ひたすら受験問題を解説していくブログ
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東京大学2013年前期化学第3問II後半
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一瞬、生物と間違えたかと思いました。明らかに大学受験生には見慣れないものですが、順を追って考えれば解ける問題です。やはり東大入試に必要なのは考察力です。

サ E1(5) E3(1) シ 二酸化炭素 ス J
E1によって、地道に分子式を比較すると、Oが増えております。最終的にできる構造を見ると(1)か(5)が素直なところです。そしてE3はE1ではないほうだとわかります。
正直どっちでも可能なので、何か使っていない情報を探すと不斉炭素云々が見つかります。
E1が(1)の場合はIが不斉炭素を二つ持つ(ベンゼン環に直接ついているCにOHがつきます)ため、そこからカルボキシル基が脱炭酸したJも不斉炭素を持ってしまいます(分子式を比較してやるとCが1つOが2つ減っており、カルボン酸が二酸化炭素になったのでしょう)。当然ながらベンゼン環にOHを追加したKももちます。
よってE1が(5)、E3が(1)です。この時はJのみが不斉炭素を持つことわかります。
図下の反応は実際には起こらない経路です。
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東京大学2013年前期化学第3問II前半
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多少の知識と考察力が問われる問題です。酸塩基というか電離平衡についてしっかりと理解しているかが鍵となってきます。

キ 等電点
等電点とは陽イオンになる官能基と陰イオンになる官能基を同時に持っている場合にプラスマイナスが拮抗して全体の電荷が0になるpHのことを言います。たとえばグリシンでは以下の3つの構造があり得ます(このような構造を全部同じようにとるのではなく混在して存在しています。その割合が変化していきます)。
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これは要するに酢酸が塩酸で電離具合が変わるのと同じような感じです。尚、グリシンの等電点が6ぐらいなのはアミノ基の塩基性よりカルボキシル基の酸性の方が強いというイメージです。酸解離定数pKaはアミノ基が9.6、カルボキシル基が2.34なので、[H+]=(9.6+2.34)/2で等電点が出ます。

ク (4)
等電点は酸性基が増えると酸性よりに、塩基性基が増えると塩基性よりになります。これはグルタミン酸ぐらいなら計算してしまってもいいのですが、カルボキシル基が2つに増えるということは1つのときよりも各カルボキシル基あたり半分程度でも解離できれば1つのアミノ基と釣り合うことをイメージすればいいでしょう。
よって、グリシンと比較した各アミノ酸の等電点は、Fが酸性より、Gが塩基性より、Hがほぼ同程度とわかります。Fだけ得るためにはFだけ違う電荷にする必要があるので、FとHの等電点間pHにする必要があります。
よって、pH6よりもある程度酸性である必要があります。また、そのときFの等電点より高いpHためFは陰イオンよりだから、陽極に移動します。


電離して負の電荷を帯びるスルホ基に陽イオンがくっつく感じです。この時くっつくイオンと水素イオンが交換されることになるのでイオン交換樹脂と呼ばれているわけです。
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コ B:H C:G
クの解説の通りに各アミノ酸が陽イオンなのか陰イオンなのかで考える。Aでは緩衝液がFの等電点よりも高いpHなので、Fだけ陽イオンから陰イオンになる。G,Hは緩衝液のpHが等電点より低いので陽イオンのままである。よって、G,Hはそのまま吸着されっぱなしで、Fのみ流出する。
次にBではHの等電点より高いpHで、Gの等電点より低い緩衝液なので、Hが陽イオンから陰イオンに変化し流出する。
Cは具体的に計算していないが(アミノ基が酸解離定数が9.5ぐらいなので)、Gの等電点より高いと思われ、陰イオンに変化してGが流れ出てくる。

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東京大学2013年前期化学第3問I
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見たことない物質でしょうから、ちゃんと理解している必要があります。この辺が東大のメッセージを感じます。
理解してれば煩雑な計算などない素敵な問題です(教える上でも楽です)。


3個です。算数です。要するに6のうち4つを選べということですが、回転したり裏返したりと大変です。こういうときは少ないほう、つまり置換していない水素に注目します。すると水素と水素間が何炭素分はなれているか、1,2,3しかありません。


まず、ベンゼンについているメチル基はカルボキシル基イオンCOO-になります。これを酸性にするとカルボキシル基になります。よってBは4つのカルボキシル基を持ちます。
BからM1になるときに分子内脱水(減圧なので分子間で会う確率低くなる)を2mol分しているので、隣り合うカルボキシル基が2組あるはずです。4つ連続だと真ん中2つで脱水すると他の2つは脱水できないので、間をおいて2組,2組の構造です。よってメチル基に戻せばAになります。ウの図を参照とします。


C、Dまでの反応を示すと以下のようになります。
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M1(ベンゼン-1,2,4,5-テトラカルボン酸1,2:4,5-二無水物)およびM2(4,4'-ジアミノジフェニルエーテル)とついでにP。M2は単純にアニリン作るときのような感じの還元反応です。
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オ(3)
(1)水酸化ナトリウムの方が強い塩基ですので、むしろM2の塩が水酸化ナトリウムでM2になります(問題文中でアンモニアでやってますので、アンモニアよりも弱い塩基です)。
(2)二クロム酸カリウムといえば酸化です。
(3)次亜塩素酸イオンは酸化剤です。よってNH2が酸化されつつ複雑怪奇な物質に変わると思います。アニリンも同様に酸化されて赤系のわけのわからない物質に変わった気がします。
(4)CH3-CO-かCH3-CHOH-が無いと反応しません。できるのはヨードホルムとカルボン酸塩です。
CH3-CO-R+3I2+4NaOH→CHI3↓+R-COONa+3NaI+3H2O
CH3-CHOH-R+4I2+6NaOH→CHI3↓+R-COONa+5NaI+5H2O
(5)フェーリングは還元性を示すもので、アルデヒドが引っかかります。ただし、ギ酸(キレート作ります)やベンゼン環にアルデヒドが直接着いたもの(ベンゼン環が安定をもたらします)は反応しません。もちろんアルデヒドに関係のないM2も反応しません。


Nに水素がないことから2つ結合がなされ、また、1つのNにM1が複数つくことは立体的にじゃまになって無理なのでエの図のようになります。

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東京大学2013年前期化学第2問II
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サシは考えれば解ける問題ですが、それゆえに苦手な人は点を落としてしまうかもしれません。


d、e:正直なところ、んなのしらねえよ!とキレかけましたが、イオン化傾向が最も大きいということからヘリウムとわかります。そこまでわからなくても希ガスであることはわかり、ヘリウムが核融合でまずできる元素であることからヘリウムとわかります。よってdはヘリウム、eは18
f:知識問題で14です。炭素14の年代測定は有名な話です。大気でほぼ一定ということは、大気から取り込まれた時点の同位体の比率はどの年代でも同じですが、時間経過と共に炭素14が減っていくので年代がわかります。
炭素以外にはカリウム-アルゴン法(カリウム40)、ウラン-鉛法などがあります。


よく出る結晶格子の辺と原子半径の関係の問題です。以下の見慣れた図を描いて処理します。対角線に注目すると格子の辺の√2倍が原子半径4つ分、つまり、原子間距離の2倍なので、0.526×√2÷2をすればOKで0.37083、0.37となります。
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アルゴンとKClはそれぞれファンデルワールス力とクーロン力が構成粒子間に働いているが、ファンデルワールス力の方がかなり弱いため、構成粒子の熱運動が比較的弱い低温でも切れやすいから。

