ひたすら受験問題を解説していくブログ
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開成中学校2013年算数第3問
kaisei2013-3q.png
まず問題文が長い。似たような問題を解いたことさえあれば難易度は普通です。そうではないなら少し思考力がいるかな程度な感じです。

解答

解法のポイント
  • 水面と仕切りの速度で考える

(1)Aの水面が仕切りの上端を越えるとこぼれます。仕切りの速度は毎分1/2m、一方Aの水面の速さ(高さの変化)ですが、体積=底面積×高さなので底面積と体積の変化量を求める必要があります。底面は4つつなげると一辺8mの正方形になるので8×8÷4=16m2です。また、体積の増加量は毎分10m3なので、高さの増加は10÷16=毎分5/8mです。
水面と仕切りは向かい合って進むので5/8+1/2=毎分9/8m近づき、9÷9/8=8分であふれます。

(2)結果だけに注目します。AとBの水面が等しいときは仕切りもその水面と等しくなっています。そのため、AとBの両方に毎分10m3の水を同じ高さになるように入れていき、それが仕切りと同じ高さになるときを調べればOkです。
Bの底面は40m2なのでAB合計で56m2、つまり10÷56=毎分5/28mの速さで水面は上昇します。よって5/28+1/2=毎分19/28mなので9÷19/28=252/19=13と5/19分が答えになります。

(3)(1)まで、(1)以降(2)まで、(2)以降で分けて考えられます。(1)以降(2)までは仕切りに合わせてAの水面は減っていきます。グラフが直線になることはわかっているので、境界となる値だけ求めて結んでやれば描けます。
(1)まで:0分のとき0mからはじまり、8分で水面は8×5/8=5m上昇します。
(1)以降(2)まで:252/19分で仕切りが降りた距離は1/2をかけて126/19mであり9から引けば45/19つまり2と7/19mになります。
(2)以降:毎分5/28mで9mのところまで水面が行くには252/5つまり50と2/5分かかります。

以上からグラフは以下の図になります。
kaisei2013-3a.png
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開成中学校2013年算数第2問
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完全に典型問題とはいえないものの流水算の基本を抑えておけば対応可能な問題です。

解答

解法のポイント
  • 具体的な数値がわからない場合は基準を決めて比で処理する
  • わかりやすい状況からまき戻して考える


流水算の基本問題では出てこないボールがでてきますが、とりあえずこういうものは無視してまずはわかりやすい部分から整理してやります。
流水算の要点は上りと下りの速さの差が水の速さの2倍になっているというとこでしたね。ですので速さを求めたいのですが、そのためには距離と時間が欲しいところです。今回は時間の比(と距離の比1:1)しか与えられていないため、速さも比で考えます。よって下り(A→B)の速さを1とします。すると上り(B→A)はかかる時間が2.25倍なので、速さは4/9になります。よって水の速さは1-4/9=5/9の半分、つまり5/18になります。

さて、ここからボールを戻して(1)を解きます。ボールは水の速さなので、下り船の18/5倍の時間がかかります。それが船の往復より42秒遅いということが問題文で与えられているので、船の往復時間を求めると1+9/4=13/4となり、18/5-13/4=7/20が42秒ということになります。よって船の下り時間は120秒となり、120×18/5より7分12秒かかることになります。

次に(2)ですが、向かい合う時の時間は速さの和、追いかけるときは速さの差で距離を割ればいい、という基本をつかって解けます。今回は両方ともボールは水の速さと一緒なので、結局のところ船の静水時の速さである1-5/18=13/18が相対的な速さになります。
(ア)速さ1で120秒かかる距離を13/18の速さということは120秒×18/13=2分46と2/13秒かかるということになります。
(イ)折り返しが面倒なので船が戻り終えた時からまき戻します。この時、ボールと船の距離はボールが下り船がABにかかる時間の7/20倍で進む距離なので、7/20×5/18だけ離れています。これを速さ13/18でつめるのにかかる時間は7/20×5/18×18/13=210/13秒となります。船がBについた時間はボールがBに着く時間から42秒前なので、432-42=390秒であり、390から210/13秒まき戻した6分13と11/13秒が答えになります。
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開成中学校2013年算数第1問後半
kaisei2013-1-2q.png
(4)は典型問題で誘導(①のこと)があるため解きやすい。(5)は発想よりも注意力を問われる問題です。こういうのは嫌いです。

(4)

解答

解法のポイント
  • 平行線(正方形なども含め)に直線が引いてあるものは、錯角などで相似な図形を見つけてあげる
  • 同じようなものには同じ解法を使う

①ですが、HBFでわかっているものはBFです。よってそれを底辺として高さを求めれば終わりになります。直接求めることは灘中2013一日目第9問解答3で解説したとおり可能ですが、相似を使っていく方が本筋です。ではHBFと相似なものはないのかですが、相似のありがちなパターンは決まっています。平行線の錯角(平行線までにクロスした直線2本でできる)、平行線の同位角(平行線を越えてクロスする直線2本や、中点同士などを結ぶとできる)、直角三角形の直角から斜辺への垂線、円に接する四角形の2辺を伸ばしてできるアレ、の4つが代表的です。

