ひたすら受験問題を解説していくブログ
武蔵中学校2013年算数第4問
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高校生とかにはかなり解きやすい問題ですが、小学生だと説明(証明)が少し難しいかもしれません。日ごろ公式だけ覚えてやっているような子には無理な問題になっています。
(3)(4)のおもりの乗せ方は試行錯誤で結構どうにでもなるものです。(3)はすべて挙げる問題なら細かい整理力が問われるので、結構な難易度になります。

(1)
偶数奇数の問題なので、着眼点も偶数奇数です。おもりは素数なので2以外はすべて奇数です。このことからおもりを偶数個使えば偶数が作れ、奇数個使えば奇数が作れます。
さて、天びんの左右におもりをのせますが、当然左右の偶数・奇数は一致します。なので、組み合わせは偶数と偶数、もしくは、奇数と奇数です。この偶奇は個数の偶奇と一致するので、いずれの場合も偶数個になります。

(2)
8個の場合、全部足すと19+23+29+31+37+41+43+47=270となるので、天びんには135ずつおもりが乗ります。これは奇数なので、おもりの個数は1,3,5,7しかあり得ません。天びんの片方が決まれば他方も決まるので、1個,3個のみ調べればOKです。
おもりが1個の場合:明らかに135は無理です。
おもりが3個の場合:最も重い組み合わせでも41+43+47=131であり、135には足りません。
よってどんな組み合わせでもつりあわせることは不可能です。

(3)
10個の場合は重さの合計が270+53+59=382となり、天びんの一方で191です。(2)と同様に考えれば、少ない個数の天びんのおもりの個数は1,3,5しかあり得ません。
おもりが1個の場合:明らかに無理です。
おもりが3個の場合:最も重い組み合わせでも191には達しません。
おもりが5個の場合:191の平均を考えれば191÷5=38.2です。これと使うおもりの差をまとめると、小さい方から順に、-19.2、-15.2、-9.2、-7.2、-1.2、+2.8、+4.8、+8.8、+14.8、+20.8となります。
あり得る組み合わせとしては38.2より大きいもの1個と小さいもの4個、大きいもの2個と小さいもの3個です(大きいもの4個と小さいもの1個、大きいもの3個と小さいもの2個、の2パターンは天びんの逆の皿に乗るので考えなくていいです)

(i)大きいもの1個と小さいもの4個
どんなに重くしようとしても+20.8-15.2-9.2-7.2-1.2となり足りなくなってしまいます。
(ii)大きいもの2個と小さいもの3個
38.2より小さいもののうちで大きいものの組み合わせは-9.2、-7.2、-1.2なので合計で-17.6となり、+4.8と+8.8より大きい組み合わせでなければダメです。

あとは総当り的に求めていきます。
(ii-i)+4.8と+14.8の組み合わせの場合
+19.6となり-17.6では-2足りません。ですが、ちょうど2小さくなるものはないので、NGです。

(ii-ii)+4.8と+20.8の組み合わせの場合
+25.6となり、-17.6では-8足りません。-7.2を-15.2に変えてやればOKです。よって23、29、37、43、59の組み合わせならOKです。

(ii-iii)+8.8と+14.8の組み合わせの場合
(ii-ii)より2軽いです。-9.2を-7.2に変えてやればOKです。よって23、31、37、47、53の組み合わせならOKということになります。

(ii-iv)+8.8と+20.8の組み合わせの場合
(ii-iii)より6重たいです。なので平均より小さいおもりも6だけ軽くなる必要があります。-15.2を-19.2に、-7.2を-9.2に変えてやる場合のみあり得ます。
よって19、29、37、47、59ならOKです。

(ii-v)+14.8と+20.8の組み合わせの場合
(ii-iv)より6重たいです。なので平均より小さいおもりも6だけ軽くなる必要があります。-1.2を-7.2に変えてやるか、-9.2を-15.2に変えてやるかです。
よって、19、29、31、53、59もしくは19、23、37、53、59の2通りです。

