ひたすら受験問題を解説していくブログ
スポンサーサイト
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
筑波大学附属駒場中学校2014年算数第4問
tsukukoma_2014_math_4q.png

解説


2チームの結果を3チームのときに使えないか,3チームの結果を4チームのときに使えないかと考えていきます。この辺の考え方は去年も出ていましたね。

(1) 最大18点,最小12点
1回の勝負で見ると,勝敗がつく場合とつかない場合しかありません。どちらが点の合計が高くなるかというと,勝敗がつく方が3点で,引き分けは2点です。よって,3点の勝負のみからなる結果が最大で,2点のみからなる結果が最小です。
試合回数は4×3÷2=6なので(自分以外のチームと対戦し,AvsBとBvsAは同じなので半分),最大が3×6=18点,最小が2×3=12点です。

(2)
9点のチームということは全勝です。よって,この段階で他のチームに入っている点は(0,0,0)で,残りの3チームで総当りすることになります。
3チームの総当りがどうなるか見ていくと,最高点が6点,4点,3点,2点の3パターンが考えられます。

(i)最高点が6点
この段階で確定している残りチームの得点は(0,0)です,これに,2チームのあり得る得点(3,0)と(1,1)を足すと,(6,3,0)と(6,1,1)が得られます。

(ii)最高点が4点
(i)同様に考えると,残りチームの確定した得点は(1,0)です。これに,2チームのあり得る得点(3,0)と(1,1)を足すと(どちらのチームが1点取っているのか不明なので,(1,0)と(0,1)の両方を考えます),(4,4,0),(4,3,1),(4,2,1),(4,1,2)となります。最後の二つは同一です。

(iii)最高点が3点
この段階で確定している残りチームの得点は(3,0)です,これに,2チームのあり得る得点(3,0)と(1,1)を足しますが,(1,1)の方は最高点が3点になりません。よって,(3,3,3)のみです。

(iv)最高点が2点
この段階で確定している残りチームの得点は(1,1)です,これに,2チームのあり得る得点(3,0)と(1,1)を足しますが,(3,0)の方は最高点が2点になりません。よって,(2,2,2)のみです。

(i)~(iv)より,(6,3,0),(6,1,1),(4,4,0),(4,3,1),(4,2,1),(3,3,3),(2,2,2)

(3) 12通り
(2)より,9点のチームがある場合には7点のチームはありませんでした。また,9点のチームの1勝を引き分けと交換しても8点は作れないので,7点のチームは最高点のチームです。

(2)同様に考えると,(1,0,0)がこの時点で確定している他の3チームの得点です。さて,(2)では実質的に3チームの総当たり戦の得点を出しているので,これに(1,0,0)を加えてやれば通り数がでます。6を含むものは1を足すと7になるので,それ以外に1を足してカウントすると,12通りになります(同じになるものに注意してください)。

筑波大付属駒場中学校2014年算数に戻る
スポンサーサイト

テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

筑波大学附属駒場中学校2014年算数第3問
tsukukoma_2014_math_3q.png

解説


濃度は逆比から求めるか,食塩(水)だけ考えてみると楽なことが多いので,片方が面倒ならもう一方を考えましょう。
今回は全体の重さは決まっているので,食塩部分だけを考える方法が楽なようです。

(1) 10.5%
2kgに入っている12%食塩水の量で考えます。水をいれて1kgの5/4にするので,1/4が水ということです。よって,12×(2-1/4)/2=21/2=10.5%

(2) 5kg
入れる水は入れる前の量の1/4なので,4kgに水1kgをいれて5kgです。

(3)6%
5kgになるまでと,なった後で分けて考えます。

5kgになるまでは,段々と入れる水の量は増えていくので,5kgにしたときが一番薄まっています。よってこれを求めます。
(1)の方法から12×(5-1/4-2×1/4-3×1/4-4×1/4)/5=12-3×(1+2+3+4)/5=6%です(5kgから各操作で入れた水の量を引くことによって,入れた食塩水の量を出しています)。

5kgになった後は交互に入れますが,食塩水⇒水という順番で同じ量入れるので,一番薄くなるのは水を入れ終わった直後で,新たにこの段階でいれる食塩水と水の混合物の濃度は6%なので,最低濃度は変わりません。

よって,6%です。

筑波大付属駒場中学校2014年算数に戻る

テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

筑波大学附属駒場中学校2014年算数第2問
tsukukoma_2014_math_2q.png

解説


平行な線で区切ってやるだけですね。これは相似な三角形を作る基本操作です。(1)は対称性から求める別解答もあげておきます。

(1) AP=10cm PQ=5cm
次の図のように線を引きます。
tsukukoma_2014_math_a2_1.png
Pを通る線に平行な線間の距離から(六角形の幅何個分かで考えてください),AP:AB=1:3,よってAP=10
Qを通ってる平行線に平行な線間の幅からAQ=30÷2=15cmであり,これからAPを引けばPQは5cmとわかります。