沸点だの融点だのの高さは働く力の強さです。共有結合≧イオン結合、双極子相互作用(δ+とδ-による相互作用。このうちで水素結合が特別強い)、ファンデルワールス力の順に弱くなっていきます。
この順になる理由ですが、共有結合とイオン結合はきっぱり区別できるものではなく、電荷の偏りがちょっと違うだけなので一概には言えません(結合距離は共有結合の方が比較的短い気がします)。イオン結合>双極子相互作用であるのは結合に関与する電荷の量が双極子相互作用の方が少ないからです。イオン結合では1以上の電荷ですが、双極子では1未満の電荷ということです。ファンデルワールス力は一時的な電荷の偏りによるものなので更に弱くなっています。
これらと距離による引力減少の大きさ(クーロンは距離の2乗に反比例、双極子は4乗、ファンデルは7乗に反比例します(よく6乗とかいわれていますがそれはポテンシャルです)。)を考慮すると理解できると思います。


反応式をちゃんと書いてやります。3O2→2O3より、1mol減少すると2molオゾンができることがわかります。よって2.8/(44.8-1.4)≒0.0645となり0.065となります。


炭素14が宇宙線できることは知らないかもしれませんが、なんとなくわかるのではないでしょうか。よって増えます(宇宙線によって生じる中性子と窒素原子の衝突でできます)。
化石燃料はキで触れたとおり炭素14の割合が減ってしまっています。よってそこから出る二酸化炭素は今の大気よりも炭素14の割合が低いので減ります。

シ(1)(3)
決して正確ではないのですが結構使える原子価殻電子対反発理論(VSEPR理論)です。典型元素からなるものは大抵これで大体の形がわかります。形がわかったら各結合の電荷の偏りを電子親和力から出して合計します。
(1)窒素-酸素間の二重結合(ベンゼン環と同様に単純な二重結合ではないです)を2組と、不対電子を1つ持ちます。そのため、ONO角が正三角形よりも反発の弱い不対電子側に開いた構造だと推測できます(実際には134度です)。N-O間ではOに電子が引かれてしまうので極性があり、先ほど述べた構造から打ち消されないで残るので、極性を持ちます。

(2)(1)の不対電子同士で共有結合電子対を形成します。よって二酸化窒素部分の極性を互いに打ち消しあうので極性は0です。

(3)窒素を中心に考えれば、3組の共有電子対、1組の非共有電子対があるので、正四面体構造になると考えられます(正確には非結合電子対は共有電子対よりも広がってしまうので、非共有電子対の方が反発が強く、FNF角はメタンの109.5度より小さい、102.5度になります)。よってF-N間ではFに電子が引かれてしまうので極性があり、先ほど述べた構造から打ち消されないで残るので、極性を持ちます。

(4)アンモニウムイオンのHはどこがプラスか区別はつかないので(Nから非共有電子対をH+に出しているのでNが+のイメージです)、4つの全く同じの共有電子対であり、正四面体構造をとります。よってN-H間の極性は打ち消されます。Nの+は中心にあるため、隔たりがあるわけではありません。

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東京大学2013年前期化学第2問I
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ウエが見慣れない感じです。ウは式をいじくれば出てきますが、エは1つで複数箇所に配位結合する配位子(多座配位子)があるというのを知らないと悩むかもしれません。


Ag2O
はずせない問題です。今年のセンターでも出てましたね。水酸化物の沈殿と見せかけて酸化物というのはAgだけという感じで覚えてしまいましょう。


[Ag(NH3)2]+
これもはずせない問題。錯体がらみだと、Ag(2配位、直線型),Cu(4配位、正方形型),Fe(6配位、正八面体型),Zn(4配位、四面体型),Al(6配位、正八面体型、テトラヒドロキソアルミン酸は水が2配位なので4配位正方形に見える)ぐらいはよく出てくるもので何配位でどういう立体構造なのか抑えておきましょう(あくまで主要なものなので、それ以外の配位も実はよくあります)。
あとは、水酸化ナトリウム過剰、アンモニア過剰のときに溶けるか否かをまとめました(実は微妙に溶けるりはよくあります。2価のFeとかMnとか水酸化物の溶解度積がある程度あるとNH3によってOHが取られるため比較的溶けやすい)。()内の金属はまあ覚えていてもいいのではないかぐらい、[]内はお前はどこを目指すのかと問いたくなる人たち以外は放置でいいでしょう。
両方OK(両性):Zn[,Pd、Pt]
NaOHのみ(両性):Al(,Pb,Cr,Sn)[,Sb,Au?,Rh]
NH3のみ:Ag,Cu(,Ni,Co,Cd)[,Ru]
解けない:Fe(,Mn)[,Bi,Hg?,Ti]


Dの構成要素をK1とK2に共通の水層のHQ濃度でせめてやります。
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多座配位子による金属イオンへの配位をキレートというので、1つの配位子が複数座で配位することがわかります。電子が見るからに不足しているIn3+には非共有電子対が配位することになります。Qの非共有電子対はOの3組とNの1組しか考えられません。このうちOの方が複数座でIn3+に配位することは、配位結合の軌道が三重結合みたいにものすごく不自然になってしまうので、Oで1座、Nで1座だと考えられます。よって、下図(なんかいまいち)。
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0.3Vという低電圧ではイオン化傾向に従って溶出が起こる。よって、金属銅があるうちには銅よりもイオン化傾向の小さいAgはイオンになって溶出しない。また、それ以外の金属は銅より先にイオンになって溶出するため、銀のみが沈殿する。

注:イオン化傾向は高校化学だと万能として扱われがちだが、強い電圧では一部無視した順序でイオン化したり、濃度差による勾配で逆転したりします。


銅以外ということなので、情報の多い銅をまず求めます。陽極で減った銅を求めるためには銅の合計は一定ということからせめます。まず陰極で110.0g増えています。水溶液では0.02mol/L×2L×63.5g/mol=2.54g減っています。これらの合計と銅の減少量は等しいので、112.0-(110.0-2.54)=4.54です。
有効数字2桁なので4.5g

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東京大学2013年前期化学第1問ii
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やっていることは簡単なのですが、問題把握力で差が少し出るかもしれません。


質量作用の法則、個人的にこういう暗記モノは苦手で、私の中では本年最難問でした(ぐぐりました)。ちなみにlaw of mass actionなのですが、ここでいうmassは質量ではないため誤訳だったりします。意味的にも質量ではなく(物質)量ですよね。


変化が嫌いなルシャトリエさんです。熱以外の変化に関するものは平衡定数を考えればわかります。温度の変化は温度による粒子の熱エネルギー分布を考察すれば出てきた気がします。

反応容器の体積一定で物質Aおよび物質Bの物質量が増えるので、モル濃度が増加する。ルシャトリエの原理から変化、つまりA,Bの濃度増加を打ち消す右方向に反応が進む。

ケ(ii)
Aを1mol、Bを2mol追加してCが2mol取り出されたということは、反応容器内に入れた注入したA,BがそのままCとして取り出されたということと変わらないので、初めの状態と濃度変化はなく同じである。


