ひたすら受験問題を解説していくブログ
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東京工業大学2014年数学第5問
tokodai_2014_math_q5.png

解説


言われていることを淡々とこなしていく感じの問題です。微積や数列と総合的な問題で,それぞれやっていることは期末テストに毛が生えたレベルですが,まとまると一応本年の中ではそれなりの難易度です。

(1)
初めから一般で求めてもいいのですが,流れに沿って普通にk=1で求めます。接線l1を求めます(接線にも添え字で番号をつけることとします)。
tokodai_2014_math_a5_1.png
Cからこの直線を引いて解の範囲で積分します(接点が重解なので,他の交点は1つしかありません。また,どう因数分解できるかは(x-1)で2回割れるのですぐ求まります。)
tokodai_2014_math_a5_2.png

(2)
直接求めるか漸化式かの2択ですが,明らかに一つ前の値に依存しているので漸化式でしょう。xk-1を所与だとしてxkを求めます。(1)と同じ手順です。接線を求めると
tokodai_2014_math_a5_3_0.png
これとCを連立させますが,このとき何で割れるかは明らかです。
tokodai_2014_math_a5_3.png
ここでxk=-1/3となる場合,
tokodai_2014_math_a5_4.png
となるため,x0も-1/3となってしまい矛盾します。さて,あとはこの漸化式を解くだけです。
tokodai_2014_math_a5_5.png

(3)
こういう聞かれ方の問題はSkが求まればただ代入するだけ,求まらなければレベルが少し上がって上手くはさみうつことになるでしょう。今回は前者で,まずSkをもとめてΣに代入します(積分の計算は無理やり偶関数,奇関数でやっていますが,普通にそのままやっても,xk-1だけずらしてもいいでしょう)。
tokodai_2014_math_a5_6.png



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東京工業大学2014年数学第4問
tokodai_2014_math_q4.png

解説


典型問題ですが(3)が少し計算が面倒でしょうかという感じです。回転による座標変換は行列だろうが複素平面だろうがしっかり対応できるようにしておきたいところです。

(1)
行列で(t,s)を45°回転させると,
tokodai_2014_math_a4_2.png

(2)
つまり,xとyがともに1つに定まるようなy=aなので,条件を緩和する,すなわち必要条件で考えれば,yが1つに定まるy=aです。よって,
tokodai_2014_math_a4_3.png
なので,この判別式は0になります。
tokodai_2014_math_a4_4.png
このとき,解tも一つに決まり,xにそのtを代入すればxも一つに決まります。よって,a=-1/8です。

【(2)別解答1】変換前の座標で考える
逆の操作を考えれば,x軸,y軸はそれぞれt軸,s軸を-45°回転させた軸で,また,y=aも同様に-45°すればt,s座標に移せます。つまり図にすると(y=aは点線です),
tokodai_2014_math_a4_1.png
y=aは当然s=-t+a√2なので,2次関数と連立させれば本解答と同値な式になります。

【(2)別解答2】x,yの関係式を求める
x,yの関係式を求めてしまってもいいです。(1)を上手く変形しても当然求められますし,より一般的にはs,tをx,yで表して,s,tの関係式に代入してやります。
tokodai_2014_math_a4_5.png
となり,y=aでただ一つの解を持つ場合は(判別式でもいいです),a=-1/8となります。

(3)
y軸周りの回転体なので,まずはxとyで式を立て,その後tに変換していきます(Rは右側曲線,Lは左側曲線です)。
tokodai_2014_math_a4_6.png

【(3)別解答1】バームクーヘン(別に簡単になりません。)
tokodai_2014_math_a4_7.png

【(3)別解答2】tを介さないバームクーヘン(別に簡単になりません。)
普通のバームクーヘンにおいてx,yの関係式((2)別解答2参照)をyについて解いて代入,
tokodai_2014_math_a4_8.png

【(3)別解答3】無理やりパップスギュルダン
必要なのは回転軸からの距離と,面積です。まず簡単な方の面積は,
tokodai_2014_math_a4_9.png
次に距離ですが,t,s座標系の重心から求めます。まず,t方向の重心はただの2次関数(上で積分した関数)と同値なので,tG=1/2√2です。一方,s方向はt軸周りの回転体からパップスギュルダンで逆算します。
tokodai_2014_math_a4_10.png
y軸からの距離が分かったので,パップスギュルダンに代入します。
tokodai_2014_math_a4_11.png


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東京工業大学2014年数学第3問
tokodai_2014_math_q3.png

解説


自分が解いてみたときの感想はただ、ただ、めんどくさいというものでした。こういうものは遷移の仕方をしっかりと押さえて,それを漸化式にしてやるという基本を徹底すれば解けます。

まず,A,B,Cで点がどう動くかを考えます。点(x,y)に各操作を加えると,
tokodai_2014_math_a3_2.png
となります。x,yの入れ替えと符号がつくだけなので,(0,1)スタートならば,(0,±1),(±1,0)の四点にしか行きません。図にしてやれば,
tokodai_2014_math_a3_1.png
となります。

(1)
まず,n=1の場合からいきます。図の上からはじめるので,Cとなる時のみ(0,1)になり,p1=1/3です。一方,点(0,-1)に1回で行く経路は存在しないので,q1=0です。

次にn=2の場合ですが,1回目にCに滞在したものはCで(0,1)にいれますが,(0,-1)にはいけません。1回目で左右(±1,0)に移動したものは(0,1)にも(0,-1)にも1/3でいけます。よって,
p2=3×1/3×1/3=1/3
q2=2×1/3×1/3=2/9

