ひたすら受験問題を解説していくブログ
桜蔭中学校2013年算数第5問
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この問題って、小学生はどれぐらい厳密に行くんだろう・・・勘で底面を長方形と決めてしまう場合が多いのでは?あと、計算し忘れが少し怖い問題。

(1)
===================以下気にしなくてOKです=========
底面の図形には直角マークが入っていないため、台形の可能性があります。
まず、底面の60cmの辺と30cmの辺の角度は直角になります(前面の上辺が右側面に垂直であり、前面はねじれないで台形になるので)。
台形なので底面奥の辺も60cmの辺に平行で、奥の辺と30cmの辺の角度は直角です。あとはこの奥の辺の長さが60cmなら底面は長方形、そうではないなら台形になります。

上面の左側の2つの頂点から底面に垂線を下ろして3:4:5の直角三角形を作ってやるか、上面と底面の左奥の頂点を結ぶ辺が左手前を結ぶ50cmの辺と平行になる(ねじれない)ことから、底面が長方形であることがわかります。
================以上====================

体積は手前の面を底面にした台形柱だと考えます。その時の底面積は(60+30)÷2×40=1800で、高さは30なので、1800×30=54000cm3です。

表面積は台形2つとそれ以外を底面の30cmの辺を一辺とするの長方形として求めます。
(60+30)÷2×40×2+(40+30+50+60)×30=30×(120+180)=9000cm2

(2)円柱の体積は5×5×3.14×40=1000×3.14=3140です。よって54000-3140=50860cm3

(3)
まず正方形と円を個別に考えて、そのあと交わっている部分を考えます。

正方形
増えるもの:正方形柱モドキの側面
減るもの:正方形Bとその反対の面


増えるもの:円柱の側面
減るもの:円Aとその反対の面

次に交わっている部分を考えます。正方形の1辺は40÷4=10cmなので、円はすっぽり正方形に入ってしまいます。
よって、正方形柱モドキの側面から円A2枚分、円柱の側面から正方形の高さ分がなくなります。

計算していきます。

正方形柱モドキの側面
側面上部のよこの長さは全体の高さの4分の1の位置にあるので、(60-30)÷4=15/2を30cmに加えたものになります。一方側面下部のよこの長さは全体の高さの4分の2の位置なので15cmを30cmに足した45cmです。
10×(30+15/2+45)+10×(30+15/2+45)÷2×2=10×165=1650です(後半は台形部分です)

正方形Bとその反対の面
50cm:40cmの比を使えば10×(10+10×5/4)=100+125=225です。

円柱の側面-正方形の高さ分
10×3.14×(40-10)=300×3.14

円Aとその反対の面+正方形柱モドキの側面に空いた円A2枚分
5×5×3.14×4=100×3.14

以上から
9000+1650-225+300×3.14-100×3.14=10425+628=11053cm2
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桜蔭中学校2013年算数第4問
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楽な道を選べばかなり早く解けるが、変な道に入ると計算量が増える問題です。難易度はそんなでもないと思います。

解答

解法のポイント
  • たてよこの一方が同じなら、同じじゃない辺の比と面積比が同じになる。
  • たてよこの双方が異なるなら、一方を無理やり合わせた図形を考える

あ:い=1:2なので横の比も1:2です。ここでいう3は300mから道幅3mを引いたものなので、(300-3)÷3=100-1=99mが(あ)の横で、(い)の横はその2倍の198mになります。
う、え、おについても同様にやると、う:え:お=3:4:5で合計12です。この12は300mから道幅3mを2つ、つまり6m引いたものになるので、(え)の横は(300-6)÷12×4=100-2=98mです(他のは分数になるため一番計算しやすいのを選んでいます)。
たてに関する情報が欲しいので、(あ)と(え)を比較してやります。そのためには、たてかよこをそろえる必要があります。(え)のよこを(あ)にそろえる(そろえたものを(え’)とします)と面積は(え)の99/98倍になります。あ:え=1:4なので、あ:え’=1:4×99/98=49:198です。合計は247であり、これが250mから道の幅3mを引いたもの、つまり247mと等しくなるので、比の1は1mになります。
よって(え’)のたて、つまり(え)のたては198mで、これによこの98mをかけて198×98=(200-2)×(100-2)=20000-600+4=19404m2

