ひたすら受験問題を解説していくブログ
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早稲田大学教育学部2014年第4問
waseda_kyoiku_2014_q4.png

Q
早稲田大学2014年教育学部数学4番を解説して頂きたいです。
http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/14/w03.html
に解答および解説があります。
どうしてこのような発想に至るのかが良く分かりません。
解説よろしくお願い致します。


A
嫌です。河合塾の解答の発想と言われてもちゃんと読む気がしないので河合塾に聞いてください。適当に私が解いたので良ければ以下を参考にしてください。(流し読みな感じだと河合塾の(2)解答の発想は,(1)と,否定である最悪数と最良数それぞれk以下の時に,k2+1要素の数と関連がありそうってとこから考えていますね。ある意味鳩ノ巣原理的な考えですかね。最終的に最悪数×最良数以下ってとこに持っていきたいので,消す方向は最悪数以下を消していくか,最良数以下を消していくかの2択です。)

解説


定義されている良い部分集合がどういうものかしっかり整理できているか,帰納法で背理法な考え方をうまく使えるかが肝です。論証系なのに,息子をいじったり,顔にダイブされながらだと解けなかったので,この問題の(2)は難しいと思います。

(1)
まず良い集合は小さい方から並べると{a,ab,abc,abcd,・・・}のように,一つずつ新しい何か(互いに素とかは問わない)を掛けていったものになります。悪い集合ですがこっちは定式化が面倒なので適当でいいですが,互いに素な数の集合は悪い集合であることは押さえたいです(狭義の悪集合ともいうべきものですが,単純なもので話が済むほうが楽なので,こういった特殊で簡単な場合を考えるのがセオリーです)。

さて,素数からなる悪集合を縦に書いて,横が良い集合となるようなものを考えますが,一つの数が複数の列に出てきてしまうとややこしいので,そういった変な重複が無いように作ってやります(単純なものから試して,舌打ちしながら無理ならややこしいものに移っていくスタンスです)。わかりやすいものでは横は一番左に書いた最悪集合の要素の累乗にしてやるとかぶることはありません。そうすると縦横k×kのものができ,各行以外に要素数k以上の良集合は作れないので,最良数もkとなります。また,良集合の任意の2数は同時に悪集合に入れないので,各行から選べる数は1つということで最悪数もkとなり,これが答えになります。pは異なる素数たちです。
waseda_kyoiku_2014_a4.png


(2)
ここに書いてあった解答は間違ってました。もう生まれてきてすみません。

(3)
いままでk2うんぬんの話をしてきたので,2014を挟んでやると442<2014<452です。包含関係を考えれば,k2+mのような場合も,最悪数か最良数の一方はk+1以上になるため,理想としては両方ともk+1になると最小です。45×45に適当に埋めていき,空白行および空白列は作らないことを考えれば,(1)の手法で作れます(45の二乗までの要素数は入れられます)。
よって,45個の素数を1列目に書き(最悪数の確保),1行目は45乗まで書きます(最良数の確保)。残りのマス目は合計要素数が2014になるまで累乗を45乗未満で書いていけば終わりです。したがって,例えば以下のようなものです。pを素数たちとすると

A={p1,・・・,p145
   p2,・・・,p245
   ・
   ・
   ・
   p44,・・・,p4445
   p45,・・・,p4534

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早稲田大学理工学部2014年数学第5問
waseda_riko_2014_q5.png

解説


誘導が沢山ありますが,その誘導の活用が少し難しい問題です。文字が変わっているだけであることに注意して臨みたいです。

(1)
C1,C1ともにy軸対称です。よって正側(A,BのうちBとします)のみを考えればOKです。まずは2点A,Bを持つ条件を考えると,頂点をのぞくC1の値域に接線であるy=a+1が来る場合です。よって,

a+1>0⇔a>-1

となり,問題文中の条件a≧0より甘いです。次に,OBが円に接する条件ですが,Bの座標は(√(a+1),a+1)なので,直線OBがy=x√(a+1)となり,中心(0,a)との距離が半径1と等しくなることから,
waseda_riko_2014_a5_1.png

(2)
直線を先にα,βで表して接する条件を求めます。
waseda_riko_2014_a5_2.png
このときに,求めるべき式は
waseda_riko_2014_a5_3.png

【(2)別解答】
接線の方程式は公式で求めて交点が満たすべき方程式と解と係数の関係を出すと(こういう問題は大体の場合で具体的な解を求めずにα+βおよびαβを求めます)
waseda_riko_2014_a5_4.png
求めるべき式を変形して代入します。
waseda_riko_2014_a5_5.png

(3)
(2)のβをγに変えた式は成り立ち,明らかに解と係数の関係な感じのものを求めるので,βをxに変えた式の2解がβとγだと分かります(α=±1の時は(2)の前提であるs,tの条件に外れることに注意すると1次方程式にはならないです)。
waseda_riko_2014_a5_6.png

【(3)別解答】誘導無視
(2)の再利用に気づけなくともコツコツ地道に解くことは可能です。(α,α2)を通る傾きmの直線y=mx-mα+α2と放物線の交点のxは
waseda_riko_2014_a5_7.png
mが求まればどうとでもなるので,直線が円と接することからmをもとめます。
waseda_riko_2014_a5_8.png
初めに求めた交点のxがβとγだったことに注意すれば(それぞれに対応するmが先ほどのmの2次式の2解に相当することに注意。一応,下添え字で対応を表しています),
waseda_riko_2014_a5_9.png

