ひたすら受験問題を解説していくブログ
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東京医科歯科大学2014年数学第3問
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解説


(3)以外の解法はパッと思いついて欲しいところです。(3)にも色々な解法はあると思いますが,普通に微分してしまう方法とSが積分であることを利用した方法を載せておきました。

(1)
積分してからでもいいですが,このまま微分してしまいましょう。被積分関数の原始関数をF(x)とでもして微分します。
ikashika_2014_math_a3_1.png
更に微分して凹凸具合を調べます。
ikashika_2014_math_a3_2.png

以上から上に凸であることがわかります。f(1)=0であることに注意してグラフを描くと(積分範囲を利用して0にしています),
ikashika_2014_math_a3_12.png


(参考)
積分を計算した
ikashika_2014_math_a3_3.png
は定数部分を除くと上に凸な単調増加関数の和です。ということは微分したらともに正ですし,2階微分はともに負となり,上に凸な単調増加関数になります。問題として問われなければ微分するまでもありません。

(2)
f(1)=0,x→+∞でf(x)→+∞です。なぜならば
ikashika_2014_math_a3_2_2.png
よって,f(x)の連続性とS>0であることから,中間値の定理よりf(p)=Sとなる1<pが存在します。また,(1)より単調増加関数なので,そのようなpはただ一つに定まります。

(3)
Sは正ならば任意なので,S=f(x),p=xとして,f(x)>0,つまり,x>1において
ikashika_2014_math_a3_4.png
が成立することを示せばいいだけです。x=1を代入すると等号成立は明らかです(f(1)=0なので)。ではxで微分して考えていきます。順に,
ikashika_2014_math_a3_5.png
となります。f'(1)=1/bであることに注意するとx=1において,全て等しくなります。こういう場合はもう一度微分してやるのが定石ですね。左辺と中辺の2階微分は,
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(1)で求めたf''(x)<0より,左辺<中辺が即座にいえます。中辺<右辺はeが嫌なので(微分しても残るので),対数をとってから微分します。それぞれ,
ikashika_2014_math_a3_7.png
両方正なのは明らかなので,割ってやると,
ikashika_2014_math_a3_8.png
となるので,x=1において等しいことから中辺<右辺がいえます。

【(3)別解答】優関数による解法
Sは積分であり,Sをはさむように不等式を変形してやれば,
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被積分関数と不等式をはさんでいる定数が似ています。定数部分を範囲が同じ積分で置き換えることを考えます。まずは中辺<右辺ですが,被積分関数より常に大きい関数を考えます。また,logpが出てこないことから分母は定数だと推測できるので,被積分関数を整理して分母にaを入れてやります(積分範囲においてa>0かつp>1⇒a<uです)。
ikashika_2014_math_a3_10.png
次に左辺<中辺ですが,logが生じていることに注目し,分子を最小にするようにすれば,
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となり示せました。

東京医科歯科大学2014年数学第2問
ikashika_2014_math_q2.png

解説


立体を思い描いてもいいのですが,3次元なんて特殊技能がないと無理なので想像できなくても処理できるようになりたいです。そんなときはベクトルは有用なので(2次元も3次元も同じ形であることが多い),詰まったらベクトルで考えるといいかもしれませんね。

(1)
角度は指定されていますが,一般の角度で言っても難易度は変わりません。xz平面と言うことはy=0です。各辺の内分点でy=0になるものを探してやります。
AB:中点で(0,0,sinθ)でPとする
AC:中点で(cosθ,0,0)でQとする
AD:y成分が同一なのでそのような点はありません。
BC:y成分が同一なのでそのような点はありません。
BD:中点で(-cosθ,0,0)でRとする
CD:中点で(0,0,-sinθ)でSとする

出てきた4点の内側になるので,直交する対角線の積÷2で面積が出ます(x軸で二つの三角形に分けている感じです)。
S(θ)=2sinθ×2cosθ÷2=sin2θ
∴S(π/6)=√3/2

体積ですが,先ほど考えたPQRSは図形の対称性より,Vを半分に切っています。また,その半分は考えたPQRSを底面としてAを頂点とする四角錐と,三角錐ADRS(SとRがともに中点であることからV/4の体積)となります。したがって,PQRSがxz平面上にあってAとの距離がAのy座標になることに注意すれば,