P/RT=n/Vという関係から、モル濃度は圧力に比例することがわかり、ピストン内と反応容器の物質の分圧は等しいので反応容器内の濃度はA,B,Cそれぞれ、1/VA、2/VB、2/VCとなります。平行定数に入れてやると、todai_2013_chem_1a_2.png


ルシャトリエの原理より、温度を減らす吸熱反応の方向が逆反応だとわかり、正反応は発熱反応になる。

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東京大学2013年前期化学第1問I
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だから長いと・・・見慣れない酸が出てくるもののやっていることは標準的な問題です。エ(イ、カ)以外は合格者で点差はつかないのでは?という感触。


潮解。潮解が起こる理由は、その結晶の飽和水溶液の飽和水蒸気圧が大気中の水蒸気圧よりも低いために起こります。
イ水酸化ナトリウムに不純物といえば、炭酸ナトリウムと水と脊髄反射してほしいところで、Baも沈殿できるのはまず炭酸イオンが思いつくでしょうから確実に点を取りたい問題です。

Ba(OH)2+Na2CO3→2NaOH+BaCO3
水酸化ナトリウムは空気から二酸化炭素を吸収するので、炭酸ナトリウムを不純物として含む。新たな二酸化炭素の混入を防ぎつつ、この不純物を炭酸バリウムに変えて除去して純粋な水酸化ナトリウムを得るため。


アミド硫酸=16×3+32.1+1×3+14=97.1よって求める濃度をxとすると、1.444/97.1=x×15.20×10-3⇔x≒0.9783、よって0.978mol/L

エ弱酸がらみなので、平行定数1.8×10-5=[CH3COO-][H+]/[CH3COOH]から水素イオン濃度を出してpHを求めることになります。弱酸のみの場合には電離した量=水素イオン分をxだのと置いて式を立てれば解けますが、今回のケースでは水酸化ナトリウムによって中和されているので、[H+]と[CH3COO-]は等しくないし、[CH3COOH]は電離してH+を生じた量より減っています。
そのため、水酸化ナトリウムを10mL加えた点から考えます。
まずはウで求めたxをそのまま使って、酢酸の濃度を求めます。20x=100(酢酸濃度)なので、酢酸濃度=x/5です。
なので、半分中和した点では[CH3COOH]も[CH3COO-]もx/10から考えればよいことになります。
ただ、体積は100mLから110mLになっているのでそこだけ気をつける必要があります。電離によって生じる水素イオン濃度をyとすると、
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上記では物理でよく使うルートの近似を使っている。また結果がx/11に関係ないことから推測できるように、Kが小さいと扱える範囲ならば、緩衝液の場合は中和して生じた弱酸イオン濃度と残っている弱酸の比でpHが決定する(yの項のx/11をa、定数項のx/11をbとおくとbK/aが水素イオン濃度になることがわかる。)。


4.0×10-4=[A-][H+]/[HA]、0.1≦[A-]/[HA]≦10より、
4.0×10-4÷10≦[H+]≦4.0×10-4÷0.1
⇔-log10(4.0×10-4÷0.1)≦pH≦-log10(4.0×10-4÷10)
⇔3-0.6=2.4≦pH≦5-0.6=4.4


半分中和した時点のpHが4.74であり、指示薬Xの変色を肉眼で観察できる範囲を過ぎてしまっているため、半分中和した時点以降の変化は指示薬Xでは観察不可能であり、指示薬として不適切である。

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東京大学2013年前期化学解説
東京大学2013年前期化学の解説です。化学も難易度は普通から低め。時間との戦いなだけかと思います。ただし、それは化学的現象の仕組みを理解している場合の話です。見慣れない内容が多いため、単なる暗記で化学を学んでいる受験生だと詰む可能性が高いと感じました。まあ毎年のことですね。
数学では駿台さんを初め予備校勢の方が問6の解答がきれいだったり、物理では駿台さんに先を越されたり、化学では他社も含めて先を越されたり散々なので、解説部分で頑張りたいと思います。

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東京大学2013年前期物理第3問
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だから相変わらず問題が長いと・・・。難易度は一番難しい大問ですが、それでも簡単です。題意把握にちょっと躓く可能性があるかもしれません(最後の問で私が躓いたようです)。

I
(1)
自由端反射ですね公式でもいいですし、覚えてなければその場で合成とかしてもいいと思います。基本振動数f0となるときの波長は2hAとなるので、f0=VA/(2hA)

(2)
hAが最小ならばf0が最大。共振が起こるものはf0の倍数なので最大公約数をとると、f0=1.0×106Hzとなり、hA=5.0×103/(2.0×106)=2.5×10-3m

II
(1)
コメントに困る問題。これが無で(2)以降だけでよかったのではないかとも思う。順にQS、PR、SPQ、PSRが答になる。

(2)
縦波がSについた時点で横波も発生することに注意が必要です。Qにあった縦波がSに着くまでの時間は(1)と同じですが、その間にPから進む横波は縦波の1/k倍にしかなりません。SPは共通なので、sinも1/k倍になります。よって(sinα)/k

(3)
屈折角も(1)と同様に考えます。Pから出る縦波はVBであり、これは反射の場合のVB/VA倍です。SPは共通なので(VBsinα)/VA
横波はVB/kであり、横波の反射の場合のVB/VA倍です。よって(VBsinα)/(kVA)

III
(1)縦波の屈折角が存在しない、つまりsinφがあり得ない値ということです。0≦φ≦π/2なのでsinφ>1となってしまうsinαを持ってきてやればOKです。VBsinα)/VA>1よりsinα>VA/VB。横波は屈折角が存在して、π/2ではないのでsinφ<1よりkVA/VB>sinα。よって(kVA/VB>)sinα>VA/VB

(2)
見事にはまって駿台さんともども間違った解答出してしまっていたようです。経路が真逆になるというのをちゃんと考察しないで、戻ってきたA内も横波で通ると勘違いしていました。ごめんなさい。

戻り時の角度α'はA内も横波だとすると、sinα'=VA/VBsinφ'となって、αと一致しません。一方、縦波だとすると、sinα'=kVA/VBsinφ'となって経路は一致します。
以上のことから、行きも帰りもA内は縦波、B内は横波になります。

距離は深さ方向をcosで割ったものになるので、2{hA/(VAcosα)+hk/(VBcosφ')}になります。

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東京大学2013年前期物理第2問
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ブログに載せるには問題がなげええ、という印象です。難易度はI(3)で少し悩むかな程度。

I
(1)
等速円運動でやってもいいのですが,本問ではθ≒0で,yの変化は小さく,と注意書きがあるので,直線として処理してかまいません。
通過するのにかかる時間はd/vです。受ける力は-qBvなので、y方向の速度は-qBv/m・d/v=-qBd/m。よってtanθ=qBd/m ÷v=qBd/(mv)≒θ

(2)
(1)に入射時のyをy0としてBを代入するとtanθ=qy0bd/(mv)となるので、粒子の軌跡はy=-qy0bdx/(mv)+y0となる(正確には≒ですが)。これをxについて解くと、mv/(qbd)
(3)それぞれ+と-を考えてやればよい。どちらも+方向ならyが負に向かって磁力線が向かう。--は逆。これらはz軸に垂直な磁力線になるため、+-か-+になる。+-なら問題の図bの左上から右上、右下から左下に流れるので所望する磁界になっている。よって+-が答。

