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東京工業大学2013年数学解説
東京工業大学2013年前期数学の解説です。難易度は第5問(1)が少し難しく、個人的に第3問が煮え切らない、第1問は簡単、ほかは普通といった感じでしょうか。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

大阪大学2013年数学第5問
handai_2013_math_5q.png
(1)は簡単ですが、(2)はそれなりに難しいです。それでも本当に頭がいい人は10秒ぐらいで解ける設問であったりもします(直接法参照、もっといいのがあるかもしれませんが)。一応iについての漸化式(求める確率はi=n-1ということです)を立てる方法を2つ、直接法を1つ、(追記として)nについての漸化式を求める方法を1つ提示いたします。一体、阪大さんはどんな解答を最もあり得る解答に想定してたんでしょうか。

解答

解法のポイント
  • とりあえず具体的iな数字で計算してみる
  • 求めたい集合を表すのが難しいなら補集合で考えてみる
  • 似ている要素(形)が出てきたらその理由を考える

(1)
直接で少し面倒だと思ったら、背理法でいけないか考えます。つまりKnがH1にもHnにもはいらない場合を考えて矛盾をつきます。この際にAならばBのAにあたる部分(Bは証明すべきものです)がパッと見みつかりませんが、Aは行なっている操作になります。

KnがH1にもHnにもはいらないのは、H1もHnも埋まっていて、KnがHi(2≦i≦n-1)に入る場合です。ということはKiにおいて、Hiが空にもかかわらずHiに入らないことが必要になります。しかしながら、これは問題文にある玉の入れ方と矛盾します。

というかKiはHk(k=1 or i≦k≦n)に入ることが同様に証明できます。

(2)
題意はつかめても結局何をすればいいのか不明です。nとかiに関するものなので、直接求めるか、漸化式立ててとくか予想して数学的帰納法かといったあたりを模索することになります。

こういう問題では大抵nとかiとかが1,2,3だのの時の値を(1)とかで求めさせることが多いので、ここでもそれにならって求めてみます。i=1,2,3,4(i=1だけは入れ方が違うのでおまけみたいなものです)について求めてみますが、補集合で考えたほうがほんの少しだけわかりやすいので、補集合を求めます(補集合じゃなくても同じ考え方でいけます)。
i=1の場合
H1に入らない確率はn個の箱のうちでH1以外に入る確率なので、(n-1)/nとなります。

i=2の場合
i=2の段階でH2があいていると入るので、あいていないことが条件です。つまりi=1のときに2に入っている必要があります。よって1/nです。

i=3の場合
i=2と同様に考えると、i=2までにH3を埋めてやる必要があります。i=1で埋まる場合と、i=2で埋まる場合を考えます。i=1で埋まるときは均等なので1/nで埋まります。i=2で埋まる場合はi=2のときにH2が埋まっていなければなりません。よって、1/n×1/(n-1)となります。和をとると1/(n-1)になります。

i=4の場合
同様に考えるとi=1で埋まる場合は1/nでi=2で埋まる場合は1/n×1/(n-1)、i=3で埋まる場合は1/(n-1)×1/(n-2)、和をとると1/(n-2)になります。

ここまで来ると規則性が見えてくるのではないでしょうか。つまり、求める確率(補集合でない)をPiとすると、
handai_2013_math_5a-1.png
が成立すると推測できます。i=kまでは、k+1以降の箱は同じように扱われます。つまり、i=kまでのすべてのiにおいて、Hk+1を埋める確率も、Hk+2を埋める確率も同じということです。なので、Hk+1を埋めると見せかけてHk+2を埋めてやればHk+2が埋まる確率を出せることになります。しかしながら、二つの場合には違いがひとつだけあります、Kk+1を入れる操作が余分にあるということです。なのでこれを計算するとKk+1を入れる際にHk+1が埋まっており、かつ、Hk+2にいれるということになるので、上の漸化式になります。
あとは数学的帰納法でいくか漸化式を解くかです。どちらもさほど変わらないので普通に解きます。
handai_2013_math_5a-5.png
尚、漸化式のはじめをi=2と考えているのはi=1のみ入れ方が違って別物だからです。

(2)別解答1


私が最初に解いたときはこんな解答でした編です。試行錯誤をしないため、上より複雑に考えますが、iに関する漸化式を別の考えで導きます。
(1)でi=nのときには1の箱かnの箱にしか入らないとあり、求めるべきn-1の場合はnから近いので、関係式を立てて直接求められないか考えました。しかしながら、1の箱だけ特別であり、それが埋まっている確率がわからないと計算できません。
よって、iを入れるときにH1が空の確率をQiとして連立漸化式を立てることを目指しました(実のところは(1)はnではなく拡張して証明したので、n-1とnからではなくいきなりiとi+1でたてましたが)。
(i)iまでH1が空ではないとき
2からi-1の箱(iまでに必ずうまります)でi-2個、1の箱で1個なので、玉の数と箱の数があうため、1からi-1の箱がすべて埋まり、それ以外が埋まっていない状態です。よってKiは必ずHiに入るので、Pi'=1-Qiで求まります。