A-PQRS=1/3×S×cosθ=1/3×sin2θcosθ=V/4
⇔V(θ)=4/3×sin2θcosθ
∴V(π/6)=1

【(1)別解答1】外積によるV
外積による平行6面体の体積の公式(外積で面積の大きさで面に垂直なベクトルを出して,それと他の辺の内積をとっています)でいきますが,例によってsinはsでcosはcで略式表記です。
ikashika_2014_math_a2_1.png
これが平行6面体の符号付体積なので6で割るとVになります。
V(θ)=4/3×sin2θcosθ

【(1)別解答2】高校範囲のベクトル
単純に成分から計算すると|AC|=|AD|=2です。これらの内積も4sin2θです。よって
ikashika_2014_math_a2_2.png

次に高さを出しますが,ADCに垂直な単位ベクトルとABの内積がABのADCに垂直方向な成分になることを利用します。ADCに垂直なベクトルを求めたいので,(l,m,n)とでもすると,ACおよびADに垂直かつ長さが1なので,
ikashika_2014_math_a2_3.png
これとABの内積を取って高さを出すと,
ikashika_2014_math_a2_4.png
となるので,
ikashika_2014_math_a2_5.png

【(1)別解答3】平面の方程式の活用
AB,ADは平面の方程式lx+my+nz=0を満たします(Aを原点にとったときの平面の方程式はこう表せるので)。代入すると,
ikashika_2014_math_a2_6.png
となって別解答2と同じ式が得られます。

(参考)点と平面の距離
一般に点と平面の距離は点と直線の距離の公式において文字1つを増やしただけになります(4次元とかでも増やすだけです)。平面の方程式を
ikashika_2014_math_a2_7.png
とすれば,点(a,b,c)からの距離は
ikashika_2014_math_a2_8.png
となります。これには色々証明がありますが(ベクトルなど),ここではコーシーシュワルツの不等式を用いて考えます。求めたいものは
ikashika_2014_math_a2_9.png
の最小値です。コーシーシュワルツより,
ikashika_2014_math_a2_10.png
となり最小値が求まります。

ではこの公式でADCを通る平面とBの距離求めます。まずADCの平面を求めると(別解答で求めたl,m,nの係数でAを通るように作っています),

ikashika_2014_math_a2_11.png

となります。点Bとの間で点と平面の距離の公式を適用すれば,
ikashika_2014_math_a2_12.png


(2)
sin2θなので,0<2θ<πよりθ=π/4で最大値1です。

(3)
Vをθで微分します。
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等号成立はs=1/√3であり,sのθに対する単調増加性から,最大値だと分かります。代入すれば,
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東京医科歯科大学2014年数学第1問
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満たさないものを考えさせていたり,f(n)とg(n)と二つ出てきている辺りがヒントになるんでしょうか。

(1)
正直(2)とか(3)とか求めてから求めたいところです(腕に自信があれば設問の順番に解かなくてもいいとおもいます。)。
まずf(4)ですが,色々試してみるとそれまでに1が出てきているか否かで並べられる数字が変わってきます(1が出るまでは2か3,であとは1か3変わりません)。場合わけをすると,
1が出ない 24
1が初めに出る 23
1が2回目に出る 2×22
1が3回目に出る 22×2
1が4回目に出る 23
よって,f(4)=48

次にg(4)ですが,余事象は123が並ぶということから制約が強いため考えやすいです。場合わけをすると,
123○
12○3
1○23
○123
の可能性があります。重複に注意するため,上に書いた数字は初めて条件に関与する数字だとすると,
123○は何がはいってもいいので,3通り。
12○3は3以外が入るので,2通り。
1○23は2以外が入るので,2通り。
○123は1以外が入るので,2通り。
合計9通りです。全通りは34=81なので,72が答えです。

【(1)別解答】
f(4)も上記のg(4)と同様に考えられます。条件に関与する12の場所の組合せは,
12○△,1○2△,1○△2,○12△,○1△2,○△12
です。それぞれ順に3×3,2×3,2×2,2×3,2×2,2×2であり合計33です。81-33=48

