ひたすら受験問題を解説していくブログ
東大2018大問2に抵抗を付けた場合

Q

いつもお世話になっています。
先日は同志社大のコンデンサー問題の解説ありがとうございました。
同志社大に引き続き、東大でもなかなか悩ましいコンデンサー問題を出題してくれました。
さて。
?ですが、もしスイッチ2の直上に抵抗Rが挟まれた回路であったとしたら、結果はどうなりますでしょうか。
直感的には周期Tは変わらずに減衰振動となり、最終的には金属板3の振動が止まりそうな感じですが(ジュール熱によるエネルギー散逸のため)、あっていますでしょうか。
また、発生したジュール熱の総量は「最初バネに蓄えられていた弾性エネルギー+最初にコンデンサーの系に蓄えられていた静電エネルギー」になるのでしょうか?
もし可能でありましたら数式とともに解説頂けませんでしょうか。
どうぞよろしくお願いいたします。

A


エネルギー総和はそうなります。実際の運動はかなり複雑です。というか出てくる三次方程式を解く気がしません。
やる気の出る範囲で式でゴリゴリ行くと,電圧降下と金属板3の運動方程式を連立させることになります。左回り電流をIとすると,
QA_phy_2_1.png

とすると
QA_phy_2_2.png

y=0で正であり,yの等式を微分すると全係数が正になることから,極値をとるyは二つとも負になるもしくは極値を持たないです。いずれの場合も解の実部は負になるため,xは時間の経過とともに小さくなっていきます。
実数解を3つもつときは周期成分は出てこないので負になることなく0に近づいていきます(Rが大きいと多分そうなります)。
重解も含めて実数解を三つ持たない場合はsin成分cos成分が出てきます(周期は解の虚数部分が角振動数ωなので3次関数の解の公式に入れて虚数部を出せばよいでしょう。また,解の共役性よりすべてのsinやcosの角振動数は共通です)。
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同志社大学2月10日実施の物理入試問題について(出題ミス?)

Q

いつもお世話になっています。
同志社大学(社会・理工) 2月10日実施の物理入試問題についてご教示頂きたいことがございます。

これまで何度も質問させていただいている内容と類似です。

物理第[Ⅲ]のコンデンサーの問題です。
問題抜粋を添付いたしますが、問題冊子原本は代ゼミのサイトよりダウンロードできます。

最終設問です。
「極板間に内部抵抗無視できる起電力V0の電池をつないで一定の電圧V0を加えて、『十分に時間が経過した時』の極板間の電位V(x)を図示せよ」という旨の設問ですが、

質問1:回路に抵抗がないのでそもそも電位は一定にならず「振動」しませんか?この回路で一定の電圧V0を本当にかけることができるのでしょうか?(リード文での説明がそもそも物理的におかしく、解答不能となる出題ミス?)

質問2:あるいは電磁輻射によりエネルギー散逸して振動が収まった後のことまで考慮して『十分時間が経過した時』に電位がV0に収斂したと解釈するのでしょうか?電磁輻射は高校範囲外?なので、こんなことまで高校生に要求するのは不適切で、その意味では「出題ミス」ではないでしょうか?

質問3:電磁輻射まで考慮しないように、図3に「抵抗」を本来入れるべきではないでしょうか?つまり、図3に「抵抗」を入れ忘れた出題ミスではないでしょうか?※もしそうなら完璧な出題ミスであり、同志社大学に凸することができますね!

最近は「物理入試問題の粗捜し(?)」が世間で大ブームらしいです。大学にミスを認めさせればマスコミにミス指摘者の実名が報道されて予備校講師としての社会的知名度と信用度(とお給料?)がアップするらしいです。

今回の同志社大学の物理入試問題を精査頂き、出題ミスなら同志社大学へご指摘いただけましたら幸いです。

先生のご活躍を心より祈願しています!

A

御免ささいですが,本問は出題ミスではないと考えます。
抵抗が0と無視出来るは異なります。
数学でいうR=0とR→+0(もしくはR≪○)という違いがあります。
つまり,今回の問題では抵抗は0ではないです。

なので,残念ながら私のお給料の増分→+0ですね。

一応,抵抗が0なら質問1,2,3ともに同意見です。

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阪大の出題ミスに関して

Q

大阪大学入試の物理出題ミスについて

大阪大学入試の物理出題ミスが大きな社会問題となっていますが、
すみません、どこが出題ミスなのか全くわからないです。
解説お願いします。

当初は大学側も出題ミスを否定していたことからも、明確な出題ミスとは考えづらい。
よほど「特殊な状況」を考慮して初めて「別解(とされて追加されたもの)」が正解になりうるということなのでしょうか?
ならば、その「特殊な状況」とはいったい何なのでしょうか?