【(1)別解答】
よく見ると対称なので,AQはABの半分だとわかり,Qの位置も六角形の辺の真ん中だとわかります。すると,問題の図でPQを含む三角形とAPを含む三角形が相似であり,相似比が1:2であることがわかります。よって,AQ=15なので,AP=10,PQ=5となります。

(2) AP=7.5cm PQ=10.5cm
同様に平行な線を引くだけです(同じ問題を何度も出すなよという気分です)。
tsukukoma_2014_math_a2_2.png
Pを通っている線に平行な線の間隔から,AP:AB=1:4なので,AP=7.5cmです。
Qを通っている線に平行な線の間隔から,AQ:AB=3:5なので,AQ=18cmです。よって,PQ=AQ-AP=10.5cm

(3) AP=6cm PQ=6と6/7 cm
そろそろ本当にいい加減にしてください。
tsukukoma_2014_math_a2_3.png
Pを通っている線に平行な線の間隔から,AP:AB=1:5なので,AP=6cmです。
Qを通っている線に平行な線の間隔から,AQ:AB=3:7なので,AQ=90÷7=12と6/7 cmです。よって,PQ=AQ-AP=6と6/7 cm

筑波大付属駒場中学校2014年算数に戻る

テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

筑波大学附属駒場中学校2014年算数第1問
tsukukoma_2014_math_1q.png

解説


問題をざっとみると2014番目とか言い出しているので,明らかに規則性を利用した問題です。こういう問題は規則性が出るまで書き出してみるぐらいはしましょう。あとは割れる条件は整理しておくと大分計算が楽になります。

(1)
ア:7890
各位を書き出してやります。最大で10書き出してやればOKです(次の番号の一の位は前の番号の一の位が決まれば決まり,とり得る数字は0から9の10種類なので,少なくとも11回目にはどこかと同じ数字が出てきます。更にいえば,足していく数字と10の約数がいくらかで繰り返しの数がわかります。2ずつ増えていくなら10と2の最大公約数で10を割った5になりますし,5ならば10を5で割った2が約数になります。)。

・一の位
1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 以下10単位で繰り返し

・十の位
1,3,5,7,9 以下5単位で繰り返し

・百の位
1,4,7,0,3,6,9,2,5,8 以下10単位で繰り返し

・千の位
1,5,9,3,7 以下5単位で繰り返し

100番目なので,どの繰り返し単位(10と5)でも割り切れるので,各桁の繰り返しで最後の数字です。よって,7890

イ:20個
6の倍数ということは3の倍数かつ2の倍数です。3の倍数はすべての桁を足したものが3の倍数であること,2の倍数は一の位が偶数であればOKです。
アで書き出した繰り返しは最長のものが10で,それ以外も10を割れる5なので,10の繰り返し単位に何個の6の倍数があるのかを考えれば掛け算でだせます。

8番目の9258と10番目の7890のみが6で割れることを確かめるのは容易でしょう。よって,繰り返し単位に2個あるので,繰り返し数の10をかけて20個あります。

(2)
ア:2620個
(1)同様に繰り返し規則を見つけます。
・万の位
1,6 以下2単位で繰り返し

・十万の位
1,7,3,9,5 以下5単位で繰り返し

となります。あとは各桁に1がくるものが何個あるかです。一の位については,2014には202回の繰り返しと中途半端な繰り返しの初めの1があるので,203回出てきます。
他も同様に考えると,一の位から小さい順に出てくる1の数を書くと,202,403,202,403,1007,403となり,足すと2620個です。

イ:403個
8の倍数は百の位が偶数で,下二桁が8で割れるものです。当たり前ですが,各桁の繰り返し単位の最小公倍数は10なので,10個を1セットとして何個8で割れるかを考えます。下3桁を書くと,2番目の432,6番目の616の2個が割れることがわかります。

よって,2014÷10の商201に2をかけたものに,中途半端な繰り返し部分で8で割れる個数1を足して,403個が答えになります。

筑波大付属駒場中学校2014年算数に戻る

テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

筑波大学附属駒場中学校2014年算数解説
筑波大学付属駒場中学校2014年算数の解説です。第1問はパターンの問題で解き方もパターン化されています。第2問は発想できないで解けない人も結構いそうです。第3問は何に着目すれば解けるか考えられれば簡単にいくようです。第4問は再利用的な考え方ができるかできないかが分岐点です。

テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。