ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京工業大学2013年物理第3問
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典型問題を他とかぶらないように頑張ってみました感が漂う問題です。基本的にはただの干渉の問題で、後半は日本語の問題?と聞きたくなるような、問題文にかかれたように積を作る問題とかがあります。

(a)
(ア)
三平方の定理で求めるだけです。
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(イ)
近似式を用いる場合は定数である1をそろえると上手くいくことが多いです(個人的には平均値の定理で近似するほうが好みです)。
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(ウ)
LBCを同様に出して計算します。
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(エ)
sin波の合成で出来るcosの項の位相がウ/λ×πになるので、明線を求めると、
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となり、ひとつとなりの明線との距離は
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(b)
(オ)
光路差はLAC-LBC+LSA-LSBになります。よって、m番目だった明線は
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となるため、-lL/aだけずれる。

(カ)
問題文で触れているcosの項がその平均値になる、つまり0になるということです。よってα/2。厳密にはスリットのずれをyとして、dを表してやって。光検出器の読みをyについて積分してyで割ることによって平均を出します。そのため、dがyに比例する単純なケースでないと成り立たないと思われます。つまり、本問においてもyが大きい値の場合は、成立しないと予測されます(計算してないので、もしかするときれいに消えるかもしれませんが)。

(c)
(キ)
読みは二つの掛け算なので、読みが0ならどちらかが0です。x2が何でも0なことからx1が0だとわかります。よってx1は暗線です。cosが0になるのは奇数×π/2の位相なので、
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(ク)
(b)の読みの値にx1とx2を代入して掛け合わせるだけです。
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(ケ)
問題文にある通りdを含むものをその平均、つまり0にしてやります。ただ、その際に二つのcos間で上手く相互作用して0にならない可能性があるので、展開してから積を上手く処理します(わかり易い例だとcosxの平均は0でもcos2xの平均は0ではないです)。
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(コ)
ケで求めた関数を選びます。周期はPでα2/8から3α2/8までの値をとります。よって⑤になります。
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東京工業大学2013年物理第2問
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最終的な電圧を求める際に勘違いや早とちりをする、エネルギー保存則を個別の公式の枠を飛び出して使えない、ぐらいが考えられるつまずきポイントでしょうか。いずれにしても満点を狙ってしかるべき大問です。

[A]
(a)
電流を求めるためには、V=RIなので、Vが知りたいです。この問題は電磁誘導なので、V=dΦ/dtです。そしてその方向はレンツの法則通り、Φの変化を減らす方向になります。
Φは考えている回路内(棒1、棒2とそれに挟まれるレールからなる回路)の磁束なので、回路の面積×回路の磁束密度になります。よって、ΔΦ=-v0Δt・l・Bとなります(つまりは棒1が移動して面積がv0Δt・l減るだけの話)。
よって、V=dΦ/dt=ΔΦ/Δt=-v0lB。レンツの法則から回路内の磁力線を増やす方向に電流は流れるので、棒1では下向きに流れることになり、符号はそのままでOKです。
はじめのV=RIにもどると回路の抵抗はR1+R2なので、
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(b)
(ア)I2lB
公式そのまま。電流が強いほど、磁場が強いほど、受ける範囲が長いほど強くなるってのは感覚的にそのままで、それをかけてるだけですね。結構、こういう感覚的なものがそのまま掛け算の形になっているだけの公式は多いです。

(イ)v1∞=v2∞
V=RIなのでIが0なら、Vは0です。よって、考えている回路の面積の変化が0になります。なのでv1∞=v2∞となります。

(ウ)
イの式と運動量保存の式から、
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(エ)
一見、イで述べたことから、回路内の面積変化が0なので電圧は0と答えたくなりますが、○○の電圧と聞かれたときはそこに電圧計を入れて新たに回路を作り直してみるとわかりよいでしょう。
問題文の図においてコンデンサを電圧計に変えてスイッチを入れてみると、棒1も棒2もそれぞれと電圧計で作られる回路を考えてみれば、面積の増加=v1∞Δt・lとなっていることがわかります。よって、(a)と同様に棒において
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の誘導起電力が生じていることになり、電圧計にかかる電圧は棒とは逆方向になるのでマイナスをかけた値になります。電流は流れていないことを考慮すれば、この誘導起電力をちょうど打ち消して電気が流れない状態をつくる電圧がレール間にあることになるので、更にマイナスをかけたもの、つまり、上で求めた棒における誘導起電力が答えになります。

