ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2017年前期数学第6問
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解説

本年で唯一普通の難易度の問題です。円錐と言えばベクトルでサクッと曲面を求めたいとこです。

(1)
下図のような感じです。OQ固定なので,点PはOQを中心にくるくる回るだけです。つまり,OQとPの距離,√3/2の円です。
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したがって,
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角度は,OPもOAも固定なので,PAの長さに依存します(余弦定理でもOを中心とする半径1の円や球(APが弦)でもイメージしてください)。
PAが一番近いときはy=0のx正で平面上で90°-60°=30°,PAが一番長いときはx負で90°+60°=150°です。
したがって,30°≦θ≦150°

(2)
x=0上を動くということは(1)で考えた図形をx軸周りに回転させてできる図形です。(1)の図形の断面を考えてから回転させても同じなので,OPが(1)で作る局面を求めます。OQとなす角が60°なので,曲面上の点S(x,y,z)とすると,
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の0≦z≦1/2部分です。x=kでの断面を考えますが,回転するので結局は一番近いところと一番遠いところしか必要ではないです。回転軸からの距離ををrとし,zの範囲がk/√3≦z≦1/2となることに注意して,
todai_2017_math_a6_3.png

となります。
回転させているので普通に積分します。
todai_2017_math_a6_5.png

【(2)別解答】
角度がθのOPはy=0平面からは傾いていますが,x軸周りに回転させてしまえばもはや関係ないです。したがって,(1)で求めたθの範囲な半径1の円の扇形をx軸周りに回転させたと考えても同じ図形になります。


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東京大学2017年前期数学第5問
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解説

体系数学の問題集とかに普通にありそうな感じです。与えられている条件をただ解いていくだけですが,(2)で3本目を見つけられなかった人がいるかもしれません。

(1)
a=0だとDを突っ切るので,a≠0としてよいです。Cに関する条件,Dに関する条件を判別式の重解判定で行きます。その際にx=yに対する対称性を利用すると楽です。Cはまじめに,Dは対称性でやります。
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2条件の差をとって連立方程式を解きます。a≠-1なので,割れます。
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(2)
a=2を入れると,k=3/8,b=-5/8になります。
別の解を考えると(対称性的にb’=—b/a=5/16でもいいです)
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ここで”あれ?”となれればa≠-1の条件を思い出せます。a=—1ならば二曲線に接する条件が同じになりますが,ただ入れるだけです。
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東京大学2017年前期数学第4問
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解説

少しは数学っぽいのでしょうけど,定期テスト感が否めません。(3)までは必須。(4)も誘導が無ければ難しいかなという感じですね。

(1)
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(2)
とりあえず形を作ってみます。
todai_2017_math_a4_2.png

(3)
帰納法で行きます。(4)の都合上,自然数というか偶数を示します。
(i)n=1,2
(1)より成立します。

(ii)n=1,k-1,k (k≧2)で成立すると仮定
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偶数同士の積と偶数の和は偶数なのでn=k+1でも成立します。

(i)(ii)より,すべての自然数nで偶数になります。つまり自然数でもあります。

【(3)別解答】二項定理
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整数の和なので整数です。


(4)
最大公約数をdとすると,(3)と漸化式より,an-1もdで割れます。延々と繰り返していけば,a2もa1もdで割れます。したがって,dは18と4の最大公約数の約数です。つまり2か1です。また,(3)で偶数であることを証明しているので,2が最大公約数です。

漸化式がユークリッド互除法になっていたりします。


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東京大学2017年前期数学第3問
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解説

普通の複素数の問題です。特に面白い点もございません。zの条件式の垂直二等分線の表記を知っていたか否かが大きいのではないでしょうか。(2)は(1)の利用を考えられたかですね。

(1)
垂直二等分線の定義にwを代入していきます。
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w=1/zでwは原点にはなれないことから,中心1/α,半径1/α|の円から原点を除いたものになります。

(2)
βとβ2の線分は-1と原点の二等分線に含まれます。したがって,中心-1,半径1の円から原点を除いた図形の内で,|z|≦1すなわち|w|≧1を満たす図形です。したがって,
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【別解答】反転
|z||w|=1であり,zとwの偏角は逆回りなだけなので,原点中心の半径1の円に対して反転して実軸に対称移動したものになります。
(1)
直線は無限遠を含むので原点を通り(ただし無限遠はzは満たさない設定),一番近いα/2の移動点である2/αも通ります。
また,原点からの1/αの直線は移動後の円にも直交するため直径を通ります。
よって1/αを中心とした半径1/α|の円から原点を除いたものになります。

(2)
反転の性質上,円の内の点は外に移動します。


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東京大学2017年前期数学第2問
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解説

特徴をしっかり押さえられているかどうか。

(1)y=xとはy-x=0のことであり,(b)でいっていることは1/2の確率でy-xは大きくなるか小さくなるかの2択です。つまり,ただの数直線上のコインの移動と同値です。
6回中3回前に進めばいいので,
6C3(1/2)6=5/16

(2)
xとyを別で考えます。偶奇的に考えれば,座標が0になるためにはx,y軸に平行な移動はそれぞれ偶数回であり,そのプラスマイナスの数はxはx内で一致,yはy内で一致します。
(x移動,y移動)=(0,6),(2,4)の2倍です(xとyは操作に対称なので)
したがって
{6C3(1/4)6+6!/(2!2!1!1!)(1/4)6}×2=25/256

【別解答1】数式で
(b)の順に移動した回数をa,b,c,dとします。
a+b+c+d=6
(1)
a-c=b-dが条件です。
連立させると,
a+d=3が得られます。6回中1/2の確率のもの(aとdな移動)が3回起きればよいです。

(2)
a-c=b-d=0です。a+d=3かつc=aかつa+b=3。aを0から3まで上げていけば全場合がでます。

【(2)別解答】
y=-x上にあることを考えると,y=xにあることと独立かつ同じ確率です(一回の移動を考えればx+yの値と,x-yの値に関連性はない,つまり同確率であることが分かります)。
したがって,(1)の2乗の25/256となります。


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