(4)
接することを示す際に(2)の途中でで導いた式に代入してやります((2)そのものにいれてもOKですが,別解答(2)の場合は接することと(2)の必要十分性が担保されているか示すことが必要となります。)
waseda_riko_2014_a5_10.png
となり,接することが分かります。

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早稲田大学理工学部2014年数学第4問
waseda_riko_2014_q4.png

解説


書かれていることを素直にやっていけばいいだけの問題です。ただめんどくさいだけです。

(1)
微分して概形をということなので微分します。
waseda_riko_2014_a4_1.png
x軸との交点は因数分解して,
waseda_riko_2014_a4_2.png
範囲の両端の値はlimをとって
waseda_riko_2014_a4_3.png
よって,次のようなグラフになります。
waseda_riko_2014_a4_4.png

(2)
絶対値なので,符号が変わるところが範囲に入るかで場合分けしてやります。
(i)x<0の場合
絶対値内が負なのでマイナスをかけて積分します。
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(ii)0≦x≦log2の場合
log2前後で正負が変わります。
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(iii)log2<x場合
(i)の符号が変わるだけです。
waseda_riko_2014_a4_7.png

(3)
微分して極値を求めます。
waseda_riko_2014_a4_8.png
これが0となるのは範囲も考えると,第1式の解-log3と第2式の解2つで極値を取りそうです。第2式の解が範囲内に含まれるのか検討するために境界と2階微分を見てみます。
waseda_riko_2014_a4_9.png
したがって,範囲内で一つ解を持ち,符号は負から正です。そしてこの解はf'(x)を2次関数として捉えれば大きい方の解であることが分かります。よって,
waseda_riko_2014_a4_10.png


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早稲田大学理工学部2014年数学第3問
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解説


ただの場合の数なので,数学というよりも算数な問題です。でもこういうのは数学が得意でもふと失点してしまうことも多いので,他で時間を余らせてじっくり見直ししたいところです。別解答では色を別として考えた解法も載せておきます。

(1)
ある面を決めるとその面の向かいが決まるので,隣り合う三つの面を塗るのが何通りであるかということです。3つ決めてやればそれで終わりなので3!=6です。一方,全事象は6!/(2!2!2!)=90通りです。よって,6/90=1/15

(2)
どれも対面が同じにならないものを考えるのは少し難しいため,余事象で考えます。同じ色の対面は3対,1対,0対の3パターンがあります(2対が同じなら残りの対面も同じになります)。

1対のときは対となる色の選択が3通り,同じ色になる面の選び方が3通りです。残りの色の塗り方は,まず1面を決めるのに2通り,その対面は自動で決まります。残った面も同様に2通りです。つまり,3×3×2×2÷90=2/5が1対の場合です。

0対の場合は1-1/15-2/5=8/15となります。

【(2)別解答】直接
まず隣り合う三面を考えます。この割り振り方は全面異なるか2つ同じで1面のみ別の色の2通りが考えられます。

(i)全部異なる場合
3面の塗り方は3!=6通り。ある面の対面は2通り。そのとき選んでいない色を塗っていた初めの3面の対面から色を決めれば,残りの色は決まってしまうことが分かります。よって,12通りになります。

(ii)2面が同じ
同じとなる色の選び方が3通り,他の色が2通り。面の選び方が3通り。初めの3面で一つだけ色が異なるものの対面は1通りに決まります(制約の多いものから考える)。残りの面は残っている色のどちらでもいいので2通りです。計36通りとなります。

(i)(ii)より(12+36)/90=8/15

(3)
3×1/15+1×2/5=3/5

【全体別解答】区別して考える
組み合わせの問題で全部に番号をつけてしまう方法は有効です。特に,確率の場合は,場合の数のように重複の処理もしなくていいです(分母と分子で重複が打ち消しあうので)。

(1)
色に番号を振って区別して考えます(赤1,赤2みたいな感じです)。全体は6!通りです。
ある面と隣り合う3色を別の色で選ぶために,3色(番号別)の選び方は23です。これを並び替えるのは3!通りです。したがって,23×3!/6!=1/15

(2)
ある面を何色に塗るかは6通り,その対面を何色に塗るかは4通り。他の1面で4面を塗る通りは4!ですが,このうちで対面が同じになるものはまだ2色あるもの一方を入れるのは4通りで,対面は自動で決まるため,残りの2面を残りの色で塗るのは2通りとなり,計8通りとなります。したがって,
6×4×(4!-8)÷6!=8/15


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早稲田大学理工学部2014年数学第2問
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解説


条件の表記が分かりにくいですが,ごく基本的な問題で第1問同様に定期テストレベルです。3次関数の解の個数と言われれば極大極小が存在して,その積の符号です。

(1)
極値を求めろってことなので,普通に微分します。3次の係数が正なので,導関数に解が二つあれば小さい方が極大,大きい方が極小です。
waseda_riko_2014_a2_1.png
代入します。極大極小の順に,
waseda_riko_2014_a2_2.png

(2)
まず極小極大が存在するかです。存在しない場合は(1)の導関数より,a≦0で,このときf(x)広義の単調増加であり,解は1つです。
あとは,極大と極小の積で判断します(負なら極大と極小がx軸をはさむので解が3つ,正なら解が1つ,0なら解が2つです)。
waseda_riko_2014_a2_3.png
少し問題文と異なるので,求めた条件が問題文の条件を含むことか否かを考えます。まず解が1つの場合は求めた条件が(i)の条件を含みます((i)の条件ではa=0かつb=0が抜けてしまっています。)。
解が2つの条件は同じです。解が3つの条件は,b2≧0を思い返してもらえば,
waseda_riko_2014_a2_4.png
となるため,前者の条件のみでOKとなります。

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