ひたすら受験問題を解説していくブログ
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日本医科大学2014年数学第3問
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解説


形をそろえるという基本的な手法をしっかりと適用できるかが鍵となる問題です。難易度は簡単めですが,こういう基本手法ができない受験生は多くいるので差は少しついたのではないでしょうか。

問1
(1)
多項式と指数関数の積なので,部分積分で多項式部分を微分していくことが定石です。その際にe-x2が積分できるように分けることに注意しましょう。
nichii_2014_math_a3_1.png

(2)
同じような感じでやります。(1)と同じ形が出てくることに注意して,
nichii_2014_math_a3_2.png

問2
左辺の前半が積分で,後半が積分後であることが気持ち悪いです。なので,積分より微分の方が簡単なので,後者を積分型に直してやります(f(x)などの(x)は省略しています。)
nichii_2014_math_a3_3.png

問3
とりあえずf(x)にe-x2を入れることが素直でしょう。入れて計算するとe-2x2になってしまうので,Iと全く同じ形になるにはe-x2/2をいれればよいことになります(e-x2のままいって,最後に置換積分してやっても解けます)。
nichii_2014_math_a3_4.png

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日本医科大学2014年数学第2問
nichii_2014_math_q2.png

解説


パッと見わかり易い形だし,前の設問の利用の仕方も明示されているので,難易度は過去の日医にしては大分低めな設定です。また,ある設問で証明できなくとも,適当な値を入れて不等号の向きだけ決めてしまえば,次の設問に挑戦できるため,大問丸々の失点もしにくいようになっています。

問1
見るからに同じ関数の差なので平均値の定理が適用できます。左辺に適用すると(cはxとkの間の数),
nichii_2014_math_a2_1.png
x≧kのとき,証明すべき式の左辺も(x-k)も0以上(0となる,すなわち等号成立はx=k)なので,大きい値をかければ大きくなります。
nichii_2014_math_a2_2.png
一方,x<kのときは,証明すべき式の左辺も(x-k)も負なので,小さい値をかけると大きくなります。
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【別解答】
差をとって微分してやります。
nichii_2014_math_a2_4.png
これとf(x)が連続,f(k)=0,f'(k)=0より,x=kで最大値0をとるので,右辺の方が大きく,等号成立はx=kとなります。

問2
kの置き方は指定されており,logxの部分がlogaとかになっていると推測できます。係数もかけた上で式を立てると,
nichii_2014_math_a2_5.png

問3
sは問2の条件を満たしているので,それを使う問題だと考えられます。対数であることに注意すれば積は和になるので,問2の式にsを入れたものを全部足してやります。
nichii_2014_math_a2_6.png

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日本医科大学2014年数学第1問
nichii_2014_math_q1.png

解説


基本的な問題ばかりな小問集合で,ここで落とすと厳しいでしょう。第2問はひらめき次第で早く終わります。

問1
(1)
ハート無し,つまりスペードのみから2枚選ぶ場合の数を,全場合の数で割ってやります。nC2÷9C2=n(n-1)/72

(2)
ハートが1枚,スペードが1枚の場合の数は,ハートの中から1枚,スペードの中から1枚選ぶ場合の数の積なので,9-nC1×nC1÷9C2=n(9-n)/36

(3)
不等式を作って適当なnを入れるだけです(整数なのでまじめに2次不等式を解く必要はないです。n(n-1)とかならn2ぐらいであたりをつけましょう)。
nichii_2014_math_a1_1.png
これをもう片方に入れてやるとそれぞれ,1/2と7/18となるので,後者のn=7が答えになります。

問2
(1)
ベクトルとして長さを求めてみると
nichii_2014_math_a1_2.png
BCも全く同様なので,BC=√2

(2)
ただ計算するだけです。
nichii_2014_math_a1_3.png

(3)
三角形ABCを底面だとすると面積は(2)でBA⊥BCなのでBA×BC÷2=1となり,Oから下した垂線の足をHとしてOHの長さを求めれば終わりです。OHは三角形ABCの面に垂直なので,BAに垂直かつOを通る平面(BAとの交点をPとします)とBCに垂直かつOを通る平面(BCとの交点をQとします)の交線となります。したがって,ABC上では下図の様になります(ABCは直角二等辺三角形です)。
nichii_2014_math_a1_4.png
OA=OB=OCよりP,Qはそれぞれ中点になっているので,ABCが直角二等辺三角形であることを考慮すれば,そこから各辺に垂直に引いた直線の交点HはAC上の中点になります。AH=AP√2=1,AH⊥OHなので,三平方によってOH=√(3-1)=√2となります。
したがってOABC=OH×ABC÷3=(√2)×1÷3=(√2)÷3

【別解答】ベクトルでOHを求める
OHはABC上なので,次のように表せます。
nichii_2014_math_a1_5.png
これがABCに垂直なので,ABとBCに垂直です。
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Cも同様に(BにとってAと実質変わらない点です)t=1/2となります。よって,
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問3
2次方程式の2つの解と言われている段階で解と係数でしょう。解と係数の関係でおいて解いてみれば(sinθをs,cosθをcとします),
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2乗しているため同値ではないのでいれてチェックします。上の式に入れると,θ=2π/3のもののみプラマイが逆で不適なので,
nichii_2014_math_a1_9.png


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日本医科大学2014年数学解説
日本医科大学2014年数学の解説です。第1問はさくっといきたいところです。例年は第1問の小問集合以外は難しいのですが,この年度は第2問も第3問も比較的手がつきやすく,数学の出来が合否に影響したのではないのでしょうか。
私の体感難易度は,3≒2>1といったところでしょうか。

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