ひたすら受験問題を解説していくブログ
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灘中学校2016年算数第2日目第5問
nada_2016_math2_5q.png

解説

一番出っ張っている辺と辺同士を結んでやることに気付けたかと,差分でうまく考えられたかどうかです。

(1)

面の方向は縦横高さの3方向から逆向きも含めて見れるので,基本は6面です。これに新たにできる斜めの面を足してやります。作図すると,次のように同じ方向を向いた辺の内で最も出っ張っている辺同士をつなげてあげる感じになります。
nada_2016_math2_a5_1.png

濃淡で染めた3面が新しくできるので,面の数は9面になります。


次のように増加してるものはどう計算してもよいのですが,例えば次の4つに分けます。三角柱MNE-BCF,四角すいE-AMND,四角すいD-NEGL,三角柱DNL‐IPH(PはAの立方体におけるIの下の頂点とします。)順に体積を出していけば,
三角柱MNE-BCF=1×2÷2×1=1
四角すいE-AMND=1×1×2÷3=2/3
四角すいD-NEGL=1×2×1÷3=2/3
三角柱DNL‐IPH=1×1÷2×1=1/2
したがって,全体積はもともとの5も足すので,
5+1+2/3+2/3+1/2=7+5/6です。

(2)

(1)と同様というか,一つ足されているだけなので,(1)をベースに考えます。変化がある部分のみ描いてやると,
nada_2016_math2_a5_2.png

という感じになります。薄いDXYIがDGHIの代わりだと思えば,色が濃い目の4面分だけ増えているので,13面です。


正直めんどくさいだけな気もしますが,三角柱aGX-cRS,bYH-dTU,三角すいD-aGX,I-bYH,D-aXYb,I-DBPYに分けて考えます。
三角柱aGX-cRS+bYH-dTUは二つ合わせて1です(立方体の半分です)。
三角すいD-aGX,I-bYHは二つ合わせて四角すい相当で,1×1×1÷3=1/3
三角すいD-aXYb=1×1×1÷3=1/3
三角すいY-I-DBPY=1×1÷2×1÷3=1/6
したがって,追加された立方体の体積1も加えて,7+5/6+1+1+1/3+1/3+1/6=10+2/3となります。

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灘中学校2016年算数第2日目第4問
nada_2016_math2_4q.png

解説

交換したものからAを引いているので,交換による増減を整理できるかにつきます。

(1)
ある桁とある桁を交換するとどうなるかを考えます。例えば2と8ならば,2があった桁6増えて,8だった桁は6減ります。したがって,
6×(10000000-10)=6×9×1111110だけ増えています。2数の差が10になることはないので,1111110に当たる部分が1000で割れる必要があります。つまり,千の位より左で交換が起こることが必要です。6個の数字から2つ選ぶことになるので,6×5÷2=15が答えです。

(2)
37は素数なので,1111110にあたる部分が37で割れる必要があります。適当に何倍かしてみると(例えば1111110=111111×10なので,1の連続部分が37で割れる必要があり,37の7とかけて1になることから3が一の位の数です),3×37=111が得られます。1111のような場合には111×10+1のようになるので1が3の倍数個だけ続いているもの以外は割れません。

したがって,間に差が3,6個数字が入る交換が考えられます。
3差:(1,4)~(6,9)の6通り
6差:(1,7)~(3,9)の3通り
したがって9通りです。

(3)
差×9×(1が桁数差分)×10何個か
というようになるので,9はとりあえず36回出てきます。3の回数でいうと72回です。
差の部分が3で割れるのは差が3の時と6の時で,(2)より9通りあります。また,(1が桁数差分)が3の倍数になるのも同じときです(9の倍数にはなりえません)。

以上より,72+9+9=90です。

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灘中学校2016年算数第2日目第3問
nada_2016_math2_3_1q.png
nada_2016_math2_3_2q.png

解説

斜線部分がどこに行くかは頂点のみで考えます。位置を考える場合は縦と横を個別に光源からどれくらいの距離にあるのか考えてやるとよいでしょう。(3)は立体が少し想像しにくいので計算できなかった人もそれなりにいそうです。

