際には五角形の辺になっているか対角線になっているかが解答欄の点の間隔からわかるので,それも参考にしてみるとよいでしょう。
とりあえず上辺を赤,下辺を青で追うと次のようになります(追加している黒い線と●は(2)用です)。

nada_2017_math2_1a.png

これを順に追ってけばいいのでしたような解答になります。
nada_2017_math2_1a_2.png

(2)
CFを結び,それが上辺下辺とどこで交点を持つのか考えていきます(上図の黒丸ですね)。折り返し回数ごとに見ていくと,
0回:下のCから出ていってF(上辺でも下辺でもない)
1回:上のCに到達
2回:上のCから下のADの中点
3回:上のBDの中点から出てF

以上を描いてみると以下のようになります。

nada_2017_math2_1a_3.png


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