ひたすら受験問題を解説していくブログ
大阪大学2014年数学(挑戦枠)第2問
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解説


本問もどこかで見たことあるような形で,素数を公比とする等比数列同士の積で全ての整数を表すことは有名どころ過ぎます(正の約数の和が乗法的関数であること,つまりσ(mn)=σ(m)σ(n)であることの証明とかで見る形ですね)。まあ見たことなくても気づいて欲しいところです。(3)が少し難しめでしょうか。

(1)
理想は左辺が全部右辺に含まれると楽勝です。”×”でつながれた各部分は,素数の逆数を公比とする等比数列のn+1項目までの和です。
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また,pn,p1n>nかつなので,nまでの数は素因数分解するとp1からpnのn乗未満の積で表せます。左辺にはpnがないので,右辺が左辺を含み,逆は含まないので,左辺<右辺が成立します。

(2)
形的に(1)の分母ですし,logの和なので積だと捉えると,(1)の両辺のlogをとってみるのが自然な流れでしょう。
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左辺がn→∞で無限に発散すればいいので,左辺のlogの中が無限になることを示します(もはや常識レベルの無限級数になりますが)。単調な無限級数なので積分ではさみます(∞になる予定なので,下だけでOKです)。
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(3)
私の第1感は形を作ってみることでしたが,無理だったので(参考参照),各項の対応が取れたら楽勝という戦法に打って出ました。つまり,(2)の各項<(3)の各項ならそれで終わりです(積分の不等式で優関数を考えることと同じですね)。
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あれえええええええええ,これだと大小関係が逆になってしまいますよね。こういうときは正の定数をかけてやるのが,まずやるべき定石です。つまり正の定数Mをかけて,-log(1-x)<Mxとなれば,題意は示せるということです(もしxの和が収束するならば,Mxの和も収束します)。2以上をかけて,
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【参考】形を作ってみる
(2)のlogを掛け算して,
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これって,第2項が目的のもの,第3項以降は余計なものですが,(2)から左辺が0に収束するので右辺も・・・とか考えたのですが,私には無理そうなので,誰かにバトンタッチします。


【参考】素数の密度について
1/kの和から分母に1を含む項を除いたものを考えてみると,素数の密度がなかなか高いことが分かります。つまり,
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という和です。この級数において,分母がk桁になっているものの個数は,8×9k-1です。そして,k桁となる最初のものは,1/2×10-(k-1)であり,その桁数のいかなる項よりも大きい値になります。よって,次のような級数は先ほど考えた級数よりも大きい値になります。
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n桁になっているものまでの和をSnとでもすれば,
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となります。丁度n桁すべてまでの切りがよいところ以外も,和の単調増加性を考慮すれば同じ値に収束し,40となることがわかります。以上から元の級数も当然40未満に収束し,たった1文字を禁止にするよりも素数は多く存在することになります(1禁止の級数は桁が大きくなってくる後半において密度がガクッとさがることが大きいでしょう)。

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大阪大学2014年数学(挑戦枠)第1問
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解説

なんかそのまま大学の教科書とかに載っていそうな内容です。特に工夫もなく,これでいけたら楽なのにな的な形から入れていくだけの作業です。ただ,普段指導していて思いますが,その楽なのになという妄想を実際に手を動かせない受験生は多いです。

簡単な形は二つの関数の和や差です。微分したものが同じになることを考えれば差の方が消えてよさそうです(どっちもためしてみればいいです)。他の原始関数をG(x)とでもして,H(x)=G(x)-F(x)とします。平均値の定理より,

H(x)-H(p)=H'(c)(x-p)=(G'(c)-F'(c))(x-p)=(f(c)-f(c))(x-p)=0   (cはxとpの間の数)
∴G(x)-F(x)-G(p)+F(p)=0⇔G(x)=F(x)+G(p)-F(p)
G(p)-F(p)=Cとすれば終わりです。

【参考】コーシーの平均値の定理
分母が0にならなければ,
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大阪大学2014年数学(挑戦枠)
大阪大学2014年数学(挑戦枠)の解説です。こんなのもあるんですね。難易度的には挑戦枠というだけあって,通常の阪大よりは難しい内容になっています。内容的には大学の数学をかじっていると,かなり有利な印象でしょうか。

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大阪大学2014年数学第5問
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解説


昨年の確率の難問と打って変わって簡単な内容です。5で割ってとあるので5の余りで考えていくことになります。

(1)
(3)でpnを求めさせているので,個別に求めるのは無しでしょう。合計は5が一回も出ない場合なので,
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(2)
n回目の余りによってn+1回目の余りが1になる確率がどうなるか考察します。どのあまりの場合も対応するひとつの余りがあります。つまり,n回目が1のときは1を出せばよく,2のときは3を出せばいいといった感じです。1は2通りあることに注意し,また,qを消すために(1)を使います。
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(3)
わざわざ置き方を指定する必要はない基本的な漸化式だと思うのですが・・・。pをrで表して代入するか,指数部分で割ってやるかです。
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大阪大学2014年数学第4問
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解説


図形がイメージできてしまえばなんてことはない問題です。もし3次元でイメージしにくいようならば,一旦は2次元で考えてみてその条件を3次元に移し変えてやるといいと思います。

(1)
2次元でイメージする場合には当然ながら2次元では再現できない条件があります。そういう場合はその条件を無視してもいいです。本問では条件アと条件イを同時に満たすものは再現できませんので,とりあえずアだけで図を作ってやると(イのみで作ると数珠状に並んだ円達になります。どちらから攻めてもいいですし,片方では3次元のものを思い浮かびにくければ両方から攻めてもいいでしょう),
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中心の条件は2次元で直線,正確には点で表せるので,3次元では平面,正確には,回転体になること(2次元上の円と球の関係であり,上図を3次元に対応させるのはS同士を結んだ直線で回転です)を考えるとT系統の中心は2次元の点が3次元では円周に対応します。順番にT同士が接するようにしていけば条件イを満たせることになります。
このとき,下図のように条件となる円周上に接する多角形の頂点に存在することになります。
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Tの中心が存在する円の半径は三平方の定理より,
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となり,これとT系統が接するという事実と半径の関係から,
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(2)
こういう単純な回転体はパップスギュルると早いです。回転で重心が動く距離×回転するものの面積なので,
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球の和も求めてlimを取ると,
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【別解答】積分で回転体の体積を求める場合
半径rでaだけ離れた円の体積は,円の方程式が,
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となるので,体積は円の外側の曲線をxo,内側の曲線をxiとしてやれば,
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注:積分が半円になっていることを使っています。また最後はaとrを本問のものを代入しています。

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