(1)
斜線部分を反時計回りにALMNとします。Pから各頂点に直線を引いて考えてやります。PからALMNまでは高さ3cm分なので,ABCDから3cm下に行ったところで図のように各辺と重なります。

nada_2016_math2_a3_1.png

A'L'M'N'の上側の直方体から四角すい台ALMN-A'L'M'N'を引いたものになります。四角すい台はP-LMNとP-L'M'N'の辺の相似比が1:2であることから,P-L'M'N'の1-1/2×1/2×1/2=7/8倍です。したがって,直方体が立方体の半分で,P-L'M'N'が1/3なので,6×6×6×(1/2-7/8×1/3)=36×5/4=45となります。

【別計算】
作図までは同じです。光の当たっている所を平面MM'N'N,および,MNを含んでABCDに垂直な面で切って3分割します。MM'N'Nの右はNN'Dを底面とする三角柱で面積は立方体の1/2×1/2×1/2=1/8で,LL'Bを含むものも三角柱でさっきの半分1/16であり,残った真ん中の図形はMに集まる感じの三角錐です(底面は3cm×3cmの直角二等辺三角形)。したがって,その体積は1/8×1/2×1/3=1/(16×3)です。

以上から,6×6×6×(6+3+1)/(16×3)=45です。

(2)
解き方は変わりません。図のALMN-M'N'の図形が影です(DQ=6なのでQNのAD方向は6下がって3左なので立方体の角と一致します。などと縦横それぞれ考えていけば作図できます)。
nada_2016_math2_a3_2.png

平面MM'N'Nで切ってやれば,影の部分はANN'を底面とする高さABの三角柱から,M'に集まる感じの三角錐を引けばいいので,1/4-1/12=1/6です。したがって,光が通るところは6×6×6×(1-1/6)=180となります。

(3)
これも正直解き方はおなじです。いい加減にしてください。(3)だけでいいのではないかと思います。作図の都合もあり,M'は立方体の手前の平面上の点です。BS=4,N'R=3/2,UM'=1です(光源の位置がAD方向にAから2,高さ方向に4であることから比で計算できます)。
nada_2016_math2_a3_3.png

またもや平面MM'N'N(MWM'TN'NVは全部同一平面)で切ってやって,台形柱NN'RD-VTWC,三角柱BSL-VUM,三角錐M-VUM'に分けて考えてやります。
NN'RD-VTWC=(3+3/2)÷2×6×6=81
BSL-VUM=3×4÷2×3=18
M-VUM'=1×4÷2×3÷3=2
したがって,81+18+2=101です。

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灘中学校2016年算数第2日目第2問
nada_2016_math2_2q.png

解説

二日目ではこいつだけ小学生レベルです。まあ,全部小学生が解くのですけど。

(1)
グラフ1
平らになっている所がQになだれ込んでいるので,450秒でPQともに50cm埋められています。したがって,80cmになるのは8/5倍かかります。450×8/5=720秒です。

グラフ2
まず80cmになるところは,さっきと同じで,360のところがPQともに50cmなので,360×8/5=576秒です(右)。
グラフ1からPとQの時間比が出ます。50cm埋めるのにかかる時間は240:450-240=8:7なので360の7/15倍,つまり,168秒です(左)。

(2)
(1)よりP側よりQ側が埋まるほうが早いので,168秒の時点からB由来の水がPになだれ込みます。したがって,そこで増加具合が増しているグラフ4が正解で,縦軸は168×50/240=35cmで,横軸の左端が168秒です。

ABの水量でPの15cmを埋める時間を計算すればよいので,A,Bそれぞれの1秒当たりのPの増加量を(1)のグラフから出します。Aは50/240=5/24であり,Bは50/(360-168)=25/96なので,合計15/32になります。したがって,15÷15/32=32秒なので,168+32=200秒です(真ん中)。

全部は高さ×全体にかかる時間/Pにかかる時間÷1秒当たりのPの増加量なので,80×15/8÷15/32=320秒です(右端)。


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灘中学校2016年算数第2日目第1問
nada_2016_math2_1q.png

解説

参考にあるように2進数の問題ですが,規則をしっかりとらえていけば具体的なものに関してはどうにかなるかと思います。ルールが2個ずつであるところから偶奇がかかわってくることを読み取って欲しいです。

(1)
1周目は偶数だけ残って奇数が取り除かれていく事になります。2016÷2=1008なので,1周目は終わります。割り切れているので,2016が残って2の倍数が小さい順に並んだところからスタートです。したがって,2が除かれます。