II
(1)
θ≒qy0bd/(mv)の両辺を2で除すれば2mだとわかる。

(2)
粒子Pの方はy=-qy0bdx/(mv)+y0にx=3f/2を代入すると、-y0/2だとわかる。
粒子Qの方はy=-qy0bdx/(2mv)+y0が軌跡になるので、x=3f/2を代入すると、y0/4となる。

(3)
P、QがA2で曲げられる角度を求める。(1)にB=kbyを代入してA1の角度と和をとると、
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(4)A2をx=0と取り直して、(3)から方程式を立て、y=0となるxが一致するkを求める。
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東京大学2013年前期物理第1問
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エネルギー保存則で考える問題です。正直なところ標準レベルの問題集に載っていてもいいレベルです。

I
(1)
求める速度をv1とでもすると,エネルギー保存則より(左辺が初め,右辺が衝突前),
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(2)
反発係数が1なので,運動量保存則と連立します(連立しなくても重さが同じ時点で速度交換ですが)。衝突後の小球1,小球2の速度をそれぞれv1',v2'とすると,
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【別解答】
ちなみに反発係数ではなくエネルギー保存則が成立としても解けます。
完全弾性衝突では運動量だけではなく,エネルギーも保存されるので,
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(3)
再びエネルギー保存則。小球1は速さが0の点がdの伸びたところなので,縮みもd。小球2は求める縮みをxとすると,
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【別解答】
バネのエネルギー保存則で行く手もあります。つまり伸びきった状態での保存則を考えます(やってることは同じですけどね)。
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(4)
各小球が互いに向かい合う方向を正,自然長の位置を原点に座標をとる。また,時刻t=0を小球の1回目の衝突とする。それぞれの位置をx1,x2,周期をTとすると,
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II
(1)
ばねの力が静止摩擦を上回ることなので,ks>mgμ⇔s>mgμ/k
(2)
エネルギー保存則,外力がする仕事分考慮します。
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【別解答】
一定の力がかかるバネは釣り合いの位置が変わる単振動です(重力がかかる鉛直方向のバネを思い返してください)。
よって,摩擦力=復元力なる点が中心です。よって中心をx0とすると,
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ここで中心からの距離が左端(自然長から-sの点)≧と右端(自然長からdの点)になることを考慮すると
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と求まります。ちなみに,摩擦力があるバネの運動で往復を考える場合は,往路復路で中心が異なるものを考えれば楽に行くケースも多いので,この方法をマスターしておくと幸せになれます。

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東京大学2013年前期物理解説
東京大学2013年前期物理の解説です。全体的にぬるいです。満点が楽に狙えるセットです。物理が普通な感じの人でも第1問は満点、第2問、第3問も半分ぐらいは取って欲しいと思います。偉そうなこといって間違っていたらごめんなさい。←2/28追記:間違ってました。そういえば自分が受けた本番もミスしまくりだったこと思い出しました。

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東京大学2013年前期数学第6問
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煩雑です。通常ではあり得ない切り口を考えるため、なれない受験生には全く手がつかないかもしれません。ただ、(1)は自分で出した面積を使った体積積分が簡単に求まる回転軸による体積と同じになることが確認できるので、時間があまったら検算も可能です(今回のセットであまるのはアレな人だけな気がしますが)。

体積が面の積分であることや面積が線の積分であることの理解、2つの平面で上手く作図して立体を思い浮かべられることなどが求められるのでしょうか。とりあえず,サクッと行けるベクトルでの解法も別解答で載せておきました。

(1)(図のBとDが逆でした。修正しときました。)
yz平面で切るので、yかzを固定して考えます。とりあえずyを固定して、そのyでV1にはさまれているzの長さを求めてyについて積分します。下手な図を描くと次のようになります。
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最終的に求めたいのはGFの2倍とその積分です。
GFを求めるためにはMGとMFがわかれば何とかなります。△EMFが直角二等辺三角形になることから、MF=EF/√2=√(2) (t-k)/2になります。MGは円の半径なので下図で考えるとわかりやすいでしょう。
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(i)-t≦y≦1のとき図左より、MG=MG'=MB=HI√2={1-(t+k)/2}√2。
(ii)y<-tのとき図右より、MG=MG'=MD=HI√2={(t+k)/2+1}√2
GFを導き出し積分して面積をだすと、
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(2)V2についても同様に考察(xz平面に対する対称性を利用すると早い)してやるとGF/√2は以下の3パターン+1をとる。
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短いほうを採択してやればよい。(i)と(iii)、(ii-i)と(ii-ii)の積分は対称性から同じになるので、x=tでの断面は
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になる。-1≦k≦0も同様に考えて-1≦k≦1まで積分するが、対称性より0≦k≦1を2倍すれば体積が出る。
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【別解答】ベクトルによる解法
2017年でもベクトルで円錐が出ていたので,別解答乗せときます。めんどくさいので対称性とか多用してます(わかりにくかったらごめんなさい)。
(1)
求めたい曲面上の点をS(x,y,z)とします。y≧-xの領域では,OBを軸として角度がπ/4の曲面な円錐なので,
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同様にy≦—xの領域ではODを軸としたものですが,y=-xに対して対称なので,yと-xを入れ替えます(途中の式のB由来の1をDの-1に入れ替えてもいいです)。
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これらに囲まれた図形になります(交点がAとCつまりy=-xなところに相当するのは自明なので)
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最後は2次関数の1/6公式です。

(2)
V2は回転軸が変わっていますが,V1のy軸対称ですから,x=tの断面は,(1)の断面にx=-tを代入すれば終わりです。
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z2の係数に着目すると1+t>1-t>0なので,グラフの開き具合は(1-t)で割っている方が小さいです。したがって,断面積は共通部分はそれらに囲まれるものになります(z軸対称なグラフになっているので,片方が囲むものを2倍します)。
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あとは本解答と同じです。

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東京大学2013年前期数学第5問
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解き方が悪いのか、題意を勘違いしているのか数学の問題として微妙に感じます。この辺は京大との違いでしょうか。

(1)
単純に展開して引きます。真ん中={(x+y)2-1}(x+y)=x3+3x2y+3xy2+y3-x-yとなります。
真ん中-左辺=3xy2+y3-x-y=x(3y2-1)+y3-y>0となります。y≧1であることから、x>y(1-y2)/(と3y2-1)なります。1-y2≦0、y>0、3y2-1>0なので、x>0では常に成立します。
次に、右辺-真ん中=x2+(1-3y2)x-y3+y>0、これをf(x)とでもすれば、f(0)=-y3+yになりますが、これはy≧1より0以下になります。また、軸は(3y2-1)/2なので、これも正となります。よって、f(x)=0の解のうち大きいものよりもxが大きいときに右辺>真ん中は成立します。
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(2)誘導的にyを好き勝手に定めたときの(1)を使います。x=10kとして充分大きなkをとれば、(1)の成立条件を満たします。するとx>3y-1ならば、左辺では10000・・・・{3y}・・・・00000という形が出てきて、右辺では10000・・・・{3y+1}・・・・00000という形が出現します。ここで3yが1が99桁のもの(3で割れるのでOK)を代入してやれば、(1)の真ん中は、10000・・・・{1}×99 X・・XXXXXXXというようになります(10000・・・・{1}×99 0・・・0000と10000・・・・{1}×98 2・・・0000にはさまれるので)。

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東京大学2013年前期数学第4問
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恐らくベクトルで解けということなんでしょうが、ベクトルベクトルした解法は予備校さんにゆずります。