(ii)iまでH1が空のとき
i-1までの玉においてこれらは区別されないため、HiからHnが埋まる確率は等確率です。Hiが埋まっていなければよいので、つまりPi''=Qi・(n-i)/(n-i+1)となります。

(i)(ii)より
handai_2013_math_5a-3.png
となります。あとはもう一本式が立てば解けるので、今度はQiを別の考えで表してやることを考えました。
結局のところ連立って感じにはならなかったのですが、i-1を入れるところまでは1の箱もiからnの箱も区別ができません。なので1の箱が空いている確率Qi=Piが成立します(iの箱が空いていれば入るし、開いていなければ入らんので)。
上で求めた関係式と連立させれば、
handai_2013_math_5a-4.png

(2)別解答2


ここまで読んでいただければもうお気づきだと思います。はじめに頭の良いお方は10秒で解けるといったのはこういうことです(残念ながら私は上の方法で解いた後に気づきましたが)。
i-1を入れるところまでは1の箱もiからnの箱も区別ができません。なのでそれらの箱が空いている確率は等しくなっています。つまり、iを入れる段階ではn-i+1個の箱が空いており、1の箱とiからnの箱の数はn-i+2なのでこれらを除した(n-i+1)/(n-i+2)がiの箱が空、つまりiの玉がiの箱に入る確率です、よって2/3。
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大阪大学2013年数学第2問
handai_2013_math_4q.png

典型的な立体の求積問題です。難関校受験者は押さえておきたいところですので、積分の仕方を2つ(普通のとバームクヘン)を提示しておきます。
今回は東京大学2013年前期第6問において駿台さんがやっていたようにベクトルで求めていますが、普通に三平方の定理を何回か使って求めることももちろん可能です。

解答


解法のポイント
  • 図形問題は座標系だけでなくベクトルでも考えてみる
  • 円錐→頂点からの垂線と側面のなす角が一定

円錐をぐるっとy軸まわりに一周させるということは、通常のy軸に沿った積分(y軸に垂直な平面で切った断面積を積分するやつです)なら断面の形、つまりx,z平面の形が必要です。また、バームクーヘン積分(今回はこちらの方が面倒だったりしますが)の場合は、y軸からの距離を決めたときのyの値が必要になります。

回転前の円錐の底面以外のベクトル(x,y,z)と、x軸に平行なベクトル(1,0,0)で内積をとります。角度がπ/4であることに注意すると、
handai_2013_math_4a-1.png
となります。この式からy固定の断面やx固定のyを求められます。

(i)y固定断面
上で求めた円錐を回転させた図形なので、y軸から一番近いところの長さと遠いところの長さを知ればOKです。求める図形はy軸に回転対称なので、いずれの長さも回転前の円錐で求めてやればOKです。y軸からの距離は円錐の方程式を利用すると
handai_2013_math_4a-2.png
となります。円錐の方程式(もしくは元となった直線)からxの範囲を求めると、|y|≦x≦1となります(x2=y2+z2なのでz=0のときxは最小で|y|)。よって長さは|y|が最小で√(2-y2)が最大になります。断面積を求めて積分すると(xz平面に対称なので0から1の積分を2倍しています)、
handai_2013_math_4a-3.png

(ii)バームクーヘン法
今回は普通にやったほうが簡単ですが参考までにバームクヘンもいきます。y軸からの距離rを固定した場合のyの範囲を求めます。r2=x2+z2なので円錐の側面においてy2=2x2-r2となります。xの範囲がわかればいいので、再びr2=x2+z2からx2=r2-z2なので、x≦1を思い出せば、r≦1ならばz=0でxは最大値r、r>1ならばx=1が最大です。
これらを代入したときのyが最大値と最小値になります。図にするとこんな感じです。
handai_2013_math_4a-4.png
S1から生じる回転体は円柱から上下の円錐を引いたものなので1×1×π×2×2/3=4π/3です。
S2は積分で求めると
handai_2013_math_4a-5.png
となり合計で8π/3です。

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大阪大学2013年数学第3問
handai_2013_math_3q.png
一見難しそうだが、試行錯誤しているうちに解けてしまう問題です。

解答

解法のポイント
  • 手がつけられないときは具体的な数字を入れて検討する
  • 素数ではない=ある素数で割れて、かつ、その素数ではない


この問題をみて私が思いついたことは、4つのうちでどれかは共通因数を持つ、すべてが素数として背理法でなんとかかんとか、とかでしたがダメな感じでした。

なので、具体的に割れる割れないをいくつかの素数で試してみました。割れるか割れないかの判定だと、2k-1だのおいたり、modで処理していくことが定石です。modは進学校なら結構おなじみなので気にせずmod的な処理を使っていきます(A≡B(modC)とはAをCで割ったあまりとBをCで割った余りが等しいことです。さらにD≡E(modC)なら、A+D≡B+E(modC)やAD≡BE(modC)が成立します)。