以上から、検討忘れがなければ、あり得る組み合わせは
一方の皿:23、29、37、43、59 他方の皿:19、31、41、47、53
一方の皿:23、31、37、47、53 他方の皿:19、29、41、43、59
一方の皿:19、29、37、47、59 他方の皿:23、31、41、43、53
一方の皿:19、29、31、53、59 他方の皿:23、37、41、43、47
一方の皿:19、23、37、53、59 他方の皿:29、31、41、43、47
の5通りのどれかです。

(4)
4回目は61からスタートで、4個の場合があり得る最小なので、まずは61、67、71、73を考えます((1)より偶数で2個の場合は明らかにつりあわないので)。
あり得るとしたら最大と最小の組み合わせになりますが61、73より67、71の方が大きくなるのでダメです。

次に、61、67、71、73、79、83を考えます。合計で434で片側217で奇数になります。なので考えられるのは片側3個です(片側1個は明らかに217未満なので即除外)
217の場合は平均72.3333333・・・・なので平均より重いものは3個です。なので平均より重いもの1個と軽いもの2個で考えればOKです(重いもの2個は反対側の皿になるので)。

重いものが73のときは67、71、73でも217にならないのでダメです。
79のときは67、71、79でOKです。
83のときは4重くなったので、4軽くしたいですが、ちょうどいいおもりの交換が出来ません。

よって、
一方の皿:67、71、79 他方の皿:61、73、83が答えです。
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武蔵中学校2013年算数第3問
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(2)はどこから手をつけていいか分からないと詰みそうな感じで、本年では難しい問題になります。

解答

解法のポイント
  • 時間、高さ、水量のどれかが一緒になるようにして違いからせめてあげる
  • ツルカメ的に一度違いを無視したものを考えてみる
  • 水を入れる問題は速さの比として解いてやる
  • 速さは底面積の逆比になる


(1)
途中で底面積が変わるため、傾きから25L入れ、40L入れ、底面積増加、がどこになるのか見つけてやることが重要です。
初めは底面積が小さく25L入れなので0~アがそれに相当することがわかります。そこから傾きが大きくなるのでア以降が40L入れになります。その後の傾きが小さくなれることから、アからしばらくは底面積小で40L入れだとわかります。
よって、アは20cmになるまでの時間ですので、120×250×20÷25000=24分となります。

(2)
図3から、深さが37.6cm=48分になる時間までは25L入れで、それ以降が40L入れです。

情報の多い、図2のアと、図3の深さ37.6cmのところに着目します。底面積が変わるのが嫌なので、仮に120×250のままだとすると、図2のアの2倍の時間なので図3の37.6cmは20cm×2=40cmになります。つまり、この差2.4cmが底面積の変化による影響です。底面積は120+30:120=5:4の関係で、高さは逆比になるので、底面積が変わったところからの高さは2.4×4÷(5-4)=9.6となるので、37.6-9.6=28cmがイの底面積が変わる高さです。


同じ水量になるところからせめてあげます。違いは(1)より24分長く25L入れで入れていることであり、25:40=5:8なので、この間の水量の差は比の3となります。この3が40L入れでどれだけかかるかなので、24分×3/8=9分だけ(1)より余分にかかります。
よって、ウ=45+9=54となります。


ここまできたら普通に計算してもいいのですが、比でいきます。
図3で計算します。深さが37.6cm=48分です。あと残りは40L入れで6分です。つまり25L入れだと6分×8/5です。初めの底面積では毎分20/24cmなので、40L入れで入れた底面積小のままの深さは6×8/5×20/24cmになります。底面積の逆比を使うと、高さは4/5になるので、6×8/5×20/24×4/5=2×4×4÷5=6.4cmが残りの部分ということです。
よって、37.6+6.4=44cmがエの答えです。

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武蔵中学校2013年算数第2問
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(1)はごく普通、(2)は少しは・・・という感じの難易度です。