(1)図形を描くと以下の感じです。与えられている0ベクトルとなる式ですが、ポイントはこれが単位ベクトルの和であることです。つまり、すべての長さが1であり、これが上手く平行移動すれば正三角形になるということです。CBはピタゴラスって出しています。
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この比から、∠ACB=30度、∠ABC=60度の直角三角形です。三角形の内側にある点なので、∠APC>∠ABC=60度①、∠BPC>∠BAC=90度②ということがわかります。単位ベクトルを組み合わせると辺が1の正三角形を1周することから、ベクトル同士は60度または120度の角でなければなりません。よって、①,②より∠BPC=∠APC=120度となり、∠APBも120度になります。

(2)PA=a、PB=b、PC=cとすると、Pと頂点ABCのうちの二つの頂点からなる3つの三角形の面積と、Pにおける角の余弦定理より、
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となるが、②~④のうちで、二つを足し、1つを引くと次の3式が得られる。
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a≠0なので、
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であり、①にでもどれにでも代入すればa>0よりa=1/√7、b=2/√7、c=4/√7を得る。

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東京大学2013年前期数学第3問
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偶奇性がポイントになってくる問題です。Aの勝利で終わるときには何回コインを投げていなければならないかという話です。恐らく漸化式でいけるのでしょうが、直接求める方法でいきたいと思います。

(1)
色々書いてみると、考えられるパターンとしてBが0点、Bが1点でAが勝利のパターンが考えられます。以下、表記上AはAが表、A'はAが裏、BはBが表、B'はBが裏を出した場合とします。
基本的にA'B'A'B'A'B'・・・・A'B'そしてラストにAという配列を元に考えます(配列Ωとでもしておきます。A'B'のセットにAなので投げた回数は奇数です)。
(i)Bが0点
ΩのどこかにAを入れてやればできます。Ωの回数は奇数であるため、Aを入れた後のものは偶数でなければなりません。そのため、n=2kとします。
次に、Aが入りうるところはA'の前と、ラスト前のB'のあとです。ここでA'B'のセットはk-1あるので、Aが入れる箇所はk箇所になります。決まった配列に対して、該当するものを選んでいく(裏表を決めていく)のでk/22kが確率になります。nに戻してやると、でn/2n+1

(ii)Bが1点
(i)に更にBを追加してやればOKです。そのため、奇数回になります。n=2k-1とします。
(i)でn=2(k-1)を考え、それにB加えてもいいですし、AとBを加える前の段階2k-3回のコイントス、A'B'A'B'A'B'・・・・A'B' AにAを加えてBを加えてもOKです。なので、k-2+1=k-1通りのAの加え方があって、BはB'の手前なので、k-2通り考えられます。よって(k-1)(k-2)/22k-1が確率になります。nにもどしてやると、(n-1)(n-3)/2n+2

(2)偶数奇数で異なるものはセットで考えるとよいです(n→∞でp(n)→0なのでセットのみで考えてOK)。よって
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で求まります。カッコ内の第1項の無限和をS、第2項のをM、第3項をUとします。
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S+M+U=40/27-20/9+4/3=16/27

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東京大学2013年前期数学第2問
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割ったり色々すると微分のしやすさなどが変わることを利用した問題です。知っていればい
けるが、知らないと半分ひらめきの世界です。一応の考え方は、普通に微分すると三角関数とxと定数aがまじってカオスになるため、どれかを消せないかという着想だったりします。

x>0より、xでかけたり割ったりしてもOK。なので微分時にaをきれいに消すためにxで除したもので考えます。
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となります。x>0よりh'の符号はcosxの符号の逆になります。よって負でない整数nを用いて表せば、
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となります。x→0のとき∞に発散すること、および、nが増えるに従って極小値の絶対値や極大値の絶対値が単調に減少することから、グラフは図のような概形になり、x軸が①、②から③の境界を含まない部分に来るときに解を3つ持ちます。
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それぞれの接している部分でのh(x)との関係から①が-2/(5π)-a=0、②が、2/(7π)-a<0、③が2/(3π)-a>0となるので、a=-2/(5π)、2/(7π)<a<2/(3π)のとき解を3つ持つことになります。

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東京大学2013年前期数学第1問
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行列(もしくは複素数)による回転で解くことができます。与えられた2段目の式より、
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つまりnを一つ増やすことは、θ回転しつつ、距離を定数倍である√(a2+b2)していく操作になります。
よって(i)を満たすためには距離がP0(距離が0ではなく1)とP6で変わってはならないため、(a2+b2)3が1でなければなりません。よってa2+b2=1になります。
また、0≦θ=kπ<2πとするとP6がP0になるためには、6kπ=2mπとなる0以上の整数mが存在しなければなりません(OP0およびOP6がx軸となす角は一致するので)。よってk=m/3になります。
ここで、0≦kπ<2πより、m=0,1,2,3,4,5に絞れます。

さて、(ii)の条件より、n=6で初めてP0に戻ってくるので、m/3とかけて2の倍数となる整数で最小のものが6でなければなりません。もし、mが6の因数ならば、6/m<6をm/3にかけると2になってしまいダメです。また、m=0もm/3が2で割れてしまいます(m=0は変化しない操作)。
よって、m=1,5であり、この時実際に角度を計算してみると(ii)の条件を満たしていることがわかります。
よって(a,b)=(1/2,±(√3)/2)

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東京大学2013年前期数学解説
東京大学2013年前期数学の解説です。難か全体的にむずい気がします。気づくか気づかないか、そんな問2と問5(2)だったり。第1問、第3問、第6問あたりは確実に取りたい気がします。盛大に計算ミスとかしてたらごめんなさい。

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慶應大学医学部2013年数学第1問
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(1)>(3)>(2)ぐらいの難易度順です。ここで失点しているようでは合格は厳しいのではないでしょうかという問題です。

解答


(1)こういう問題は苦手なので若干苦戦したりしてます(求めるべきsin2θは角度の統一を図ると、2sinθcosθなので、与えられた式からこれを作ってやろうと二乗しましたが、直接はでずに結局因数分解になってしまいました。)二乗すると9sin2θ+6sinθcosθ+cos2θ=9⇔-4cos2θ+3sinθcosθ=cosθ(3sinθ-4cosθ)=0。ここで、0<θ<π/2からcosθは0にならないので、3sinθ=4cosθ、すなわちtanθ=4/3となり、sinθ=4/5、cosθ=3/5となるため、sin2θ=2sinθcosθ=24/25です。

(2)最終的に求めるものが指数になっているxとyを使ったものなので対数を取ります。(1/x)log7=log9⇔x=(log7)/log9、(1/y)log63=log3⇔y=(log63)/log3。
よって2x-y=2(log7)/log9-(log63)/log3=(log7)/log3-(log9+log7)/log3=-2

(3)
(i)平面の方程式をax+by+cz=1とすると、A,B、Cの値を代入すれば、(1/2)x+(1/√2)y+z=1であることがわかる。これに垂直なベクトルは(1/2、1/√2、1)です(原点を通る平行な平面(1/2)x+(1/√2)y+z=0を考えてやれば、この平行な平面上の任意の点(x,y,z)と(1/2、1/√2、1)の内積は0になる)。
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(ii)
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(iii)AB上をs:1-sに内分する点を考え、これがPになる条件を調べる基本問題です。
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となり、2:1が答です。