2は見た目的にすべての偶奇が一致するので、nを偶数とすれば全部2で割れません。
次に3ですが、3では余りは0,1,2が考えられます。すると4つの数の余りは次のようになります。
(i)n≡0(mod3)の場合
0+1≡1、03+3≡0、n3+3≠3より素数ではないので以下省略
(ii)n≡1(mod3)の場合
1+1≡2、13+3≡1、15+5≡0、n5+5≠3より素数ではないので以下省略
(iii)n≡2(mod3)の場合
2+1≡2 (これはn+1=3の場合もあるので無視)、23+3≡2、25+5≡1、27+7≡0、n7+7≠3より素数ではない

(i)~(iii)より4つの数のうちでどれかは、3で割り切れるかつ3ではない、つまり素数ではない。

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大阪大学2013年数学第2問
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一見めまいがする場合分けが思い浮かびますが、絶対値の意味と、複雑な問題を簡単にしていく手法さえ抑えておけばほぼ瞬殺です。

解答

解法のポイント
  • 絶対値は折り返し(|x-2|ならx=2で折り返し)
  • 自分が簡単に解けて似ている問題に変形していく


あきらかにめんどくさそうです。その原因がなにかって、二重絶対値です。ならそいつを無視してやります。つまりX=|x|、Y=|y|とすると、1≦|X-2|+|Y-2|≦3と問題を変形できます。更に-2がなんか気に食わないので、X'=X-2,Y'=Y-2としちゃいます。すると1≦|X'|+|Y'|≦3となります。ただし、変形の式からX,Y≧0、X',Y'≧-2なので注意が必要です。

1≦|X'|+|Y'|≦3を図にしますが、これまた絶対値がうざいです。なのでX''=|X'|、Y''=|Y'|として1≦X''+Y''≦3ともう楽勝レベルまで変形できました。
X''≧0、Y''≧0なので以下のようになります。
handai_2013_math_2a_5.png
X'、Y'に戻すことを考えますが、絶対値は0で折り返しになるので、X''軸とY''軸でパタンパタンと折り返していきます。できた図形のうちでX',Y'≧-2の部分のみ残します。
handai_2013_math_2a_2.png
X'=X-2,Y'=Y-2なので2を足すとX,Yになります。
handai_2013_math_2a_3.png
X=|x|、Y=|y|だったので、Xでいえば-xとxを区別していない状態です。なのでこれも折り返してやると
handai_2013_math_2a_4.png
となります。

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大阪大学2013年数学第1問
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証明自体は普通に習うものなので思い出しながらやれば難しくないですが、全く知らないと少し悩むかもしれません。

解答

解法のポイント
  • 直接求まらない極限ははさみうつ


x→0で分子、分母ともに0になりますが、sinの微分を問う問題なのでロピタルも使用不可能です。また、知っている人は知っているであろうテイラー(マクローリン)展開も使用不可となります。

なのでちゃんと求める必要がありますが、sinxはx2のようにxで割れるとかではないため(割れるような式にするのはマクローリン展開)、直接求められそうにありません。
なので、同じ値に収束するけど求めるものより大きいもの、求めるものより小さいものではさみこんで求めます。
sinxをxで割ったものなので、sinxより大きいもの、小さいものとsinxを入れ替えるか、xより小さいもの、大きいものでxを入れ替えれば、それぞれ求めるものより大きいものと小さいものができます。

結論からいくとx→+0なら以下の図でsinx<x<tanxなのでこれを使います。
handai_2013_math_1a_1.png
つまりxをこれらで入れ替えることになるので、
handai_2013_math_1a_2.png
より1です(負から近づく場合はsinx>x>tanxと順番は逆になりますが同様です)。

微分の定義の式を立てて三角関数の和の公式(?)というなの加法定理の亜種を使うと、
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大阪大学2013年数学解説
大阪大学2013年前期数学の解説です。難易度は第5問(2)だけぬきんでていてそれ以外は普通から簡単めといったところでしょう。

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開成中学校2013年理科第4問
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与えられた情報から考えて解ける問題で、なかなかいい問題です。その分暗記しかできない人には厳しい問題といえます。太郎君がでてきますが、そのうちこういう問題に出てくる名前もDQNネームになるんだろうか・・・

問1 ウ
ヨウ素液はテンプンがあると紫色になります。デンプンは種子に含まれる栄養素で、発芽の際にエネルギーとして消費されます。よって種の方がデンプンは多く含まれます。