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桜蔭中学校2013年算数第3問
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一見めんどくさいだけの問題に見えますが余り計算はいりません。

解答

解法のポイント
  • 経路差で考える
(1)
待ち時間をできるだけ短くするように待つケーブルカーを選んであげるだけの作業です。時速の計算がいやなので分速になおしてやります。上りが8/60=2/15、下りが12/60で1/5です。
上り下りのケーブルカーが2km(駅やポイント間の距離)走るのにかかる時間はそれぞれ15分、10分です。
各駅やポイントに達する時間を計算していきます。
上で計算したかかる時間から、まず10分後にBが先にポイントにつきます。Bがそのまま進んだ方がBが止まってAを通過させるよりもかかる時間は少ないので、ふもと近くのポイントをBが通り過ぎるまでAが待ちます(20分後まで)。その後Aが発進します。
Bがふもとに着くのは止まっていないので30分後、Aが山頂に着くのは5分(20分-15分)止まったので45+5=50分後です。(その後それぞれ5分停車しますが、両方休めば関係ないので無視して最後に足します)。
ここまでで20分ずれています。今度はAが近いポイントに行くのは60分後です。一方Bはその時(60-30)÷15=2ポイント分なので同じチェックポイントにいるため、両者が止まらずにすれ違うことになります。

気づく人はここで気づくと思います(天才さんは計算する前から気づくのが許せませんが・・・)が、両者の経路差(AとBが走った距離を下り同士と上り同士で打ち消してやる。順序が逆な気もするが、解答の図を参照するとわかり易い)を考えれば計算しなくても止まることなく交互にふもとと山頂のポイントですれ違うことがわかります。
つまり、ふもと近くのポイントですれ違うと、次の山頂近くのポイントまでの距離はAB共に上りが2ポイント分、下りが1ポイント分になり、経路差は0となるということです。また、山頂近くのポイントですれ違う場合も同様で、次のふもと近くのポイントまでの距離は上り1ポイント分、下り2ポイント分になり、経路差は0となります。

もっと深く考察すれば、ある点ですれ違ったら、全長の半分の距離(ここでは3km)に対してその点に対称な点でもすれ違うということになります。AとBの対称性(のぼりくだりをそれぞれ交互に行なうという対称性)から出てくるものですね。

以上からグラフは以下のようになります(5分の停車を忘れずに)
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(2)
20分以降は繰り返しです。ふもとポイントのすれ違いから山頂ポイントのすれ違いは45分、逆は40分です。よって、5回目は20分+(45分+40分)×2=20分+(1時間25分)×2=3時間10分なので11時10分です。

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桜蔭中学校2013年算数第2問
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典型問題です。ただ、より頻繁に見る足し算ではなく、かけ算なので比が絡んできます。これも別解答を示しておきます。

解答

解法のポイント
  • 2つの数の組み合わせが決まってしまうものからせめてやる

基本的な解き方は足し算の場合と同じです。一番小さいものはA×B、次に小さいものはA×C、一番大きいものはC×D、次に大きいものはB×Dになります。残りはA×DとB×Cですが、これらはどちらが大きいのかはわかりません。
A×B:A×C=108:126=6:7=B:Cであり、Aは18(108:126の最大公約数)の約数であることがわかります。Aは1,2,3,6,9,18が考えられます。
また、A×C:C×D=126:252=1:2=A:Dとなります。(*)
Aを1,2,3,6,9,18と決めた場合にA<B<C<Dが成り立つものがどれかを検討します。ここで、Bは6×18÷A、Cは7×18÷Aに注目して計算します。
Aが18はB<Aとなり、だめです。
Aが1,2,3,6はD<Bとなりだめです。
よってA=9であり、B=12、C=14、D=18が答えになります(これはA<B<C<Dですね)。