さて、うんちくは置いておいて、ここでは錯角です。つまりHDAが相似な三角形になっており、相似比は1:2です。よって、高さはABの1/3となり、2/3です。よって1×2/3÷2=1/3cm2が答えです。

つづいて②ですが、GEBHと①の関係を見ればあとは三角形AGEがわかればABFから引いて求められると気づくのではないでしょうか。
AGEってぱっと見、成り立ちが①のBHFに似てませんか?なら同じように処理してやればいいのです。①では平行線の錯角な相似三角形を使ったので、今回も探してやりますが、見当たりません。なら作ってしまえばOKです。AFとDCを伸ばして交わらせれば同じような図になります。この交点をIとします。するとAGEとIGEは相似になり、相似比はABFとICFも相似というか合同な三角形になるので1:4となることがわかります(DI=4です)。よって、2/5がABFの高さなので、1/5が面積となり、ABF=1よりGEBH=1-1/3-1/5=7/15cm2となります。

(5)

解答

解法のポイント
  • 位ごとに分けて考える
  • 逆向きに考える
  • (桁数の制限をとっぱらって一般化する)
0に注意する問題です。①ですが、十の位を四捨五入して200ができるものは150から190、210から240なので計9つあります。1の位を四捨五入して200になるためには19□で五入か、20□で四捨されるかです。よって195から199、201から204の合計9つあります(2万になるもののように桁数がおおかろうが、199□0や200□0のように一桁ずつ考えれば前者が各桁で5種、後者が4種あるので、9×(桁数-1)になります。)。よって合計18個です。

②ですが、最後の結果がわかっているのでそこから逆にたどってやります。イが0ではなく、イを入れると0になるということは、イは1から4の数字が1つと0で成り立っている(問題文の2000がその例です)。よってイは100から400、注意が必要ですが1000(例えば999を機械に入れるとできます)が考えられます。アが3桁なので、100と1000だけ注意が必要です。それ以外のものは3パターンあり、①をそのまま適用できるので、3×18=54です。

100になるものは①と同様の考察によって4×2で8個、1000になるものは5×3で15個です。よって77個が答えです。

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開成中学校2013年算数第1問前半
kaisei2013-1q.png
定型的な問題ばかりなのでいかに早く解くかだけです。

(1)

解答

解法のポイント
  • 3つの数のそれぞれの差が何であるか意識する
  • 1つの数を決めて、その数との差で他の数を考える

4つの数のうちの3つの和ということは1つだけ数が抜けているということになります。つまり、大きいほうからABCDだとすれば、与えられている数字では順にA,B,C,Dが抜けているということになります。求める数がAなのでAを基準にとります。
すると、AとBの差は194-180=14、AとCの差は206-180=26となります。215がA+B+Cなので3×A-40=215となり、Aは85だとわかります。

(2)

解答

解法のポイント
  • 邪魔者は排除する(余り)
  • 公約数は最大公約数の約数
  • 割る数は余りより大きい

まず余りがある時点で私は吐き気が・・・なので余りさんには退場していただきます。つまり割られる数から余りを引けば割り切れてしまうので幸せということです。
11550も6930もAで割れるということになるので、Aはこれらの公約数です。よって、まずは最大公約数を求めます。普通(?)にやってもいいのですが、面倒なのでユーグリッド互除法で求めます。11550-6930=4620、6930-4620=2310、4620-2310×2=0です。よって2310が最大公約数です。因数分解すると2×3×5×7×11となります。
あとは因数に2を含まず3を含み、23より大きいものを探します。
すると、3×5×7×11、3×5×7、3×5×11、3×7×11、3×11になります。つまり、1155,105,165,231,33が答えです。

(3)

解答

解法のポイント
  • 接する円の中心間の距離は半径の和
  • 接線と中心を結ぶ角は直角。
  • 60度の三角形の短い辺は斜辺の半分

無理やりポイントを書こうとしてまとまりませんでしたが、これは典型的な問題で、この形を見たら下図の様な補助線をまず思いつくぐらいでいいと思います。60度の角なので直角三角形を作ってやりたいという発想だったりもします。
kaisei2013-1a.png
求めなければいけないものはXの半径XHですが、XH=XQ+QH=XQ+4になっています(①)。XQがわかれば終わりです。XQはXY=XP+PY=XH+4の半分なので①にいれてやれば、XH=XH÷2+6となるので、XHは12とわかります。異常から面積は12×12×3.14で452.16cm2となります。

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開成中学校2013年算数解説
開成中算数(2013年)の解説です。開成志望の人には申し訳ないですが、先日解説した灘に比べると問題がしょぼいです。問題に数学的な奥深さが全く感じられないので、私の琴線に触れた問題はありませんでした(ぎりぎり第1問の5ぐらいですかね)。
いきなり毒はいてすみません。

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