問2 エ
ア:図3をもとに考えます。空気(発芽する)は2日目以降でも水を吸っています。
イ:二酸化炭素のみの方は発芽していませんので、むしろ空気のほかの成分が発芽のなんらかの活動に必要です。
ウ:酸素のない二酸化炭素のみの方も2日目までは水を吸収しています。2日目以降の話なら正しいかもしれません。
エ:発芽した空気の方も、しなかった二酸化炭素のみの方も2日目までは水を吸収しています。

問3 ウ
ア:Bと矛盾します。
イ:Aと矛盾します。
ウ:とくにどれとも矛盾しません。
エ:D(一応Bとも)と矛盾します。芽が空気に触れると根が伸びるならOK。
この実験から、胚乳が水を吸収すると根が下方向に伸び、胚が水を吸収すると芽が上方向に伸びることが推測できます。また、根が寒天(実際は地面)に達すると芽が伸びはじめ、芽が空気に触れると根が伸びはじめると推測できます。

問4 BD
各組み合わせで何が異なっているのかに着目します。B,Dに着目する(結果と条件をべつべつに見ます)と、Bは芽が空気に触れる、Dは芽が空気に触れません。また、結果として根が伸び始めるか否かに違いが出ています。

問5 芽× 根○
図の通りです。根が下に向かうのはCで寒天のほうに根が行かなかったことから推測できます。
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開成中学校2013年理科第3問
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実験器具の使い方の問題はその理由も意識して学びましょう。実験器具の使い方は京大の説明サイト(http://www.chem.zenkyo.h.kyoto-u.ac.jp/operation/Operation_Guide_FLV/operation/frame/frame_07_flv.html)とか見れば映像で見れるのでわかりやすいです。

問1 エ→ア→ウ→イ→オ
知っていればいい問題ですが、知らなければ並び替え問題なので、絶対その順だというものから決めていきます。ガスの有無、火の有無などを考慮します。
ガスの有無からア→イウオ、炎の有無からウ→イオです。問2で聞かれているように正しく調整された炎になるためにはオ以降に操作をすると調整したものからずれてしまします。よってイ→オです。
最後にあまったエですが、アの段階でガス調整ねじなどが開いていると室内にガスが充満して爆発します。よってエ→アです。
以上からエ→ア→ウ→イ→オ

問2 ウ
ガスの炎は完全燃焼しているときは青色になります。アイエのオレンジは酸素不足です。よってウです。

問3 イアウ
内側の三角形(内炎、還元炎)より外側の三角形(外炎、酸化炎)の方が外から酸素が供給されているためより完全に燃えます。そのため、炎は外側の方が温度が高くなります。よって、焦げ具合は外炎部分になっているかどうかで決まります。答えは順にイアウになります。

問4 ウアウウ
(a)多すぎると吹きこぼれたり加熱に時間がかかるためウです。
(b)試験管バサミが加熱されないようにアをつかみます。
(c)沸騰した際に垂直よりも斜めの方が液面に対する泡の割合が小さくなるためあふれにくくなります。また、あふれた際にも実験者にかかりにくいです。水平はこぼれるので論外です(固体の場合はゴム腺をして水平から少し口を下にして温めます)。よってウ
(d)液体を温めましょう。液体のないところを温めるとガラスが融けるおそれがあります。ウです。

問5 エ
火をつけたりの操作を加熱された(されていなくてもですが)の下でやると、試験管に触れたりしたときに危険です。なのでアイは消去できます。オは台の上というのが不安定そうですし、何よりも炎の温度は炎の先の方が高いので逆効果です。最後にウとエですが、正直どちらでもいいですが、時間がかかりすぎるのでエが正解です。

問6 エ
問題文にあるようにガスの量が空気の量に比べて少なくなると消えてしまい、燃えずに室内にガスが充満して危険です。なので、空気の量を減らさずにガスの量を減らすことはNGです。
ア:忘れましたが空気のねじも一緒に回るのではないでしょうか。両方減りますが、ガスの方が少なくなる可能性を消せませんし、最適な炎になるかも不明です。
イ:最適な炎から空気だけ減らしているので、酸素不足のオレンジの炎になります。
ウ:ガスだけをへらすと消える可能性があります。また酸素に比べてガスが多いため最適な炎ではありません。
エ:正しい。オ:ガスだけをへらすと消える可能性があります。

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開成中学校2013年理科第2問
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なんか平凡な問題です。天体関係はほんと時事ネタが多いですよね。こんな感じで天体ネタをそのまま天体問題として出されると予測しやすいです(麻布2013の日食と違って)。問3が空(天球)を何度かではなく他の天体なので、他の天体の回転を考慮する必要があり面倒です。

