ひたすら受験問題を解説していくブログ
麻布中学校2013年算数第6問
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画像編集的な意味で困りましたが、難易度も(4)は東大入試で出てもそれなりの難易度な気がします(実は樹形図書けば楽なんですが、当ブログのコンセプトは数学的に問題を楽しむことなので却下)。私もそれなりに思い悩みました。これを樹形図を書かない方法で時間内で解く小学生はすごいと思います。というか、麻布生は何人も指導してきましたが、麻布の定期テストの方が簡単な問題だったりします。

解答

解法のポイント
  • 頂点に注目して作図する
  • 偶奇性に注目する
  • 対称性を利用する


まず、転がしても軸となる辺は変わらないので、2つある軸を含む三角形のうち底面ではなかったほうの三角形になります。そのため、その頂点を書いていけば解き易くなります(別の三角形の頂点は向かい合う頂点ともいえます)。

(1)ACを含む他の三角形はACDなので下図のように下には頂点Dが来ます。次の転がしでは、DCを含む別の三角形はDCFなので、頂点Fが底面に来ます。できる三角形は当然DCFなので図2より5です。
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(2)一つ前の位置に戻るものを-、戻らないものを+とすると、++++、+++-、++--の組み合わせが考えられます(ムダ手と呼ぶことにします。結果だけでいいのでどこでマイナスになるかは関係ありません。)すると順に4回分、2回分、0回分離れた位置に底面が来ます。0回分は元の位置、2回分は(1)で求めたものと対称なもので、元のABCを囲む形、4回分はその一回り外を囲う形になります(二回分の位置にあるものを1つ選びそれについて書き出して考えればOKです)。また、いける場所を偶数でいける場所と奇数でいける場所に分けて考えれば、交互にいけない場所が来ることも推測の手助けになります。。よって下図のようになります。azabu2013-6a-3.png
さて、アですが、考えられる経路は2回分でいく図の汚い矢印の時計回り経路(ムダ手1回)と4回分で行く反時計回り経路(ムダ手なし)が考えられ、前者はカッコなしの頂点、後者はカッコで囲まれた頂点になるので、図2よりそれぞれ7と1が底面に来ることがわかります。

(3)動き方は一つの動き当たり3つの辺のどれかなので3×3×3×3=81です。

(4)まず、図1の面のうち偶数回で底面になれるものは限られています。図2でいうところの1,3,5,7のどれかです。それ以外は奇数回でしか底面になりえません。これらのうち本質的に異なるものは1であり、それ以外はABCのとなりのとなりになります(後で対称性でこのことは使います)。
さて、最後に1かそれ以外が底面に来るかで分類してやります。
上の図において1になるものはムダ手が2回で元の位置に来るもの、もしくはアに反時計回りでいくようなムダ手なしで元の一回り外の位置に来るものが考えられます。

(i)ムダ手が2回のとき(1になるもの)
元の位置に来るので底面は必ず1になり、++--と+-+-が考えられます。それぞれ3×2×1×1、3×1×3×1通りとなるので、底面の和は15になります。

(ii)ムダ手が0回のとき(1になるもの)
反時計回りでアに行くようなもので、対称性から6倍の6通りあり(はじめに3辺どれに転がるのか、時計と反時計どちらに回るのかで3×2でもOK)、和は6になります。

(iii)1以外になるもの
81-6-15=60通りあります。対称性より底面が3,5,7になる場合の数は等しいので、(3+5+7)×60÷3=300が面の和になります。

以上から、6+15+300=321が底面の和の合計になります。

補足

1以外になるものを直接求めることも可能です。

ムダ手が1回のとき
+-++、++-+、+++-が考えられ、それぞれ、3×1×3×2、3×2×1×2、3×2×2×1となります(+の動きが3通りになるのは初めの位置のみでそれ以外は2通り)。よって42通りです。対称性より底面が3,5,7になる場合の数は等しいので、(3+5+7)×42÷3=210が底面の和になります。

ムダ手が0回のとき
++++から1になる場合の6を引いたものになるので3×2×2×2-6=18通りになります(上の図でアからもう一回り外にいくものが3つあったことから6×3でもOK)。よって(3+5+7)×18÷3=90
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麻布中学校2013年算数第5問
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いやーこれ、盲点になってたとはいえ(2)に完全にはまりました。1時間以上考えて答えがわかった感じです。きれいな誘導があるにも関わらずでなさけない。気づけばたいしたことないが気づくか否か。あと、問題の本文にあった三角錐の説明とかは省いて掲載しています。

解答

解法のポイント
  • 高さが変わらずに三角錐の1つの辺が1/2とかになると体積も1/2とかになる(底面積が1/2とかになるので)
  • 複数の辺が1/2とかなら1つずつ順に処理してやる
  • 1つの頂点を構成する角が等しいなら同じ平面でつくられている(小学生ならなんとなく感覚でいいと思います。)


(1)三角錐ABCDを1とするとABQRはBDを1/2に変形させて、その後BCを3/5に変形させたものなので、1/2×3/5=3/10になります。PBQRはさらにABを2/3に変形させたものなので、3/10×2/3=1/5になります。よって10:3:2が答えになります。

