ひたすら受験問題を解説していくブログ
北海道大学1996年後期数学第4問
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解説

(1)みたいな問題は事故りやすい問題ですかね。(2)は簡単,(3)もノータイムと行かなくとも難関大受験生は解きたいですね。

(1)
途中で切れている階乗もどきはコンビネーションなどで処理できることがあります。
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コンビネーションは整数なので示せました。


【(1)別解答】二変数の帰納法
せっかく整数が関わることなので数学的帰納法で行ってみます。

(i)n=3の時
連続する3数は偶数を必ず含み,かつ3の倍数を含みます。したがってすべての自然数kで成立します。

(ii)n=pですべての自然数kにおいて成立すると仮定
(ii-i)k=1の場合
n=p+1で(p+1)!となるため,成立します。

(ii-ii)k=qで成立すると仮定
k=qの場合とk=q+1の場合の違いを考えて比較します。
k=qのqがk=q+1では(q+p+1)に置き換わります。
残りの部分はn=pの結果よりp!の倍数となります。
qと(q+p+1)はp+1で割った余りは同じなので,k=qの時に成立していれば,k=q+1でも成立します。

よって,(ii-i)(ii-ii)より,n=p+1でも成立します。

さらに,(i)(ii)より,すべての3以上の整数nでも成立します。

(2)
係数に適当な文字を与えてn-1乗までが出てくる範囲でのみ計算してみると,
hokudai_1996_koki_math_a4_2.png
となり,係数はnになります。
次も頑張ってもいいですが,f1をnで割れば最高次数は係数が1となるため,同じような計算をしなくとも,その係数はn-1になります。もともとnで割っていたので,これを戻してやれば,n(n-1)です。

(3)
全ての自然数kでaで割れるということは,その差であるf1もすべての自然数kで整数かつaで割れます。そして,その差であるf2も同様です。
以下,繰り返していくとfnもすべての自然数kで整数かつaで割れますが,fn=n!でもあります。
よって,示されました。


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北海道大学1996年後期数学第3問
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解説

いくらなんでももう使い古された感のある数列の極限の問題です。これ系は(2)のようにハサミうちの不等式すら与えられていなくても解けるようになっておきたい所です(別解参照)。

(1)
軸に平行な線を引いて交わるということは同じ値になるので,ただ単に代入しているということです。よって,
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(2)
まず0以上であることですが,x1で成立と与えられているので,それを使って帰納法で行きます。
n=kで成立すると仮定すると,
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相加相乗ですね。したがって,残るは中辺と右辺です。2×(右辺-左辺)≧0を示せばよいです。
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この不等式を繰り返し使ってn=1まで戻した後にハサミうちます。
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【(2)別解答】
そもそものところ不等式の係数についてどう求めればいいのかわかってない受験生って結構いたりします。2年に一回は聞かれる気がしますし。次のように考えていけば不等式の形が与えられていなくとも,いい式変換が思い浮かばなくとも(東京大学2014年前期数学第4問みたいな面倒な奴)とくことができます。

まず一般で考えますが,これ系問題は収束する値が極値になりうることからも分かる様に,漸化式に極値を入れると等号が成立するところです。したがって,その値をXとするとX=f(X),以下のように平均値の定理ととらえることができます(cnは間の実数)。
hokudai_1996_koki_math_a3_5.png

あとは,この|f’(cn)|から有限個の項を除いた数列の上限が1未満であれば収束します。本問題で考えれば,
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したがって,xn-√2>0ならば,xn+1-√2>0  (f’(cn)>0なので)であり,中辺と右辺の関係もそのまま出てきています。f’(x)の符号を気にしていますが,問題で聞かれていなければ絶対値で処理してしまって終わりです。

(3)
とりあえず接線とか言われたことをやってみます。接線の方程式にx=h(t)とy=0をいれます。一点で交点を持つので,g’(t)≠0です。また,h(t)とtの関係もそのまま入れてしまいます。
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C≠0なのは積分定数そのままの表記なら指数関数の指数部分になっているからです。


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北海道大学1996年後期数学第2問
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解説

空間図形は空間ベクトルで考えるとわかりやすいです。平面のなす角は知らないと思いつくのは大変だったかもしれませんね。

(1)
下図のように二面のなす角はその法線ベクトルのなす角と一致します。
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法線ベクトル(面の方程式の係数がそのまま法線ベクトルになります)からcosαを求めてtanαを求めると,
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(2)
各軸との交点が作る三角形なので,各点を求めると,
P’(1/a,0,0)
Q’(0,1/a,0)
R’(0,0,1/b)
となります。0<a≦bより1/a≧1/bなので、R’が最大角になります。計算の都合上全部をab倍したものをPQRとおきます。
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(3)
普通にかけて最小となるa,bを求めます。
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b/aが最小つまりa=bの時です。tanαとtanβに代入します。
tan⁡α=√2
tanβ=√3

【(1)別解答】
(1)平面とz=0の交線はx+y=1/aです。よってその法線はy=xです。平面上でy=xにそってxが1増えると,yも1増えzは2a/b減るので,tanα=2a/b÷√2=a√2/bです(√2でわるのはy=x上の距離)。



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北海道大学1996年後期数学第1問
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解説

(1)は一度は解いたことがあるでしょうし,(2)は結局オーダーだxなので,f(x)=xみたいなものでは解いたことあるでしょうね。(3)は一瞬ギョッとするかもしれませんがヒントしかない形です。

(1)
不等式の証明と言ったら移行して最小値≧0でしょう。その際には単調だと楽なので境界の値からの単調性を狙うのが定石です。そして,それが繰り返しになる問題も頻出ですね。

g(x)=左辺-右辺とします。必要なパーツを作っていくと,
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したがって,与式は示された。

(2)
関数の形が分からないf(x)のlimをとっているので,問題文中のlimの形にするしかないです。また,その場合にxe-xの形が出てきますが,(1)から考えるのが自然でしょう。先にその形を作っておけば,
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xe-x≧0なのではさみうっています。

(3)
f’(x)が邪魔なので,(2)形になる様に部分積分します。
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逆にf(x)の方をf’(x)になる様に部分積分しても解けます。


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北海道大学1996年後期数学解説
北海道大学1996年後期数学の解説です。部屋を整理していたら過去問を見つけたのでなんとなく解いてみました。典型問題が多いので難関大受験生ならサクサク行きたい所ですね。サクサクいけなければ色々抜けているので,難問に挑む前に典型解法を徹底的に復習して欲しいです。時間は100分のようですが,数学に自信ありなら60分未満を目指しましょう。

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