問1
自身で光を出さない天体が光って見えるのは太陽の光を反射しているからです。なので、図1の様に見えるときは太陽が図1でいう左側にあるということになります。
一方、新月のときはどうかというと、太陽の光を反射しないので、太陽と同じ方向にあります(満月の逆ですね)。
大体の位置がわかったので、それを月齢にしてやります。天体系は公転も自転も北極から見て左回りが基本です(金星の自転は右回りですけどね)。なので、新月で太陽と同じ方向だったものが月の公転に伴って左にずれ、一周して右に戻ってきます。なので、29.5から少し戻った時期になります。
もどり具合ですが、半分の約15日で満月となることを考慮すると、半月がその半分の約7.5日、問題の月はその更に半分程度なので、約3.75日戻っていることがわかります。よってカが正解になります。

問2
太陽が出ているときは月も金星もほとんど見えません。月の位置を考えると北極側から見て太陽の少し時計回り方向にあるので、月が見えて、なおかつ太陽は見えない位置を考えると、東の空に月が出いることがわかります。このとき、地球の自転方向が反時計まわりなので、明け方になります。
よって答えはオです。
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問3
月は27日で360度なので、1日で東に360÷27=40/3度ずつ見える位置が変わります。一方、他の天体は1年で360度なの360÷365=72/73≒1度ずつ1日で見える位置が変わります(北極星方向をみて左回りに)。
月の通り道(白道)は太陽の通り道(黄道)とほとんど重なります(じゃないと日食は起きない)。なので、白道あたりでは他の天体も東にずれることになります。
よって40/3-72/73≒12.3度、整数で答えるならば12度です。

問4
金星の公転による影響はとても小さいので無視します。月が金星よりも問3の角度(というか地球の公転の影響もとても小さいので、公転を考慮しない40/3度でもいいです)で0.5度ずれるのにかかる日数は、0.5÷12=1/24日です。つまり1時間なのでエが答えです。

問5
太陽の光を反射していない部分も考える必要があります。
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問6
近いビルほど高く見える現象です。下の図で考えるとわかりやすいのではないでしょうか。
北(図の上)で観測した場合(見上げる角度が小さくなるので、ビルでいうと少し離れて見る場合)に、近い月の方が角度の小さくなり方が大きいので、金星の方が高く見えます。よってAが答えです。
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開成中学校2013年理科第1問
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ばねとてこの融合問題ですが、それぞれ別個に考えてOKなので難易度は余り高くありません。問6がいいの考察問題です。

問1
他の設問もそうですが、まずはてこの関係で引っ張る力をもとめ、ばねの関係でその伸びを求めていきます。
てこでは灘中2013年理科第2問でもそうでしたが、支点からの距離とそこにかかる回転方向の力をかけたものが回転具合になります。つりあうということは右回りの回転具合と左回りの回転具合が等しく打ち消しあっているという状態です。
バネに加えた力をxとすると10cm×x=30cm×30gが成立するということになります。よって90gの重さ分だけ引っ張っていることがわかります。

次にそのときの伸びですが、図1から読み取って15cmです。10cm伸びるのに60gなので、1gあたり1/6cmだとか、1cmあたり6gとか求めてから、90×1/6と計算してもいいでしょう。

問2
問1と同じように考えます。
15cm:15cm×x=30cm×30gなので60g、60×1/6=10cm
20cm:20cm×x=30cm×30gなので45g、45×1/6=7.5cm
25cm:25cm×x=30cm×30gなので36g、36×1/6=6cm

一般に位置をyとすると、x=900/yなのでx×1/6=150/yが成り立ちます。

問3
問1問2で求めたものを元に点を記入してそれを滑らかな線で結んでやります。ここで注意が必要なのが、30cmも求めるということです。なぜ求めるかというと10cmから30cmまで範囲を描くので、その両端は正確に求めなければ、テキトーに描いているとばれてしまいます。

上で求めた150/yに基づいて描いてもいいでしょう。
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問4
15-10=5cm伸びています。図1もしくは問1で求めた1cmあたり6gから求めると、30gになります。

問5
ばねの伸びは引っ張り具合に比例し、図5においてばねの伸びは支点からの距離に比例しています。つまり、引っ張り具合も支点からの距離に比例します。
よって30cmの時と、10cmの時を求めて直線で結んでやれば終わりです。
描くと問3の点線のようになります。

問6
描いたグラフを見てみると、同じ位置で点線の方がばねは伸びています。つまり、実線の30gと釣り合う引っ張り具合よりも引っ張っていることになります。より引っ張る必要があるということは30gよりも重いおもりをぶら下げているということになります。よって、イが答えです。

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開成中学校2013年理科解説
開成中学校理科(2013年)の解説です。第1問問6と大問4がなかなかいい感じ。実験して云々は少し東大っぽい。

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京都大学2013年物理第3問
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暗記とかではなく、式を立てて着実に処理できるかです(計算は他の大問に比べると楽です)。それさえできれば基礎的な内容なので本問題も満点は狙えます。微積は気にせずに使うので、微小量はΔ表記ではなくd表記にしております。

