ひたすら受験問題を解説していくブログ
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雙葉中学校2013年算数第6問
futaba_2013_math_6q.png
やり方が悪いのか結構めんどくさい問題です。しかも最初は長方形を作って正方形を作るという部分を見逃していて更にめんどくさいので一人で切れていました。難易度は時間的な消費を含めて中の上ぐらいでしょうか?

解答

解法のポイント
  • 決定的な条件が見つからないなら弱い条件を見つけて絞ってやる

(1)
使うパーツのうちで最も短い辺が最も長いのはAで3マスです。よって内側に正方形を入れることを考えれば、3+3+1で、一辺が7マス以上の外側正方形しかできません。小さいものから順番に検討していきます。
(I)7マスの場合
上で説明したことから7マスの外側正方形では内側正方形は1マスです。よって、中間のパーツとなる長方形は3×4マスになります。つまり12マスです。(問題文に長方形の形だけでなく使う種類のパーツも同じと書いていないのですが、たぶん同じなので)最低で各パーツを1度は使うため9+4+4=17マス以上でなければなりません。よって7マスの場合はあり得ません。

(II)8マスの場合
内側が2マスのみあり得ます。この場合は3×5マスの長方形が中間パーツです。つまり15マスなのでこれも(I)と同じ理由でだめです。

(III)9マスの場合
内側は1マスもしくは3マスの2通りがあり得ます。
(III-I)1マスの場合
中間パーツは4×5です。これは17マス以上ですが、17マスに一番小さい4マスのパーツを加えると21マスとなり、20マスの中間パーツは作れないため、これもだめです。
(III-II)
中間パーツは3×6で、(III-II)と同様な理由でダメです。

(IV)10マスの場合
内側は2マス、4マスの2通りがあり得ます。
(IV-I)2マスの場合
中間パーツは4×6です。こでも17マスにどう4や9を足しても24にならないためダメです。

(IV-II)4マスの場合
中間パーツは3×7で21マスであり、17マスに4マスを加えたものなのであり得ます。考えられるパーツとしては、A1,B2,C1かA1,B1,C2の二つです。あとは試行錯誤で見つけると、A1,B2,C1しか中間パーツの長方形を作れません。

これを4倍すればいいのでA:4個、B:8個、C:4個で10マス=100cmを一辺とする花壇です。

(2)

中間パーツは3×13で39マスです。最低限必要なパーツは9+4+5=18なので、これを引くと21マスです。21マスを9,4,5で作ることを考えると、9=4,5に注目して4,5のみでまずは考えてみます。鶴亀的に4で全部やってそれを5と交換することを考えます。
21÷4=5余り1です。1つ5にかえると、1増えるので1つかえると21=4×4+5×1となります。5と4の最小公倍数は20=4×5なので、他のパターンは考えられません。
これに4,5で9にするパターンを考えてやれば4×4+5×1、9×1+4×3+5×0の2パターンで、一番最初に引いた18を戻すと、9×1+4×5+5×2、9×2+4×4+5×1つまり、A:1,B:5,D:2かA:2,B:4,D:1しか考えられません。
これらで、少し試行錯誤してやれば、前者のA:1,B:5,C:2であることが分かるので、4倍すると、A:4個,B:20個,D:8個が答えになります。


(1)と同様に考えていきます。まず、内側の正方形は一辺2マス、4マス、6マスの3通りが考えられます。
(i)2マスの場合
中間パーツは5×7となります。つまり35なのでここから最低マス数の18を引くと、17マスです。①と同様に考えると、17÷4=4余り1なので、4×3+5×1です。9との交換を考えつつはじめの18マスを戻すと、A:1,B:4,D:2かA:2,B:3,D:1の2通りが考えられます。 これらを試行錯誤してやると(AやDなど制限の多いものから順に考えましょう)、後者で次の長方形が作れます。
futaba_2013_math_6a-1.png

(ii)4マスの場合
中間パーツは4×8となります。つまり32なのでここから最低マス数の18を引くと、14マスです。14÷4=3余り2なので、4×1+5×2です。9との交換を考えつつはじめの18マスを戻すと、A:1,B:2,D:3かA:2,B:1,D:2の2通りが考えられます。 これらを試行錯誤してやると、後者で次の長方形が作れます。
futaba_2013_math_6a-2.png

(iii)6マスの場合
中間パーツは3×9となり、27マスです。最低マス数の18を引くと、9マスです。つまり4×1+5×1なので、これを9との交換を考えつつはじめの18マスを戻すと、A:1,B:2,D:2かA:2,B:1,D:1になります。これも制限の多いAとかDから試行錯誤してやると、どうあがいても長方形が作れないことがわかります。

以上から上であげた図が正解です。
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雙葉中学校2013年算数第5問
futaba_2013_math_5q.png


解答

解法のポイント
  • とりあえず過程を無視して結果だけ見てみる

初めに持っているお金は13万円で、最後には47284円になっているということは、82716円使ったということです。
使ったお金は250ドル+540ユーロなので、これが82716円ということですが、ドルとユーロが混じっているとわかりにくいし、求めるものが円とユーロの関係なので、ドルをユーロに統一してやります。1000ドルが768ユーロなので、250ドルはその4分の1の192ユーロです。
よって82716円=192+540=732ユーロなので1ユーロ=82716÷732=113円です。