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慶應大学医学部2013年数学解説
慶應大学医学部2013年数学の解説です。ただ私が苦戦しただけかもしれませんが、第2問の(3)が少しだけ難しく、第3問の(2)、(3)が注意しないと間違いそうです。それ以外は第4問で計算の上手さが問われそうですが、やっていることはぬる問です。
(注)一応25日夜から深夜に更新予定ですが、東大入試が25日なので、そちらの問題が手に入ったら更新は遅れるかもしれません。

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早稲田大学理工学部2013年物理第3問
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問3までは確実に、問4、問5もできれば点を取っておきたいです。問6はむしろ数学という感じで、苦手な人は苦手かもしれません。なお図の配置とかは大幅に変えています。

(1)山から山の距離が波長λ=Lで、Tで3Lつまり3λ進むので、3/Tが振動数。
(2)山が発生するときの波源の位置と、その山がどう伝わるか(円になる)を描いて行いきます。まずSで山ができ、Tの間に3L進みます。次の山はT/3後なので、V・T/3=L/2から発生します。残り時間は2T/3なので時刻Tまでに2L進みます。次の山は2T/3後なので、Lから発生し、Lだけ進みます。よって、下図のようになります。waseda_riko_2013_butu_3a-1.png
(3)公式からやってもいいですが、うろ覚えなので合成します。スリットからの距離をそれぞれ左からr1、r2とすると合成波は
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となります。これが常に0になるはじめての点ではtを含まないcosの方が0なので、2スリットからの距離の差がπ/2、はじめて振幅が最大になる点ではπということになります。
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近似計算の意味合いは下図の様なものだったりもしますので参考に。
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(4)すべての波が強めあう点を求めろという意味なので、(3)のθ2を使ってどうにかならないか考えます。出てきたのはλ/ω、正確には整数kを持ち出してλk/ωだったので、スリットの距離に着目すると、2つのスリットであり得る距離は30d、45d、60d、75d、90d、120d、135d、180dとなります。これらを分数にもつものを上手いこと同じ値にするためには、分母に最大公約数だけ残すようにそれぞれ別のkをかけてやればよくなります。つまりλ/15dの倍数で最大になるので、1倍のときのλ/15dがsinθ3です。

(5)(パッと見では十分条件にしか見えないものを必要条件として与えられていて不快ですが)言い換えると、「明るさが0となる点では、すべての対が打ち消しあうような、ある2つずつのスリットの組み合わせ方が存在する」ということです(たぶん)。とりあえず距離に着目すれば、(D/4、D/4)、(D/2、D/2)、(3D/4、D/4)という組み合わせが考えられます。0になる点ではθ1的な状態を探すため、λ/2ω、正確にはλ(2k-1)/2ωとなる最小の自然数kを考えます。
(i)D/4、D/4
同じなので、k=1で2λ/Dです。
(ii)D/2、D/2
同じなので、k=1でλ/Dです。
(iii)3D/4、D/4
ωに代入するとそれぞれ2λ(2k1-1)/(3D)、2λ(2k2-1)/(D)となります。これが等しいので6k2-3=2k1-1より、k1=3k2-1で最小のものはk1=2、k2=1で2λ/Dです。
(i)~(iii)より、sinθ'4=λ/D、sinθ'5=2λ/D

(6)積分で物理を学ばない高校生向けの方法のせいで逆に難しくなっている問題です。積分で求めてしまえばあっさりと求まります。スリットの中心を原点にとり、左方向をxの正として座標を取ります。座標xの点からの距離がR+xsinθになるので、
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小さいほうから順にn=1,2を代入すればよい。よってsinθ4=λ/D、sinθ5=2λ/D

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早稲田大学理工学部2013年物理第2問
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問6以降が難しい問題です。なので問5までははずさないで点を取りたいです。注意:なぜか問7だけ予備校各社と答があっていません。なので、多分私が間違っているんでしょうが参考程度に載せて起きます。間違っている箇所がわかったらコメいただけると助かります。←x方向を斜面に直すの忘れていただけでした。

(1)ばねにかかっている力は小球による斜面に平行な力です。これはmgsinθなのでkΔx=mgsinθよりΔx=(mgsinθ)/kとなります。小球がある状態でL/3なので引いてやればL/3-(mgsinθ)/kとなります。

(2)斜面に平行上向きが正で、釣り合い状態を0として距離をrで表すと、小球の加速度r''=-(k/m)rになります。よってsin{√(k/m) t}のようになるので、周期は2π√(m/k)となります。

(3)台と小球の相対的な速度vsに床から見た台の速度を加えてやればよいです。小球の相対速度は(-vscosθ,vssinθ)なので、(vx-vscosθ,vssinθ)となります。

(4)車輪を忘れそうですが釣り合いを考えると出てきます。
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(5)小球が受ける力は上図の反作用(台から受ける垂直抗力)、重力による力、ばねによる力の和です。重力による力のうちで、斜面に平行な成分はばねによって打ち消されるので、結局、斜面に垂直な力のみ残ります。
これは加速度的なものになりますが、直後なので、速度も同じx成分とy成分の比になります。よってx:y=sinθ:cosθとなります。

(6)普通に式を立てると次の二つの式が立ちます(小物体の重さをq、小球速度のx成分をvtとしています。もしかしたら素直にvtを使ったほうが計算が楽かもしれません)。
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これだとわからない変数が3つに対して式が2つなので解けません。なので(3)を使い、相対速度にして比を取ると、斜面から離れないことから次のようになります。
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これを代入した以下の2×②-V×①を解けば、
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vx=Vとなります。また、この時、①より、q=(M+msin2θ)となります。

(7)台と小球はx方向の外力が作用しないので、二つの重心は等速直線運動します。そこで、下添え字の1をばねの釣り合い状態からの重心に対して台の変化量、下添え字の2をばねの釣り合い状態からの重心に対して小球の変化量として運動方程式を立てると以下のようになります。尚、ばね釣り合い時を基準に取っているので、小球にかかるmg由来の力は打ち消して記述しています。また、Nは一定ではなくtの関数です。
waseda_riko_2013_butu_2a-6.pngwaseda_riko_2013_butu_2a-7.png
④/m-③/MよりΔx=x2-x1とすると(yについても同様にする)、
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であり、斜面から離れないためには(Δx)'':(Δy)''=cosθ:-sinθなので、
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となります。⑤に代入すると、
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(8)重心の速度をVgとすると運動方程式と、重心を原点とした座標系であることから
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早稲田大学理工学部2013年物理第1問
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基礎的な問題です、きちんと一個ずつ処理していけば設問がすべて誘導になっていることもあって満点は難しくありません。なお、選択肢はスペースの関係上除いております。

(1)棒が横切るBの本数に等しいので、Bに垂直な方向にどれだけ移動したかで考えます。Vcosθですね。よってこれに長さをBをかけたBLVcosθ

(2)回路を書いて起電力と抵抗から電流を求めてやります。BLVcosθの起電力でrとRが直列に繋がっているので、電圧降下の式はBLVcosθ=I(r+R)であり、I=(BLVcosθ)/(r+R)