モル比熱からAは単原子分子、Bは二原子分子だったりします、これらの比熱の違いは自由度(分子の回転にかかる自由度)に差があるから変わってきます。回転できるとそれに費やすエネルギーも増えるということです。

あい
状態方程式PV=nRTに入れるだけです。それぞれ
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(1)

内部エネルギーは定積比熱nCVと温度の積になります。よって
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dW=PdVなので両辺を積分しますが、終点のVの値が不明です。状態方程式から、Pが一定ならばVはTに比例するので、終点は2V0です。よってW=P0(2V0-3V0/2)=P0V0/2


dQ=dU+dWなので、う+え=7P0V0/4


大学生なら忘れてても導けますが、高校レベルでは完全に知識問題でR。

き、く
代入するだけです。きは5/2÷3/2=5/3。くは7/2÷5/2=7/5です。

(2)
断熱変化の式が与えられているので、それに沿って計算してやります。
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ですが、終点がどういう時かは「DがストッパーSに接触」とあるので、これを考慮します。つまりBの体積がV0ですが、温度一定のときPV=一定なので、
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となり、代入すると
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問1
内部エネルギーの変化で等式を立てます。Bの内部エネルギーは変化ないので、
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右辺はPとかVが来るので、じゃまなTをPやVで表してやります。状態方程式より、
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また大気の圧力は一定なので、
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以上から、
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別解
別に、Qを求めてしまっても構わんのだろう?
とりあえず定義どおりdW=PdVなので積分しますが、PがVの関数で表せていないと積分できません。なので、V=VA+VBにAは断熱変化、Bは等温変化のPとVの関係式をぶち込みます。
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が得られますが、VがPの関数(つまり逆関数)の形です。P=の形にするのは面倒なので積分を置換積分で求めます。
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ここからP0dVの積分、つまり大気のした仕事を引いてやればWがした仕事だ出ます。
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ちなみにlogの項はVB由来で、Bに関してdU=dW-Q=0よりdW=Qとなり、logの項がQです。

(3)

断熱変化の式にぶち込むだけです。
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問2
Aは断熱変化、Bは等温変化の一定式からPをVで表してやります。
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(4)

ストッパーから離れる瞬間の圧力はAの圧力と同じです。よって断熱変化の式より、
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Aの体積は2V0に戻っています(ゆっくりヒストンを操作する断熱変化は可逆なので、というか断熱変化の式でもいいですが)α=5/3、β=7/5なので、2の指数、つまりα/β=25/21と1を比較して①が正解です。


Aがした仕事は往復で打ち消しあっているので0です。一方Bは膨張時の方が同じVでも圧力が高く、また、しで見たようにより大きい体積になっていますので、Bがした仕事(VPグラフの下側の面積)は圧縮でされた仕事よりも大きくなります。これにはじめの温度上昇による膨張を加えれば、更に多くの仕事をしています。よって②です。
一応Bの帰り道のグラフも載せておきます。斜線部が往復でBが外部にした仕事です。
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京都大学2013年物理第2問
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電場と単振動の問題です。簡単なものから誘導があるため、着実に行けば満点を十分狙える大問です。公式はあまり覚えていないため計算していますので、適当に飛ばし読みしてください。、

(1)

帯電状態を実現するために必要なエネルギーを計算するために、まず平行板の作る電場を求めます。
点電荷Qから出る電場の合計Q/ε0です。板ではもう一方の板向きに出ている電場は半分になるためQ/(2ε0)となります(また、板ではすぐ隣にも電荷があるため、板に垂直に電場があると考えられます)。板全体の電荷がqなのでQ=q/Sとなり、q/(2ε0S)です。
もう一方の板が作る電場も同様のものになるので、平行板の間ではq/(ε0S)、平行板の外側では打ち消しあって0になります。
あとは、電荷を少しずつ移動してq荷電させるのに必要なエネルギーを計算します。ここでq'をある時点での電荷で、微小な電荷dq'をdだけ電場に逆らって移動させることになるので、
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イのdにd+Δdを代入します。
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式どおりに計算します。
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でもこれって、はじめに電場求めているのでその時点で出ていたりします。平行板には自身の電場は関係ないのでもう一方の電場がかかっています。それに荷電量であるqをかけているだけです。

(2)

ハに代入して
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しかしながらqがわからないので、まずは与えられているVなどからqを求めます。平行板の電圧も添え字で表してやれば、
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よって
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運動方程式を立てます。重力方向を負とします。第一式が④⑤、第2式が⑥の運動方程式です。
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S1>0かつS2>0なので√2-1


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(3)

