ひたすら受験問題を解説していくブログ
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東京慈恵会医科大学2014年数学第4問
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解説


前半は簡単めなベクトルで落としてはいけないでしょう。後半は慈恵おなじみの回転体で,回転軸からの距離の大小を場合わけする良くありがちな問題です。慈恵受験生ならこれくらいなれて欲しいものです。

(1)
(i)
ベクトルBC=ベクトルAD,ベクトルDC=ベクトルABに注意してただ表していくだけです。まずMとNはそれぞれ,
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BN上とDM上という条件を連立させます(当然係数は複雑な方が簡単になるようにします)。
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(ii)
角度と言われているので内積のcos表現でしょう。AD,ABを成分表示で表し,それを用いてAD・AGと|AD|および|AG|を表すと,
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(2)
z軸周りということはz=tで切った断面を出して積分するだけです。OB,OC,ADはz軸に垂直なので(z成分が同じです),辺OD,OA,AB,DCのみを考慮すればいいです。このうちODはただのz軸上,ABはDCをz軸に垂直な平面上をベクトルCBだけ平行移動させたものなので,実質OAとDCのみ考えます。それぞれのz=tとなる座標はt/3√2倍すればいいだけなので,それぞれP,Qとすると,
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したがって,ABとの交点(Rとします)は,
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となり,断面図は
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となります。まあこれを回転させるとして,お決まりの長さが最長の位置が変わるかをチェックします。O'R>O'Pはtの範囲的に自明なので,QとRのみチェックすればいいです。
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それぞれの範囲で積分してやります(最後の左の積分は三角形の面積で計算してます)。
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東京慈恵会医科大学2014年数学第3問
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解説


sin,cosは条件付2変数(単位円上の点)として捉えることができ,その処理をどうすればいいかが課題となります。
本問では与えられている形がそれぞれまとまった単位になっているため,そこをひと括りにいくと楽です。普通に微分してってもsinx+cosxの値までは分かるので,結局そこからsinxcosxの値を上手く表す必要が出てきます。

(1)
sinx+cosx,sinxcosxの一方を他方で表してやれば文字数が減らせます。”前者の2乗=1+2×後者”なので,前者をtと置くと,
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とただの2次不等式になります。
(i)b≧0のとき
最大値は境界にしかならないので,境界の値がともに負ならばOKです。上式の中辺をf(t)とすると,
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(ii)b<0のとき
最大値は頂点もしくは境界の値なので,頂点がtの定義域にはいる場合を考えます(入らない場合は(i)とおなじ条件です(ii-i)とでもしておきます)。頂点が範囲内より,
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このとき,2解を持ってはならないので,判別式は0以下です。
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となり楕円になります(ii-ii)。

(i)~(ii)より
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(2)
お決まりどおりkと置いてみます。その際にa,bによらず必ず通る点はチェックしましょう。
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となり,厳密には除外される点ですが,点(-4,-1)を通ることが分かり,傾きkがどの範囲に収まるかというだけです。楕円に接する場合が最小(b=a/4と楕円の交点より点(-4,-1)の方がyが小さいので明らかでしょう)で点(0,2)を通る場合が最大です。楕円に接する場合,重解かなんかで適当に求めればいいとおもいます(途中の変換は判別式を計算しやすくするために複雑な係数の方を簡単にしています)。
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最大は点(0,2)を通る場合なので代入すれば3/4となります。したがって,
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東京慈恵会医科大学2014年数学第2問
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解説


”いわれていることを忠実に”系の問題です。特別な発想はいらないので,これを聞かれたらこうするというのがすぐ出るように訓練しておきましょう。正直なところ最後の積分計算がめんどくさいだけです。実際には(2)までさくっと解いて(3)は後回しにして他の問題を解いてから戻ってくる感じでしょうか。

(1)
(i)凹凸と変曲点を調べるので微分していきます。
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f'(x),f''(x)ともに分母は正であり,その符号は分子と一致します。x>0より,f(x)は単調増加関数かつx=aで変曲点をもちます。つまり,t(a)=aです。

次にC2がこのPを通ることから,
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(ii)
f'(0)=0,f'(∞)=0,f(∞)=∞より,
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(2)
大小関係とあるので差をとって微分でしょう。その際にx2をはさんだ合成関数と捉えてもよいでしょう(これぐらい簡単な関数なら大差ないですが)。h(x)=f(x)-g(x)とすると,
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となり単調増加です。x=aで交点を持つこととあわせて,f(x)≦g(x)となることがわかります。

(3)
xについて0からaまでh(x)を積分してやります。
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この第2項の積分が本問の本題ですね。logなので部分積分でしょう。
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h(x)の積分に代入して微分してやります。
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したがって,最大値は
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東京慈恵会医科大学2014年数学第1問
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解説


軽めの小問なのでさっさと片付けて次の大問にいきたいです。よくあるパターンなので余り考えずに反射で解けるようにしておきましょう。

(1)
ア:
まず,全組合せは10個の数字から3個の数字を選ぶので,10C3=120通りです。

次に分子に当たる場合の数を求めます。関係式が一つあるので,Xが決まるとYが決まります。また,3≦Y≦10なので2≦X≦5になります。つまり,Yは忘れてまん中の数(Zとします)とXを選び2≦X≦5,X+1≦Z≦2X-1ならばOKです。
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イ:
Xを固定するとX+1から2X-1まででZとYを選ぶので,その和をとればいけそうですが,2Xが10をオーバーしてしまうと場合わけが必要となるため,余事象で考えます。2X≦Yとなる場合は
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求めたいのはこの余事象なので,
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【別解答イ】直接(Σを使っていますが,数が少ないので一つ一つ計算してもいいです。)
Xの値が5までと越えた後で場合わけです(X=2ではY,Zが取れません)。
(i)3≦X≦5のとき
X+1から2X-1までのX-1個から2個選びます(選んだものを小さい方からZとYとします)。
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(ii)6≦X≦8のとき
X+1から10までの10-X個から2個選びます。
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(i)(ii)より20/120=1/6

(2)
コツコツa,b,c,dと置いてPからたどって方程式を立ててもいいですが,ベクトルを分けることを考えた方が早い気がします。つまり,x成分とy成分ごとに考えます。R→Pより,(1,0)は(-1,1)になります。また,不明なy成分を(0,1)が(a,b)になるとすると,Qを(x,y)としてP→QとQ→Rを考えると次の連立方程式が得られます。

P→Qより
x=-1-a
y=1-b

Q→Rより
-1=-x+ay
0=x+by

P→Qの結果をQ→Rに代入すると(a,bを消します),
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となってQ(0,1)と分かります。また,a,bの結果から,(1,0)と(0,1)の変換を考えれば,それぞれの変換先のベクトルがぞれぞれ1列目,2列目になるので,
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東京慈恵会医科大学2014年数学解説
東京慈恵会医科大学2014年数学の解説です。第1問はさくっといきたいところです。第2問は書かれていることを素直に処理していけば結構どうにでもなる問題です。第3問はある意味典型的な変形ですが,少し難しく試験会場では思いつかなかった受験生も多かったのではと思います。第4問は慈恵の好物回転体です。それほど分かりにくい図形ではないので,回転体の基本に沿ってしっかり断面図を描けるか否かが分岐点でしょう。
私の体感難易度は,3≧4>>2>1といったところでしょうか。

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