解答

解法のポイント
  • かけ算の結果で一番小さい位は、かけたものの一番小さい位同士をかけたもの

(1)
図にすると以下のようになります。
musashi_2013_math_2a-1.png
内側は正方形で、外側は正方形の角が90度の扇形になっている図形です。外側が面倒なので先に引いてやると、4つの角の合計が半径5cmの円(5×5×3.14=78.5)なので、1178.5-78.5=1100が残りです。
これに5×5=25の正方形を4つ、つまり100足してやった1200が下図の赤い長方形の8倍になります(言い換えれば、赤い長方形を8つで1100の図形を作ろうとすると正方形が4つ分重なるのということです)。つまり、赤い長方形は1200÷8=150となります。
この長方形のたては5cmだったので、よこは150÷5=30cmとなります。
musashi_2013_math_2a-2.png

(2)
○を正方形の一辺とすれば、ア-イ=(4×○+3.14×2×□)-(4×○-8×△)=3.14×2×□+8×△=67.96ということです。□も△も整数なので、3.14の小数部分の0.14に偶数倍して67.96の小数部分0.96が出てこなければなりません。一番低い位が4と6であることから、かける偶数の1の位は4にしぼれます。
このとき、0.14×4=0.56であることから0.96-0.56=0.4がかける偶数の十の位によって作られます。0.14とかけて0.4ができる十の位は1か6になります。
ただ、6の場合には3.14×60が67.96を超えてしまうため、十の位は1です。よって、14=2×□となり、□は7、△は(67.96-3.14×14)÷8=3となります。

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武蔵中学校2013年算数第1問
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いずれも良くある問題です。字がうまいですねぐらいしかいうことがありません。

解答

解法のポイント
  • 速さの変わる問題はツルカメ的にといてやる
  • 速さが変わった場合の時間は逆比を利用する
  • 都合のいい入れ方でも問題ないか検討する


(1)
ツルカメ的に時速40kmで全部行くとすれば、634/40時間かかります。これは予定した8時間より634/40-8=314/40時間だけ余分にかかっています。時速40kmではなく時速80kmにした場合は、速度比が1:2なのでかかる時間は2:1になります。つまり、80kmで走った部分の(2-1)÷1=1倍の時間が余分にかかっていることになります。
よって80kmで314/40時間走ったことになるので、628kmが高速道路の道のりです。
時速100kmの部分も同じように考えると、速度比は4:5なので、かかる時間は5:4です。よって100kmで走った部分の(5-4)÷4=1/4が、早くなった時間、つまり8時間-7時間30分=30分です。よって、100kmでは2時間走ったことになるので、200kmが答えです。

【参考】
方程式による解法を挙げておきます。高速道路の道のりをxとすると、
(634-x)/40+x/80=8⇔1268-x=640⇔x=628

100kmで走った道のりをyとすると、
y/80-y/100=8-7.5=0.5⇔y/400=0.5⇔y=200

(2)
まず、自分の小屋にいるパターンは5通りです。
次の小屋(小屋2)にヤギを入れるパターンは、自分の小屋には入らないため4-1=3通りです。
更に次の小屋に・・・と行きたい所ですが、その小屋のヤギが小屋2に入っている場合と、入っていない場合で変わってきてしまいます(入っている場合は残り3匹のどれでも良いし、入っていない場合は残り3匹中の2匹です)。
こんなときは場合わけしても良いのですが、まずは都合のよい順番に入れられないかを考えます。
つまり、小屋2に入れたヤギの小屋(小屋3)にヤギを入れることを考えます。そうすると3通りになります。
最後に残り二つですが、2匹のうちで少なくとも一方は小屋のどちらかが自分の小屋なので、自分の小屋以外に入ることが決まってしまいます。
よって、5×3×3=45通りが答えになります。

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武蔵中学校2013年算数解説
武蔵中学校算数(2013年)の解説です。問題のレベルは難問があるわけでもなく、普通といった感じでしょうか。

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