Qを使うなと書いてあるので⑧ではなく⑨の運動方程式を伸び方向を正として立てると、
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スイッチをつなぐとq=0となるので、運動方程式は
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トの伸びと、この方程式=0、つまりスイッチ入れた後のつりあいの位置の自然長からの伸びの差を取ると
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スイッチを入れた時点で、つりあいの位置からチだけ伸ばした状態で速度は0なので、(エネルギー保存則より)チがそのまま振幅になります。


自然長からの伸びはリと運動方程式から次のようになります。
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問1
⑧の運動方程式は鉛直上向きを正とすると、
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これが成立するQが存在する(Qの方程式とみてQが存在する)ならば、
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問2
運動方程式からQを求めます。
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京都大学2013年物理第1問
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よく見る形の問題です。証明が難しい事項などはすべて問題文で与えられているので、穴埋め問題を中心に確実に点をとっておきたいところです。京大は難関大学なので遠慮なく積分を使います。すみません。

(1)

問題文に外側の部分は無視できるとあるので、内側部分が中心Oに集まったとして考えます。
まず質量を求めます。半径がRの全体がM、内側の半径はrであり、密度が均一であることから、質量は体積に比例します。よって相似比からMr3/R3となります。万有引力の式に代入すれば、
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Oを原点、図の右側をr軸の正として運動方程式を立てると
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となるので、周期は
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(2)
ウ、エ
単振動の場合(というか位置エネルギーの場合)はエネルギー保存則で速さを求めるのが定石です。なのでまずは位置エネルギーを求めますが、r>Rかr<Rで保存力が変わってくるので、それを考慮してエネルギーを求める必要があります。
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となります。全体が原点基準の位置エネルギー、第二項が地表基準の位置エネルギーです。よって、これらが運動エネルギーに変わったという式を立てて求めると、
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オ、カ
弾性衝突なので、運動量保存と、反発係数もしくは運動エネルギー保存則でいけます。
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問1
無限遠までいってもまだ運動エネルギーがある場合と言い換えられるので、無限遠までに必要なエネルギー≦運動エネルギーということです。左辺はウエの積分においてμをm、hを無限にしてやれば出ます。右辺はh=0の場合に質量mでvの物体が持つ運動エネルギーです。μ/m>0に注意して処理すると、
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(3)

アのx方向成分を求めればよいので、cos∠O'OPをかけてやればOKです。x/rになるので、
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キはrをxに変えただけなので、周期はイと同じになります。反対側の地表は半周期後なので、
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(4)

(2)と同様に考えます。式はほとんど同じになるので計算は実際にしなくて(2)を参照すればいいでしょう。はじめの積分はAの位置エネルギーとO'時点のAの速度。次の連立方程式は衝突前後の速度、その次の積分以降はBの位置エネルギーと運動エネルギーの比較です。
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これは前提として地表から打ち出されたものが第二宇宙速度未満なら楕円軌道(円や直線の往復を含む)を描いて元の位置に戻ってくるため、水平(接線方向)に打ち出されたとき以外は地表にぶつかるという知識がないとちゃんと解くことは難しいです(ケプラーさんから導き出します)。
とりあえず上記のことを知っているとして解くと(地表から出た後はx軸ではなく距離rで考える必要があります)、
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問2
エネルギー保存則と面積速度一定から行きます。まず、最も離れた点の速度をvとしてエネルギー保存則
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vさえ求まれば解けるとこがわかりますので、vが入っている面積速度一定からvを求めます。地表から出たときの速度をv0としておきます。
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sinθがわからないとダメです。速度をr方向とそれに水平な成分に分解してやれば、速度と水平成分の比がsinθになっていることがわかります。常にr方向に引かれるので、最も離れた点ではr方向の成分が0、すなわちsinθ=1ということがわかります。以上から
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京都大学2013年物理解説
京都大学2013年物理の解説です。基礎的な事項から誘導があるため、物理が得意ではない生徒でもある程度の点は取れる感じです。難易度は全体的に普通といった感じです。

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東京大学2013年後期総合科目II第2問B
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まずまずの難易度です。というよりも商を定義して解いていくという道筋ですが、もし誘導がなかったら結構な難問です。もしかしたら解くのに日単位で時間がかかるかもしれません。このレベルの作問ができるようになりたいものです。

(B-1)
f(θ)を直接求めてしまいます。
(a)まず適当にAのy座標を表してやると、lsinθ-OBとなります。なので、OBを求めてあげられればOKです。OBを含む方程式を解きたいということです。
下図でOP=O'P'なのでOBを利用して2通りの方法で表して解いてやります。その際にはPP'が1ということを使います(なぜならば、PP'の長さによって同じθでもOBの位置が変わるので関係があります)
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よってd=sinθ0に注意して商を求めると
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(b)
同様に下図で求めてやります。
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商を求めると
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(B-2)
(a)
上で謎の商を求めたのでそれを使います。また、問題文で使っていない不等号がたくさんあります。具体的にはl>1を使います。また、sinθは考えている範囲で単調増加なので
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となり。最大はθ0のときで、m0=lsinθ0=ldとなります。