(2)少し考えてむりなら、必ず(1)を使うことを前提に考えてください。アはイメージしやすいですが、イはイメージしにくいです。図5で長さが書かれている辺が入れ替わるようにくるっとまわしてみてください。そうすると展開図(下図右)ができます。ポイント3つ目にかいたように、図4でも下図右でもE,F,Gが同じ頂点になります。つまり、1つの頂点を構成する角がすべて等しいため、図2のABCDとABRCのような関係になっています。
あとは先ほどひっくり返して作った展開図で対応を見てやると10cmは互いに一致、9cmは12cmと対応、11cmは8cmと対応ということがわかります。これをテキトーに図にすると下図左になります(数字はEからの距離)。azabu2013-5a.png

よってイはアの8/11×12/9=32/33となるので、33:32が答えになります。

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麻布中学校2013年算数第4問
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さて、この辺から危険な香りが漂ってきます。でも、誘導が適切であり、誘導自体は点を取りやすいのが作問者の力量を示している気がします。(2)は力技がきびしいので難しめ。

解答

解法のポイント
  • わかりやすいまとまりを作ってあげる
  • 半端ものが不明だと困るのでわかるものを半端ものにしてやる

それぞれ同じ数ずつ増えてるので、二人がコインをとることを1セットとすると3-1=2、7-5=2・・・とB君が2ずつ多くなっていきます。ということは、セットがちょうど終わったときには偶数の差になるため、31枚のコインの差にはなりません。よって、A君が最後に取ったことがわかります。
ではA君が最後にとったのは何枚でしょう?セット数をnとして-2n+4n+1=2n+1が31枚というのでも解けますが、折角なのでエレガントに行きましょう。
最後が何セット目かわからないと最後にとった数がわからなくて何セット目かわからなくて・・・となると思います。そんなときは3-1=2ではなく5-3=2、9-7=2・・・とBAを1セットにして、わかりきっている初めの1枚を半端ものにしてやればいいのです。
すると30枚の差が何セットになるかは2で割ればいいので15セットです。よって1+15×4=61枚がAが取った最後の枚数です。

(2)(1)の発想を利用します。Cが最後、Bが最後、Aが最後のパターンを考えてセットを組んでいきます。
(i)Cが最後の場合
初めに取る数がA<B<CなのでCが最も多く、Aが少なくなります。また、(1)と同様にすればセット内の差は4-1=3となり、87枚の差ができるのは29セット終わったときです。よってCが4+28×7=200枚とった時です。

(ii)Bが最後の場合
セットはCABになるのでCが最小でBが最大です。セット内の差は9-4=5であり、Bは開始前に2枚持っているので、85を5で割るとセット数が出ます。よって17セットです。2+17×7=121枚になります。

(iii)Aが最後の場合
セットはBCAとなるのでBが最小でAが最大です。セット内の差は8-2=6であり、Aは開始前に1枚持っているので86を6で割りますが、割り切れないためおかしなことになります。

(i)~(iii)より、B:121,C:200

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麻布中学校2013年算数第3問
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これも基本に忠実に攻めていけば解けます。速さなどを比のまま扱えるように訓練しておきましょう。

解答

解法のポイント
  • 追いかけるときは速さの差、向かい合うときは速さの和でやる

(1)B君が5+5分で行った距離をC君は5分で行くのでC君はB君の2倍です。A君が5+5+10分で行った距離をC君が5+10分で行くので、A:C=15:20=3:4です。以上からA:B:C=3:2:4になります。

(2)A君に追いつく20分の間にA君とB君は20×(3-2)=20だけ離れています。B君とC君は向かい合って進むので、この距離を2+4=6の速さで近づいていきます。よって20÷6=10/3分かかります。

(3)(2)のとき、20+10/3=70/3だけ時間が経過しているので、A君とB君は70/3だけ離れています。これをC君がA君を追いかけて追いつくので、70/3÷(4-3)=70/3分だけ(2)よりも経過しています。よってA君が出発してから140/3分後になります。
さて、C君は5km動いたらしいので、140/3-5=125/3分で5km動いたことになります。A君はC君の3/4の速さで140/3分動いたので、5km×140/3÷125/3×3/4=4.2kmがA君が動いた距離です。

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麻布中学校2013年算数第2問
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図形問題をひたすら訓練していない自分には簡単なように見えても少し粘っこい問題でした。でも基本に忠実に考えていけば解けるので落としたくない問題。

解答

解法のポイント
  • 円の重なりは扇形引くことの三角形で解く
  • 30度とくれば直角三角形を考える


まず円の重なりの問題なので扇形から三角形を引くことがよくある手です。そのためには半径と扇の角度、重なる部分の三角形の面積が必要になります。
まず半径は3と与えられているので、角度を求めます。円の中心をBとCとすると∠BAC=30度でAB=ACの二等辺三角形に三角形ABCはなるので、∠ABC=75度と求まり、∠ABDは150度になります。よって扇形は重なりも含めて、2×3.14×3×3×150/360=23.55cm2となります。
あとは重なり部分の三角形ABDですが、底辺も高さもわかりにくくなっています。そこで、30度という有名な角が与えられていることから直角三角形を作ってやります。垂線BHを引いてやれば、BHが3/2cmとわかります。BHとこれに直角なACを含む三角形で重なりを表せないかと考えてやれば、三角形ABC×2が重なりになるので3/2×3=9/2cm2となります。
以上から23.55-4.5=19.05cm2が答えになります。
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