(3)こういう問題の棒は、自分で起こした電流によって速度を打ち消す方向に向かって力がかかります。何とかの何手の法則とかなんとかで表されるので、I×Bですね(掛け算ではなく外積です直交しない場合はIBsinφです)。これに棒の長さをかけるので、よって-(B2L2Vcosθ)/(r+R)が電気云々でかかる力です。これの水平方向成分,つまりcosθ倍に重力(マークじゃないと忘れそうですが)-mgsinθを加えたものがかかっている力です。
等速運動をするということはこれを打ち消す力をかけ続ける必要があり、(B2L2Vcos2θ)/(r+R)+mgsinθ。

(4)棒1を通る電流をx、棒2を通る電流をyとします。棒1とrからなる回路の電圧降下はxR+(x+y)r=BLVcosθ、棒2とrからなる回路の電圧降下はyR+(x+y)r=BLVcosθとなります。足すとx+y=BL(cosθ)(V+v)/(R+2r)、引くとx-y=BL(cosθ)(V-v)/Rを導けるので、さらに差をとると、y=BL(cosθ){(R+r)v-rV}/{R(R+2r)}

(5)等速直線運動になるので、かかる力の合計が0。電流による力は水平方向にBLIなので、導線方向には上にBLIcosθ。よってかかる力の合計-BLIcosθ-mgsinθ=0よりI=-(mgtanθ)/(BL)。

(6)問4と問5のコラボです。問4で速度をv=0とすると、BL(cosθ)rV/{R(R+2r)}です。問5では、-(mgtanθ)/(BL)であり、これらが等しいのでV=の形にしてやれば次のようになる。{mgR(R+2r)sinθ}/(B2L2rcos2θ)
(7)問5よりI=-(mgtanθ)/(BL)になるので、電力=RI2に代入すると(Rm2g2tan2θ)/(B2L2)
(8)棒1には流れる電流をIとすると、BLIcosθ+mgsinθの力が必要なため、IにI=(mgtanθ)/(BL)を代入すればよい。よって、2mgsinθとなる。
(9)等速運動なので、運動エネルギーは変化しない。よって、位置エネルギーの変化をみてやる。
I=-(mgtanθ)/(BL)ながれている。電圧降下から計算してやればI=-(BL(V-v)cosθ)/(2R)なので、v=V-(2Rmgsinθ)/(B2L2cos2θ)となるので、sinθをかけて単位時間当たりの鉛直方向の変化量に直し、位置エネルギーに変えるためにmgをかけてやればよい。よってmgVsinθ-(2Rm2g2tan2θ)/(B2L2)

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早稲田大学理工学部2013年物理解説
早稲田大学基幹理工学部・創造理工学部・先進理工学部の2013年物理の解説です。やたら検索でうちに来る人がいるので申し訳ないから急遽作りました。第2問がむずい。というか予備校各社の解答と問7だけ何度計算しても一致しませんが、もういいやのせます。まちがってるところがわかったらコメで教えてください。でも自分の7問の解答で関係している問8が正解になるのが謎です。(自己解決しました。)
第1問はぬるい。第三問は6は間違う人それなりにいそうという感じです。


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慶應大学理工学部2013年化学第3問
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記憶が曖昧で間違えるとしたらオキぐらい?そんなレベルの問題です。なお、スペースの都合上、問題文中の構造式の例は省略しています。

(1)
ア:有機物を燃やして二酸化炭素いくら、水いくらって問題は解き方決まっています。燃やした後の二酸化炭素と水に含まれるCとHのモル比を出します。もとの有機物がCとH以外も含むならCとHの重さも出しておいて、燃やした有機物から引いてあげるとC,H以外の重さがわかるので、そこからモル比を計算します。これで組成式がわかるので、あとは分子量(与えられている場合もあれば、状態方程式などで求める場合もあります)の制限で何倍かしてあげます。
CO266mgには66/44=3/2mmolのCで、質量は18mgです。一方、32.4mgのH2Oには32.4/18×2=3.6mmolのHがあり、3.6mgです。よって有機物中のOは26.4-18-3.6=4.8mgあることになり、4.8/16=0.3mmol存在します。よって、C:H:O=3/2:3.6:0.3=5:12:1となり組成式はC5H12Oとなります。
この式量は88であり、分子量が125以下なのでC5H12Oがそのまま分子式になります。

イ:とりうる物質を考える際には与えられている反応もそうですが、飽和炭化水素からどれだけ水素が少なくなっているかが重要です。5×2+2=12なので飽和しています。よってOが1つで取り得るものはアルコールかエーテルになります。Aだけナトリウムと反応しないのでエーテルになります。
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ウ、エ:以下のヨードホルム反応(ハロゲン一般ならハロホルム反応)によってヨードホルム(ハロホルム)とカルボン酸塩ができます。
CH3-CO-R+3I2+4NaOH→CHI3↓+R-COONa+3NaI+3H2O
CH3-CHOH-R+4I2+6NaOH→CHI3↓+R-COONa+5NaI+5H2O
アルコールのほうだと酸化されてケトンになってから反応する感じでOKです。
さて、BとCですが、取り得る構造をあげるとOH基を二番目の炭素に持つものなので、下図左の構造が必須です。
それに炭素3つ分加えればよいので、真ん中と右の構造が考えられます。それぞれ、→後のカルボン酸Naができるので、Bは真ん中、Cは右になります。
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オ:一酸化炭素。CH4+H2O→CO+3H2。生成物が水素と与えられているので知らなくても天を取りたいです。
カ:ジメチルエーテル。2CH3OH→CH3-O-CH3
キ:エチレン。ワッカー酸化とか言う反応です。2CH2=CH2 + O2→2CH3CHO
ク:水の付加なので考えられる物質は第3級アルコール(OHが着いているCにCが3つ着いているもの)と第1級アルコール(OHが着いているCが1つ着いているもの)がありますが、参加されないことから第3級アルコールの方とわかります(第1級はアルデヒド→カルボン酸、第2級はケトン)。
keio_riko_2013_kagaku_3a-4.png
反応の仕方を考えるとヒントの酸化云々がなくても第3級とわかったりします(マルコフニコフ則ってやつですね。逆につく逆マルコフニコフ則もあるので覚えりゃいいってもんじゃないですが)。

ケ:今度は逆に脱水です。OHを隣の炭素についているHと共に持ち去るので、どちらの炭素のものから取るかで2通り、うち1通りはシストランス異性があるので計3通りです。
keio_riko_2013_kagaku_3a-5.png
オゾン(というかよく見る酸化剤)とアルケンの酸化還元反応は2重結合が切れて、そこにOの2重結合が両方につくというものなので、左のみ2種類できます。
コ:エチレングリコール(1,2-エタンジオール)有名どころ。知らないとエチレンと答えてしまう人がいるかも。テレフタル酸はカルボン酸なのでCOOHということから付加重合じゃなく縮合重合だと思いついて欲しい。
HO-CH2-CH2-OH

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慶應大学理工学部2013年化学第2問
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ケがまず知らないだろうという問題ですが、それ以外は普通です。