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雙葉中学校2013年算数第4問
futaba_2013_math_4q.png
少し面倒なだけです。というか(2)で千羽鶴=千羽まで折ること、に気づくのが苦戦しました。 千羽鶴って100羽でも千羽鶴って言われるし、わかりにくいのだが。

解答

解法のポイント
  • できるだけ大きいまとまりで考えていく

  • (1)
    3人で10分当たりに5+8+11=24羽折ります。よって4時間20分=260分では260÷10×24=(30-4)×(20+4)=600+40-16=624羽

    (2)
    (1)の時点で残りは376羽です。3人がそれぞれ1回休む間(1セット)に折る鶴を考えると、全体の2/3だけ各人は稼動するので、10分当たり24×2/3=16羽です。よって1セットで16×5×3=240羽折れるので、残りは136羽です。
    A休み、B休みのときに50分で作れる羽数はそれぞれ19×5=95、16×5=80であり、これらの和は136を超えるため、B休みのときに折り終わります。
    136-95=41羽であり、これはB休みの総量80羽の半分強です。なので、半分の25分経過した時を考えると、Aは5×5÷2=12.5より12羽と半分折っています。一方Cは40-12.5=27.5より27羽と半分折っています。
    のこりは2羽であり、Cが折る早さはAよりはやく、Aの3倍より遅いので(Aが0.5折る間に1.5は折れない)Aが最後に折ったことになります。
    ここまでの合計を足すと4時間20分+50分×3+50分+25分+2分×0.5=8時間6分となります(最後の2分はAが1羽を折る時間で、10÷5=2です)。

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雙葉中学校2013年算数第3問
futaba_2013_math_3q.png
やっていることはすごく簡単ですが(2)が引っ掛け問題なので注意が必要です。

解答

解法のポイント
  • 簡単な比で扱えるものは実際の数値よりもまず比で処理する

(1)
水位の増加量が2cm3と小さく、時間の計算が面倒なので、比で計算しやすい高さから求めます。
まず、水の増減は底面積に反比例します。よってAの減少:Bの増加=12×4:16×5=3:5です。初めの水位差は15-7=8cmです。よってこれを3:5に分けることになるので、15-8×3/8=12cmです。

Aは3cm減ったので、3×16×5cm3だけ水量が減っています。毎秒2cm3なので、3×16×5÷2=120秒=2分00秒となります。

(2)
Bの流れを見ると毎秒2cm3入って、3cm3出て行くため、合計で1cm3出て行くことになりますが、これはAに水があることが条件です。そのため、AよりBが先に空になるとした場合と、AよりBが後で空になる場合を考えてやります。
前者は、Bの水量=12×12×4cm3を毎秒1cm3で割るので、12×12×4秒です。
後者は結局のところ水を全部出したことになるので、Aとの連結部は無視して全体で考えればOKです。12×(12×4+16×5)÷3です。ここで、16×5は12×4の2倍より小さいので、後者の方が早い時間で起こります。

よって、後者の12×(12×4+16×5)÷3=12×16×(3+5)÷3秒、分を求めるには60で割ればよいので、12×16×(3+5)÷3÷60=16÷5+16÷3=5+3+1/5+1/3=8+8/15分=8分32秒

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雙葉中学校2013年算数第2問
futaba_2013_math_2q.png
少しだけ発想力がいる問題です。

解答

解法のポイント
  • 邪魔な要素は削除してみる
  • 直接求められないものは相似比で求める

(1)あきらかに一番小さい円が邪魔です。なので、こいつらを無視した場合にどうなるのか考えます。中ぐらいの円の面積と一番大きい円の面積の関係を求める問題になります。
中ぐらいの円は15×15×3.14です。大きい方の円は半径がわからないと求められないので、半径の位置に補助線を引いてやります。この時、図形のほかの要素と関係があるように引いてやると良いことが多いです。
futaba_2013_math_2a-1.png
45度の直角三角形ができます。あとは大きい円の半径=直角三角形の斜辺がわかれば直接の計算もしくは相似比で求まるのですが、求まりません。
なので、大きな円と中ぐらいの円の相似比と同じ相似比になるように、つまり互いの半径が相似な図形の同じ場所にくるような図形をつくってやります。
例えば、下図のように直角三角形を2つ並べると、直角をはさむ辺の比が円の相似比と同じになります。2つなので、面積比は、大きな円:中ぐらいの円=2:1であることがわかります。
futaba_2013_math_2a-2.png
よって大きな円の面積は2×15×15×3.14です。

ここまでくれば、小さい円を戻してかげをつけた部分が求まります。
2×15×15×3.14×7/18=5×5×3.14=10×10×0.785×7=549.5cm2です。

(2)
小さい円を無視すると半分でしたので、小さい円は二つで大きな円の1/2-7/18=1/9です。つまり1つは中ぐらいの円の1/9です。面積の比は相似比を2回かけたものなので、相似比は1/3です。よって15÷3=5cm

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