(2)
(1)で考えたように1が出る位置で考えれば,1を含まないものだけ2nでそれ以外は2n-1になります(1が初めて出る前もあとも各位置が2通りです)。よって,
f(n)=2n+2n-1×n=2n-1(2+n)

【(2)別解答1】問題構造の再利用
本問題はg(n)を求めるのにその前段階のf(n)を活用しています。ならば,h(n)を1が一回も出ないものとして考えてやればg(n)とf(n)の関係と同様にf(n)とh(n)の関係を定められます。
ikashika_2014_math_a1_1.png

【(2)別解答2】(1)別解答の方法(余事象を直接求める方法)
余事象で考えます。条件に初めて関与する1と2を考えて,1の左は1箇所ごとに2通り,1から2の間は2通り,2の右は3通りです。よって,1がkで初めて,1の後の2がmで初めて出るとすると
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(Σは順序の入れ替えでやっていますが,そのまま等差×等比にしてもOKです)

(3)
漸化式を立てる際にg(n)から考えますが,g(n)を一様に扱えません。g(n)をf(n)に含まれるか否かで場合わけします。含まれる場合は何が出てもOKなので3通り,含まれない場合は既に1,2の並びは出ているので,3が出ないこと,つまり1,2の2通りになります。
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(4)
機械的に解くだけです。少し見慣れませんが,指数のみならよく見ますし,gの係数の指数乗で割ることは常套手段です(ほぼ無条件で階差数列に持ち込めるため)。
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【(4)別解答】(1)別解答の方法(余事象を直接求める方法)
f(n)の時と同様に考えれば,1が出るまでは2通り,次に2が出るまでには2通り,更に3が出るまでには2通り,3以降は3通りです。結局のところ,初めての1がk回目,次の2がm回目,その次の3がp回目に出るとすると,
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東京医科歯科大学2014年数学にもどる

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東京医科歯科大学2014年数学解説
東京医科歯科大学2014年数学の解説です。全体的にまあまあな難易度で,第3問>第1問>第2問ぐらいでしょうか?
第1問は遷移図をしっかり書ければ発想力がなくても解ける感じです(発想力があればコツコツはいらない感じです)。第2問はベクトルの外積を使える層には瞬殺の問題です。そうではなくても,コツコツと求めることは可能であり,難関校受験生は空間ベクトルで必ずやっている内容だと思います。第3問は(3)だけが難しい感じです。

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東京医科歯科大学2013数学第3問
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(4)だけの出題ならばかなりの難問で、受験で出すのかよと嘆きたくなるレベルですが、誘導に忠実に従っていれば特に何にも難しくありません。一応、誘導を完全に無視して解いてみた別解答を載せておきます。

解答

解法のポイント
  • 誘導設問で出てくる式との形を見比べる
  • 整数nとかの積分→積分の漸化式

(1)単純に微分して=0です。
ikashika_2013_math_3a-1.png
f(x)は全変域で微分可能な関数なので、変域の境界と上の解をf(x)に代入したもののうちで、最も大きいものを選んであげれば終わりです。x=0,1のときはf(x)=0で、残りは
ikashika_2013_math_3a-2.png
でこれは0より大きいのでこれが最大値です。

(2)
積分しますが、普通にやると骨が折れそうです。nやmが入っているので漸化式を立ててやります。求める積分をIm,nとでもすれば
ikashika_2013_math_3a-3.png
となるので、
ikashika_2013_math_3a-4.png

(3)
(i)よりg(x)=kx(1-x)と置けます(k=-aですが特に気にしなくてもいいでしょう)。
(ii)より。
ikashika_2013_math_3a-5.png
これが0<x<1で成り立つなら、右辺の最大値よりkが大きいということです。右辺て(1)と似ています。なので条件をn≧2かつm≧2と整えれば、(1)から
ikashika_2013_math_3a-6.png
となります。あとは、残ったm=1またはn=1のときどうなるかを考えます。k≧(1-x)n-1、xm-1、1の3パターンですが、いずれも1が最大値なので、k≧1です。

g(x)最大値は平方完成してやれば
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となります。よって最大値の最小値は、
ikashika_2013_math_3a-8.png