(1)
ア:4。知らなくても図として出されている結晶の構造から推定できます。
イ:あくまで格子内部のみ数える。同じ形を数えて例えば角なら1/8をかけるといいでしょう。ケイ素とかダイヤモンドの構造は面心立方格子+面心立方格子を8分割したものの中心に互い違いに1個(計4個)入っている構造です。
そのため、1/2×6+1/8×8+4=8が答。
ウ:ダイヤモンド型
エ:直後の0.235nmから計算する。問題文の図より、イで触れた8分割の中心と8分割の角のケイ素が結ばれているので、これが0.235nmになります。格子の辺をaとすると、a/2の立方体の対角線の半分になるのでa/4×√3=0.235nmとなり、a=0.94/√3 nmとなります。体積なので3乗すると(0.94)3/9×√3≒1.578×10-1nm3となり、nm=10-7cmを代入すると、1.58×10-22でもこれってどこで√3を数値化するかで大分かわらね?いつもこういうのに疑問を感じる。ルートのままでいいと。
オ:Pの価電子は5なので、Siより1多いため、その余った1つが動く。
カ:Siの1cm3あたりの個数はイ/エなので、8÷(1.578×10-22)≒5.069×1022となり、1.00×1016で割ると、5.07×106となる。

(2)
キ:SiO2
ク:アモルファス(非晶質)。結晶じゃないゆえの性質(特定の方向に弱いなどがないとかなんやかや)があってガラスだけではなくアモルファス金属とかいい素材です。
ケ:紫外線。正直ぐぐりました。ソーダ石灰ガラスでは非架橋酸素が紫外線を妨げるものらしいです。知らなくても普通のガラスで透過されないという情報から、可視光線は選択肢の外にはずせます。あとは運。いわれてみれば確かに紫外領域の光を扱う機器では石英ガラスです。
コ:ケイ酸ナトリウム。SiO2+2NaOH→Na2SiO3+H2O
サ:要は飽和水蒸気量の0.75-0.5=1/4が吸着されたので、飽和しているときのgをまず求める。
3.60×103×10.0=W/18×8.31×103×300⇔W=72/277gよってその1/4なので、0.0650g

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慶應大学理工学部2013年化学第1問
keio_riko_2013_kagaku_1q.png
数学といい、計算フェチとしか思えない分量の計算です。割り算などで効率よくやる術をマスターしておく必要があります。

(1)
ア:原子殻はKから始まりますので二番目のLになります。ちなみにKから始まる理由はもっと内側の殻があることを恐れてだそうで。慎重なやつめ。
イ:窒素は5つの価電子をもち、これが次の閉殻構造である価電子8つの状態になるためには相手から3つ差し出されなければなりません。これを互いに差し出して共有することになります。
ウ:次の希ガスになるのでネオンNeです。
エ:ルシャトリエの原理です(変化を打ち消す方向に反応する)。また、圧平行定数などで考えても同じです。気体では圧力はモル数に比例するので、左の4モルから右の2モルに変化すると圧力が減ります。これが打ち消すになることから、圧力を高くが答です。
オ:体積をV、反応した窒素のモル数をxとして平行定数から算出します。平行定数は反応式の係数が乗数になること、濃度は係数に比例することに注意してください。
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よって、2x=0.400molとなります。
カ:オで求めた数値から反応式の左から順に0.8、2.4、0.4モルで、合計3.6モルです。状態方程式より求めますが、Vと特にTが中途半端な数字であることに着目して計算します(定数以外で中途半端には理由があります)。
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キ:Feです。鉄鉱石を入れてあげます。酸化鉄が水素に還元されてそれが窒素を酸化してとかいう流れではなかったでしょうか。
ク:水がないので炭酸アンモニウムと見せかけて尿素ができます。脱水縮合します。よって2NH3+CO2→(NH2)2COとなります。

(2)
ケ:素直にやればいいんですが、もし思いつかないなら、逆にたどって酸素の密度が与えられていて体積を答えるのでgを求めるんだろうけど、そのためにはmol求める必要があって、電池も含め化学反応のときは別のもののmol求めて比で求めるんだけど、情報あるのは電気しかないから電子のmolだなというように考えます。
反応式は多分4OH-→4e-+2H2O+O2です。
以下のように求めますが、ここでも77.2とか19とかいう超絶中途半端に着目して計算します(出題者が変えられない定数と約分できることが多いです)。
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コ:ケで書いた反応式より負極。
サ:酸素の倍のmolでき、分子量は18/32、密度は1/1.14、日数は1/19なので、9.216×1.14×18/32×2×1/19=0.62214よって0.622

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慶應大学理工学部2013年化学解説
重箱の隅をつつくような問題や、面倒な計算がありますが、思考の難易度で見るとごく普通です。重要問題集などをこなしている層が解き方などをわからないということはまずないでしょう。特に有機はぬる問です。

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早稲田大学理工学部2013年数学第5問
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少し他の問題に比べると難易度が高い問題です。どう考えていいか取っ掛かりがつかめないと時間だけが経過しそうです。

解答

解法のポイント
  • 3次元以上の空間はベクトルが楽(2次元でもですが)
  • ベクトルは直交するものにベクトルに分解する
  • 特に指定がなければ都合のいいように座標を取る(あっても)
  • 対称性を利用して考える要素を減らす

(1)Q上の単位ベクトルで二面の交線と平行なものをベクトルx、直交するものをベクトルyとし、長さ1の考えるべきベクトルをuとする。ここでベクトルuと二面の交線のなす角度をφとすると
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となる。ここで、ベクトルxの正射影のベクトルをx'、ベクトルyの正射影のベクトルをy'とすると。xとx'の長さは等しく、y'の長さはyの長さにcosθをかけたものになる。また、x'とy'は直交するので(x',交線に垂直なy''およびそれらに直交するz'を用いてx,y,y'を表せば証明できます)、ベクトルuの正射影u'は次のようになる。
waseda_riko_2013_5a_2.png
よってsinφ=0のとき最大で1、sinφ=±1のとき最小でcosθとなる。

(2)Q上で三角形をベクトルx方向を底辺、y方向を高さとなるように分割する(下図を参照)。三角形の面積はAB(CM+DH)/2となる。(1)よりABの正射影はABcosθ、CMおよびDHはそのままで、正射影後もABはCMおよびDHと直交するので、正射影後の面積は(AB(CM+DH)cosθ)/2となる。よって(1×(√3)/2÷2)cosθ=(√3)/4×cosθ(同様の考察は任意の図形で成立するのでcosθを掛ければいいことになる)
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(3)適当に正四面体を置いてやり直行する3方向の軸の回転を考えてやればよい。ここで、その一本をPに直交する軸(zとし、それ以外の2軸をx,yとする)とすれば、その方向の回転は面積になんら影響しない(T'が同じ形でP上を回転するだけである)。また各軸方向への平行移動もT'の面積に影響しないため、Tのある頂点がP上になるように配置できる。

図形の形だが、正四面体は4つの頂点から構成されるので、三角形と四角形が想定される。三角形は正四面体の面をPにぴったりとつければよく、四角形のものは、正四面体の辺の1つをx軸に合わせx軸周りに回転させれば簡単に見つかるので、三角形と四角形がありうる図形。

次に面積だが、三角形の場合はまずは正三角形を底面としてPにぴったりとつけたところから回転させてやる。底面にない頂点の正射影が、底面の正射影からはみ出るところまでは三角形のままで、Pと底面が平行ではない限り、底面とPのなす角は0とならず、(2)より最大とならない。よって三角形の場合はPにぴったりとつけた(√3)/4が最大。

次に四角形の場合を考える。、z軸周りの回転によって下図のように正四面体の辺OAの射影OA'をx軸に合わせる。ここで、(1)よりOA≧OA'またBC≧B'C'≧OA≧hが成立する。図の面積はhOA'/2なので、不等号の等号成立、つまり、BCが面Pに平行かつOAが面Pに平行なときとなり、最大値は1/2となる。
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