(2)
図から漸化式を立てます。(±1,0)にいる確率をrnとすると(±でまとめないで分けてrとsで表してもいいですが,図を見て分かる通り,全ての操作が1/3の確率なので2点は全く同一だと扱えます),
tokodai_2014_math_a3_3.png
最後のはお決まりのです。第1式と第2式の差から,
tokodai_2014_math_a3_4.png
足す方はrnが残るので,第4式で消してあげて,
tokodai_2014_math_a3_5.png

(3)
(2)で求めた漸化式を解いて連立します(解く際には(1)でn=1求めていますが,n=0に拡張してもいいです)。まず解くと,
tokodai_2014_math_a3_6.png
足して2で割ると,
tokodai_2014_math_a3_7.png

【別解答】
(2)のようにやらなくてもrnを求めていけます。第3式と第4式を連立して,p,qを消すと,
tokodai_2014_math_a3_8.png
という感じに変形して求めることができます。ポイントは∴以降の変換が典型二種類の混在になっているので、影響を与えない方の典型パターンから順に当てはめて変形していっていることでしょうか。まとまりごとに別の数列で置き換えていないのは単に面倒なだけですので,適当に脳内補完していただけると幸いです。

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東京工業大学2014年数学第2問
tokodai_2014_math_q2.png

解説


平均値の定理のcがどの程度になるかに関する問題で,(2)で求めるt/aより必ず大きくなるという問題ですね。とりあえずこれ系の不等式の基本手順を繰り返すだけの問題で,難易度は簡単目だと思います。

(1)
まず,(1)も(2)も似たようなことをやらされるので,一般のaで計算しておくと,*に同値な不等式はt>0より,
tokodai_2014_math_a2_1.png
となり,この左辺をf(t)とすると,f(0)=1-1-0・1=0となります。あとは微分がどうなるかで判断していくことになるので,
tokodai_2014_math_a2_2.png
とあらかじめ求めておきます。

さて,こういう問題は必要条件,つまり,こうだったら楽勝なのにな,という妄想から検討するのが定石なので,f'(t)>0を言えばいいのですが,ぱっと見では分かりそうにありません。どこが分からないかって言うと,()の部分が分からないことが困っている要因なので,ここをg(t)とでもおいて,g(t)>0を示すことになります(()前の指数は常に0より大きいです)。同じようなことをすればいいので,g(0)=1-1-0=0,
tokodai_2014_math_a2_3.png
となり,a=2を代入すれば,
tokodai_2014_math_a2_4.png
となるので,g(0)とあわせればg(t)>0となり,f'(t)>0がいえます。f(0)なので,f(t)>0が示せ,*が成立します。

(2)
とりあえず,これもそれ以外の場合がないかは置いておいて,自信を持って成立しないaにはどのようなものがあるかで検討します。f(0)=0なのでf'(0)<0なら0の近傍ではf(t)<0となります。こうなるaはg'(0)<0なので,
tokodai_2014_math_a2_5.png
です。それ以外のa≧2では
tokodai_2014_math_a2_7.png
という感じに示せています。したがって,a≧2です。

【参考】優関数的な考え方
もとの*の左辺はaに無関係,右辺はaの単調減少関数なので,aを増加させればより簡単に成立することが分かります。a=2で成立しているならa>2でも成立するということですね(f(t)の形で言えば,a>2ならばa=2よりも常に大きい関数(優関数)になっています)。したがって本問(2)はa<2でどうなるのか検討することがメインになります。

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東京工業大学2014年数学第1問
tokodai_2014_math_q1.png

解説


割れる割れない系の基本的な解法をそのまま当てはめれば解ける問題です。(1)(2)ともに色々なアプローチの仕方があるのではないでしょうか。とりあえず別解答を1個ずつ置いておきます。

(1)
anに関しては各要素(k-1)k(k+1)は連続する3つの整数なので,どれかは3で割れ,連続する2つの整数を含むので2で割れます。よって,6でも割れます。
したがって,anは6の倍数の和を6で割ったものなので整数です。

一方,bnはnが3以上の奇数ということなのでn=2m+1(m≧1の整数)を代入してやります。
tokodai_2014_math_a1_1.png
となり,分子は連続する2つの整数なので2の倍数となり,bnは整数です。

【(1)別解答】
anを計算して求めます。
tokodai_2014_math_a1_2.png
連続する4つの整数の積なので,4の倍数,4では割れない2の倍数,3の倍数を含みます。よって,24の倍数になり,anは整数です。

(2)
nの問題なのでとりあえず数学的帰納法です。
(i)n=3のとき
tokodai_2014_math_a1_3.png
となり4の倍数です。

(ii)
n=mを仮定した場合,n=m+2のときの成立を示すためには,それらの差
tokodai_2014_math_a1_4.png
が4の倍数であることが同値になります(差で考える方がいいのはanが級数だからです)。mが奇数であることを使うためにm=2k+1を代入します。
tokodai_2014_math_a1_5.png
となり,これは(1)から整数であり,かつ,k(k+1)は連続する2数なので2の倍数となり,4の倍数であるといえます。

(i)(ii)より,すべての3以上の奇数において4の倍数となります。

【参考】
1/3が気になる場合は
tokodai_2014_math_a1_6.png
とでもしてやれば{}の前半は当然3の倍数,後半は{}の外とかけて連続する3数になります(このように無理やり連続する数になるように変形する手法は良く使う手なのでマスターしておきたいです)。

【(2)別解答】
(1)の別解答と同様に,anを計算したものでいきます。途中でn=2k+1を代入しています。
tokodai_2014_math_a1_7.png

連続する3数の積は6の倍数なので,4の倍数となります。

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