(C)
エネルギー保存則で行きます。全発熱量をQとすると、
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発熱量はRI2なので、各棒の電流が同じであることから、各棒の発熱量は各棒の抵抗に比例します。
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【参考】
保存則を使わず時間と共に棒の速度や発熱量がどうなるのかを見ていきます(最後の状態しかわからないとはいえ、保存則の偉大さがわかると思います)。回路の面積変化→電圧→電流→棒にかかる力と考えていって運動方程式を立てると(回路全体の抵抗をRとおいています)
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となります。右辺すなわち力の項が棒1と棒2のものを含んでウザイので、それに左辺もあわせてやります(質量で除して式を引きます)。また、右辺は±が違うだけなので右辺を消します(式を足します)。まあ二つ目は作用反作用の法則、つまり運動量保存の式そのものなので、初めの使わない宣言が半分嘘になりますけど。
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上の式から解きます。相対速度をΔv、右辺のΔvの係数を-k、t=0をx=0を棒1が通過した時刻とすると
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下の式を積分したものと連立させれば、
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となり、kが正の定数であることを考慮すれば、十分な時間が立つと棒1も棒2も(B)のウで求めた値に近づいていきます。
次に全発熱量Qを時間の関数として求めます。相対速度×l=面積変化であることに着目すれば、
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となり、t→∞でkを代入すれば(C)で求めた全発熱量Qがでます。

[B]
[A]と同じ流れなので違いに着目しつつ利用していきます(何が違うのかに着目する人、知っている問題を活用しようとする人は強いですね。家庭教師で教える際に一番最初に教えることであり、最終的に目指すところでもありますけど)。
(d)
(オ)
(b)同様に運動方程式からはじめます。アより、電流をIとすればローレンツ力はIlBなので、
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(カ)
電圧Vはコンデンサの電圧でもあるので、V=Q/Cです。Qを微分したものが回路全体のIであることを思い出せば、
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(キ)
Δtの係数を比較してやれば(求めるものをXと置いています)、
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(e)
Aではどう求めたかというと、棒1と棒2でできる回路の電流と保存則の式でした。なのでここでも同じことを試みます。
まず、A同様に棒の速さが一定になるといいことはローレンツ力が0であり、棒に流れる電流も0です。よって棒1と棒2でできる回路でみると起電力を生じない、つまり、イ同様に両方の棒の速度が同じになります。
これを踏まえて保存則を見てみると、Aと違うVの項があるのでこれを求めないとだめそうです。
このVは、エと同様に考えて、コンデンサと棒(どちらでもよい)を含む回路を考えてやればエと同じになることがわかります。よって、
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(f)
Aではエネルギー保存則でした。なので同じくエネルギーを保存させてみます。新しく追加されているものはコンデンサーなのでこの静電エネルギーを考慮するだけです。
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東京工業大学2013年物理第1問
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解き方が(a)で指定されているため(いなくてもこれぐらい思いつけってもんですが)、何も考えなくても解けてしまう問題です。グラフだけ注意して書けばOKです。

[A]
(a)言われた通りにエネルギー保存則と運動量保存則の式を書いて、連立方程式として解いていきます。さくっと解ける方法は次の2つが有名です。
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(b)
相対速度を考えれば簡単にT0は求まります。
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その後の動きは、速度が逆転するので、AにBが追いついて衝突します。速度の逆転が起こってから相対速度でlの距離、つまり更に2T0後にAとBが衝突し、これも弾性衝突なので、(a)と同じ式で速度が逆転します。それ以降も2T0ごとに速度の逆転が起こります。よってグラフは
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[B]
(c)
相対速度が変化するためAB間の距離で行きます。各物体の斜面方向の運動方程式から相対運動の運動方程式にして、それがlになる時を求めれば、
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(d)
結局立つ式は(a)と同じになるので、速度の交換が起こるだけです。よってひもがはる寸前の相対速度(つまりはT1の時の速度)を求めてマイナスをかけます。
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(e)
式は同じで初期条件(初めの位置とか速度とか)が変わるだけですので、こんなものは対称性からT2=T1で相対速度ΔV=0だとわかります。
2つの物体の運動は相対運動方程式できまるので、その初期条件と方程式の形のみで議論すればいいのですが、この問題では初めのABの相対速度がプラマイ反転して、相対加速度は同じなので、まるで逆再生のような運動をすることになります。つまり、l/2広がるのにかかった時間がl/2縮めるのに必要な時間になり、その時の相対速度は相対速度が増えてひもが張る状態になるまでと同じ時間だけ相対速度を減らすように働くので、元に戻って0になるということです。

(f)
(e)から、相対速度的視点だと伸びきってもとの位置に戻るを繰り返すだけの運動になります。また、速度の増加の仕方は運動方程式に変化がないため変わりません。よってグラフはT1までのグラフと平行な線で書いてやればよいことになり、以下のようになります(物体によって傾きが決まるのでそれに着目すると間違えにくいです)。
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東京工業大学2013年物理解説
東京工業大学2013年前期物理の解説です。誘導がしっかりしていることもあって、全体的に簡単めな印象です。満点を狙っていいセットだと思います。

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