別解答

*までは上と同じです(Aに何が考えられるかは不要ですが)。A×DとB×Cのどちらがどちらか特定します。
方法1 162と168のうちでB×Cのものは6でも7でも割れます。7で割れるのは168のみなのでこちらがB×Cです。
方法2 162と168を2で割ったものは、つまり81と84のうちでA×Dの方はA×Aとなっている。81つまり162の方しか考えられません。
特定ができたらA=9、B=12、C=14、D=18が簡単に求められます(Bは168÷42=4、2回かけて4になるものは2、2×6で求まります。)。

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桜蔭中学校2013年算数第1問
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(1)は必ず解けて欲しい問題です。(2)もごくごく普通の難易度だと思います。一応(2)の別解答も書いておきます。

解答

解法のポイント
  • 大きい数のものを考える時は周期性を考える。

(1)
順を追って順番に処理します。分数などは約数に分解しておくと計算がやりやすくなるでしょう。②は最善手ではないと思われます。

ouin_2013_math_1a-1.png

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(2)
10,000個になるまで数えるなんて気が遠くなります。そのため周期を見つけます。
Aの周期は休みを入れて6日、Bの方は5日です。二人の周期がずれているため面倒です。そのためずれも含めてぴったり周期的になる日数を見つけますが、これは6と5の最小公倍数になるので30日です。
30日でAさんは5日×5周期=25日働きます。よって25個×25だけ作ります。一方Bさんは4日×6周期=24日だけ働きます。よって30個×24だけ作ります。
合計すると25×25+30×24=5×(125+144)=5×269なので、これで10,000を割りますが見るからに割り切れないので、大体の数字を求められるようにごまかします。10,000÷(5×270)<10,000÷(5×269)なので、
200÷27≒7.4なので、7周期か8周期が最も近くなります。計算が楽なので8周期を基準に考えます(5にかけると10ができるので楽)。8周期では、5×269×8=10760作られているので、時間を巻き戻して、10000にしてやります。
ここからは二人ではなく、一人の周期で考えます。Aは1周期で125個、Bは1周期で120個作ります。合計すると大体245個であり、余分な760を割ると3あまり25個です(750-15で計算すると早い)。
しかしながらAの周期の日数が多いので、その調整が必要です。A基準の3周期ではBが2日多くはたらいでいます(周期から1つ戻った日は休みなので3-1です)。よって実際にはBは60個多く作っているため、A基準の3周期前では60-25=35個足りません。再び時間を進めて1日足してやればいいことがわかります。

以上から、30×8-6×3+1=223日かかるということになります。
31日の月は5,7,8,10,12,1なので、30日を一ヶ月として8かける30日進めた11月30日から17と4(11月までの31日の月の数)を引いた日が答えになります。つまり、11月9日で曜日は223÷7=(210+13)÷7よりあまりは6となり、火曜日開始で火曜日が余り1になることから日曜ということがわかります。


(2)別解答

解法のポイント
  • 平均の数値でおよその値を推測する

休みも含めたAの一日の平均は25×5÷6=125/6です。一方Bは30×4÷5=24です。これらを足すと、269/6となります。
10000をこれで割ると大体の日数がわかります。ほぼ223日です。あとは223日がAとBの周期上でどこに来るかを考えて、ちゃんとした日数を求めます。Aは223÷6=37余り1、Bは223÷5=44余り3です。これらを考慮して223日目の実際の値を求めます。
A:(37×5+1)×25=4650、B: (44×4+3)×30=5370 (いずれもカッコ内が働いた日数です)。合計すると10020であり、一日でも巻き戻すと10000より小さくなるため、223日後が正解です。これ以降は本解答と同じです。

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