(2)
1008回目の操作で2の倍数が小さい順に並んでおり,2周目は2の倍数だけど4の倍数ではないものが取り除かれていきます。操作枠がズレない限り(1,2,3,4,5だったら5は2で割りきれないので,1周目と2周目の境界で5,2,4に操作して2周目の奇数番目が残るように操作する枠がズレます),周数が上がるごとに残っていくものが割れる2の回数が増えていきます。
2016÷2=1008
1008÷2=504
504÷2=252
252÷2=126
126÷2=63
となっており,5周目までは2016が残されるため,操作枠のズレはありません。

1000=125×23なので(上の数字でかける回数を表します。2が3回かかっています),第4周目の125÷2=62・・・1つまり,63回目に除去されます。したがって,1008+504+252+63=1827回目に除去されます。

(3)
(2)と同様にいくと,2016は6周目の最後です。63÷2=31・・・1なので,1008+504+252+126+63+31=1827+126+32=1985回目となります。

(4)
6周目(1985回目)の操作で26で割れるものしか残っていなくなりますが,読み取り枠のズレが起こり,7周目では27で割れるものが除去されてしまいます。1985回目で26が残されており,もともと26から2016-25=1984=31×26が最後なので,7周目は15回の操作でピッタリ操作が1984を残すことで終わります。
つまり,64で割れるけど128で割れないもののみが7周目の操作で残っているので,①128,②64が答えです。

(5)
もはや残っているカードは26で割って,1,3,・・・,31としてもよいでしょう,更に詰めて1,2・・・,16としても同じです。16は24なので,最後まで残ります。したがって,これはもともと31×26=1984だったはずです。

【参考】2進数による一般解(高校生以上向け)
本問は2進数表記の一桁ずつを0か1か判別して除去していく問題です。初めは
1,10,11,・・・・,11111011111,11111100000
から一番右の位が1のものを除去していきます。
10,100,・・・・,11111011110,11111100000
となりますが,一桁移動してやれば,
1,10,・・・・,1111101111,1111110000
というようにまた連続した数の列として捉えることができるようになります。続けていくと,
1,10,・・・・,111110,111111
のようになり,ここで最後のものが取り除かれてしまい,操作枠が一つずれるので,のこった,
100,・・・・,111100,111110,10
こと
10,・・・・,11110,11111,1
からは末尾が0のものが除去されていきます。
1,11,101,・・・11101,11111
が残るので,1足して一桁移動してやれば
1,10,・・・,1111,10000
となり10000が最後に取り除かれることがわかります。

さて,ここで一般の場合に最後が何になるのか考えていきましょう。求めたいカードの数をmとする時,漸化式的に行けば,m=2kの時は(2aを二進数表記でa0のようにaになる二進数に0をひとつ加えたもののように表記するとします),
1,10,・・・,(k-1)1,k0
から一周取り除くと,
10,110,・・・(k-1)0,k0
となります。これは,m=kのカード列の全部を2倍しただけなので,最後のカードを求める関数をfとすると,f(2k)=2f(k)になります。

一方,m=2k+1の時は,
1,10,・・・,(k-1)1,k0,k1
なので,一周取り除くと,
110,・・・(k-1)0,k0,10
となります。これをひとつ0を取り除いて考えれば,
11,・・・(k-1),k,1
であり,k枚のカードで開始がずれているだけです。したがって,f(2k+1)=2 (f(k)=k),2f(k)+2 (f(k)≠k)となります。

f(k)=kを満たすのは,最後に自身が取り除かれるので,2で割り続けても最後にしか奇数にならないことになるので,2の累乗系統です。

以上より,例えば2016=25×(25+24+・・・+1)なので,f(2k+1)=2f(k)+2の漸化式を解いて,25×(26-2)=1984と求められます。
もっと一般的には,2進数の右の桁から処理してあげて,0なら2倍,1なら+2をして2倍なので,11010なら,
2f(1101)=2(2f(110)+2)=2(2・2f(11)+2)=2(2・2・2+2)=20
となります。左端の1と左端から2番目の1の処理のところで二つまとめて左端から2番目の位置で2,つまり左端から二番目を右端から数えた位置が2の指数部分になってしまうことに注意し(f(2k+1)=2 (f(k)=k)のことです),それ以外の1は出てきた位置が右端から何番目であるかが2の指数部分になります。

したがって,1が2以上ある場合は左端の1をとって2倍すなわち0を右端に足す。
1が1つのみならそれが最後なので,そのままが答えになります。

この結果を改めて2016=11111100000に用いれば,11111000000=1984が答えになることがわかります。

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