ふつうにすなおに高校レベルで考えれば出題ミスとは考えにくいです。

大阪大学の公式資料を添付します。
入試問題、当初の正答、検討後の正答、が載っています。

どうぞよろしくお願いいたします。

A


阪大なので高校レベルでも間違えるんじゃないですかね。
微妙に大学レベルですが前科ありますし(例:数学のsinx/xのlimの循環論法とか)。

当初の答えの方が謎です。
新しい答えの方はA-Iにある条件。つまり音叉の反対側には疎密でいうと同位相,位置の変位でいうとπずれた位相の波が伝わります。

i)疎密で考える場合
壁は動かないので密になったり疎になったりします。言い換えれば自由端反射です。したがって,そのまま帰ってくるので,音叉の位置で強め合うためには

2d=nλ (n=1,2,3,…)

となります。音叉は点なのでn=0も許されるので

2d=(n-1)λ (n=1,2,3,…)

も解答にされているのでしょう。

ii)位置で考える場合
壁は動かないので固定端反射です。よって反射でπずれます。元々πずれているので,結局さっきと同じ答えになります。

以上までが私の答えです。

次に元の謎解答ですが,半波長ずれていることから反射の仕方が逆になっているもの,もしくは音叉からでる波の位相が間違っているものと思います。前者なら,阪大は音に関して空気より動きやすい新素材を開発していて,そのアピールがしたかったのでしょう(本当は間違っているのに正解にしちゃっているのを認めたくないだけな気がします。あとは何端反射か書いていないから変位で自由端も正解と認めるしかないかですね)。

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コンデンサー回路のエネルギー収支の問題について(その2)

Q

先日質問させて頂きました際には丁寧なご解答を頂きましてありがとうございました。
前回のコンデンサー回路のエネルギー収支の問題と似た問題となり大変恐縮ではございますが、
ぜひともご見解を頂きたい問題がございまして、メールさせて頂きました。

コンデンサー回路のエネルギー収支の問題

こちらもよくあるコンデンサー回路の問題ですが、悩みどころをピンポイントで聞いてきています!

設問1と2は分かりますが(これは教科書レベル)、設問3がよくわかりません。
「あれ? エネルギーがどこかへ行っちゃったぞ? あれれ???」
・・・また先日の悪夢の再来です。

詳しい解説をどうぞよろしくお願いいたします。

A


正直なところ実際にやってみないと分からないことこの上ないですが,電磁波によってエネルギーが散逸するという感じです。前回と同じく電磁波によるエネルギーの散逸が無かったとしても,電子の運動エネルギーになる部分があるので,コンデンサー2つでも振動です。そのため,「双方のコンデンサーの電圧が等しくなった」という記述が間違いになると思います。

円錐を切った立体の表面積

Q

もしよろしければ教えてください。
底面がx^2+y^2=1、高さ1の円錐を0≦t≦1で切った時の切断面を含まない、(1,0,0)側の円錐の表面積を高校範囲で、積分などを用いて求めることは可能ですか?計算過程などもあると助かります。

A


z軸方向に垂直に切るとただの相似形なので,x=tで切るという理解でいいのでしょうか。

厳密には大学の範囲なのかもしれませんが,射影の考え方を用いると可能です(ただしcosθ=tとなるθをαと置くとかを認めればですけど)。
円錐の側面はxy平面と45°傾いているため,面積はz軸方向から見た射影の1/cos45°倍になります。したがって,底面の円のt≦x≦1となる部分の面積の1/cos45°倍ということです。したがって,
qa_m_7_1.png

一行目左の積分は放物線の断面で,右の積分が底面と側面の和です。
2行目右は図形的に計算した方が早いので置換とかしてません(してもいいです)。

側面を求める別案としては,切ってできる放物線の曲線の長さを積分で求めて,それにdt/cos45°をかけて積分するって手もありそうですが,計算がめんどくさすぎるので私は辞退しました。

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