(4)
真ん中と左はどこかで見たことある形です。逆数を取ると

ikashika_2013_math_3a-9.png
となり、左辺は(2)であり、真ん中は(1)です。(1)はf(x)の最大値であり、同時にその最大値を0から1まで積分したものでもあります。つまり、全積分区間でf(x)≦(1)であり、等号成立は1点のみなのでその積分では(2)<(1)となります。
残りは真ん中の辺と右辺です。さっきと同じく逆数を取ると
ikashika_2013_math_3a-10.png
です。これを証明すればよいことになります。真ん中は(1)なのは変わりませんが、右辺はここまでに出現していないものです。しかし、(3)を使っていないため、(3)を活用できないか考えます。

(3)はその定義よりf(x)の最大値である(1)より大きく、また(1)においてm,nをそれぞれを1小さくした形を4で割ったものなので、これを繰り返してやるとm>n≧2なので、
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(4)別解答

解法のポイント
  • 積(累乗)形はlogをとってやる
  • 不等式の帰納法は両辺の増分で考える

何乗だの何乗根だのはlogを取ると手がつけられることが多いです(n項の相乗相加平均とかもlogとれば帰納法でさくっといけます)。なのでlogをとると、証明すべき不等式は
ikashika_2013_math_3a-12.png
です。左辺と真ん中をまず攻めます。一旦nを任意としてmに関する数学的帰納法で行きます(計算の都合上、(i)では拡張してm≧n≧1として証明します)。
(I)左辺>真ん中
(i)m=nのとき
以下の様になります(logでもlogとる前でもいいです)。
ikashika_2013_math_3a-13.png
しかしこれ自体がなかなか厳しい形です。なので更にn=1から数学的帰納法を適用します。
(i-i)n=m=1のとき
左辺-真ん中
ikashika_2013_math_3a-14.png
よってn=m=1のとき左辺>真ん中が成立します。
(i-ii)n≧2、かつm=nのとき
n=m=i (i≧1)のとき成立していると仮定して、n=m=iのときの不等式とn=m=i+1のときの証明すべき不等式間で両辺の差を取ると、
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これを証明するために両辺の差を取ると
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よって(i-i)、(i-ii)よりn=mなるすべての自然数において、左辺>真ん中が成立する。

(ii) m>nのとき
m=i≧nのときに成立すると仮定すると、m=iのときの不等式とm=i+1のときの証明すべき不等式間で両辺の差を取ると、
ikashika_2013_math_3a-17.png
これを証明するために両辺の差を取ると(近似にはテイラー定理といわれる平均値の定理の拡張版の2階微分バージョンを使っています。f(b)=f(a)+f’(a)(b-a)/1!+f''(c)(b-a)2/2!が成立するa<c<bが存在します。証明はg(x)=f(x)-f(a)-f’(a)(x-a)-A(x-a)2/2とおいてg(b)=g(a)=0になるAをロルの定理を適用して求めるものが有名です)
ikashika_2013_math_3a-18.png
以上から仮定の下にn≧2ならば左辺>真ん中が成立します。

(i)(ii)より、m≧n≧2を満たす自然数m,nにおいて左辺>真ん中が成立します(実際はもっと良い近似を使えば(ii)がn=1でも成立するので、m≧n≧1でも成立します。また、n=1の時にlogでもとって微分してグラフの概形を求めればわかります)。

次は真ん中>右辺です。

(II)真ん中>右辺
(iii)m=nのとき
logをとったままでもいいですしlogをとる前に戻して普通に計算してもいいです。真ん中=22n>22n-1>右辺なので、真ん中>右辺が成立します。

(iv) m>nのとき
m=i≧nのときに成立すると仮定し、logを取ったもののm=iのときの不等式とm=i+1のときの証明すべき不等式間で両辺の差を取ると、
ikashika_2013_math_3a-19.png
この左辺は平均値の定理より
ikashika_2013_math_3a-20.png
となるので、仮定の下にn≧1で真ん中>右辺が成立します。

(iii)(iv)よりm≧nなる自然数m,nにおいて真ん中>右辺が成立します。

(I)(II)よりm≧n≧2を満たす自然数m,nにおいて(4)の不等式は成立します。

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