(b)
θ0≦θ<π/2のときにはみ出ないことが条件になります。
つまり
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がすべてのθについて成り立ちます。cosθ0⁡-cos⁡θ≧0より、右辺の最小値はθ=θ0の時になります。よって
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(B-3)
(a)
lを大きくしていくので(B-2)の(b)の範囲外だけ考慮すればOKです。θ0≦θ<π/2におけるf(θ)の微分して最大値を求める必要があります。
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当然のごとくどうともならなそうな形です。求めたいも、lとθ1の関係を見るためにl=の形にして、θ1で微分してやります。面倒ならば初めからcos2倍しても大丈夫です(cos2は有限かつ正なので)。
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となるので、下に有限で(sinθの単調増加性を考慮すると下に凸の可能性が高い)でθ1=π/2に近づくと+∞になる関数だとわかります。
よって、π/2が答え。

(b)
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最後は分母は1-d以上、分子はcosが0に収束かつカッコ内は有限だからです。

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東京大学2013年後期総合科目II第2問A
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難しいです。A-2bなんていじめです。自分が解いた方法だと「θ=0の近傍に置ける円の接線の傾きを近似を使って求めろ」って感じになりました。

(A-1)
まずはSがどんな集合か調べます。この際に条件である直線との距離がm増える場合にはどんな集合になるのか考えます。
まず、結論から言うと直線から等距離の点の集合は平行な直線になります。求める点の集合の座標を(x,y)とおいてやれば、点と直線の関係式から、y=10xから距離がmに対応するものは以下のようになります(ただし、mを負にも拡張して直線の両側を表せることとします)。
todai_2013_sogo2_3a-2.png
同様にy=-10xからnの距離にあるものを求めて、x,yについて解くと、Sが出てきます。
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ここから逆にm,nが整数となるx,yを求めます。つまり、m,nについて解いて整数となるようにするのですが、無駄な係数を省いた以下のx',y'で考えてしまえばOKです。
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この時、
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これらが整数になるためにはx'とy'の偶奇性が一致することが必要十分条件です。
よって、x',y'上にプロットすると以下のようになり、それをx,y上の距離に置き換えてやればOKです。
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ここでdとDのとりえる値について検討します。
代表的なLとしてx'=0,y'=0、x'=y'は簡単に発見できるのではないでしょうか?この3直線を明示的に選んだ理由は、(0,0)を取り囲む最小距離になりえる8点を通る直線だからです(座標変換の都合上、単純にx',y'上の距離で測れないため、検討する範囲は少し増えています。)。
これらの直線から直線の傾きを変化させた場合、3直線にならない限り、Dは点の分布の対称性から必ず減少し、dも必ず増加します(取り囲む点より外側に来ます。)
よってとりあえずはこの3直線を吟味してやれば何か見えてくるかもしれません(L上や距離が最小となる点が無限にあることは分布の仕方を見れば偶数、奇数が無限にあることや整数が無限にあることに帰着します)。

(i)x'=0のとき
原点からL'上で最短のものx'=0,y'=2なので、x,y上の距離でd=√101です。また、L'から最短の点はx'が1だけ離れた点なので、D=√101/20となります。よってD/d=1/20でだめです。

(ii)y'=0のとき
(i)と同様に、d=√101/10, D=√101/2。よって、D/d=5。これはx軸に平行な直線。

(iii)x'=y'のときdを求めるにはx'=1,y'=1と原点の距離をx,y上の距離に直すもので、またDも同じになるので、D/d=1となりダメです。

(i)から(iii)以外の直線は(i)よりもD/dが小さくなることは前に述べた通りなので、(ii)のみがD/d>1を満たし、D/d=5。これはx軸に平行な直線y=√101/2 m (mは整数)です。

(A-2)
まず、Sを考察します。y軸から整数なので、整数pによって(p,y)と表せる点です。次にあるnがあって(n,0)からPの距離がRになる点です。つまり
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なる点です。

(a)
dですが、y=aなので
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が成立します。しかしここで、任意のpに対してnを適当に選べばN=|n-p|が成立するものは取れてしまうので、SのL上の点のは、x座標が整数の点すべてだとわかります。
よって、d=1。

次にDですが、|n-p|は結局整数になることから、Lに近いものは|n-p|=N+1かN-1です。ここで、aやyの式はどこかでみたことありますね。円です。つまりaやyがRsinθということになります。
sinθの微分が-cosθになって0≦θ≦π/2ではπ/2に近づくほど減少量が小さくなる(2階導関数である-sinθが大きくなる)ことを思い出してみると、|n-p|=N-1の方がy方向への変化量が小さいためDが最小になります。
よって
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となります。

(b)
平均値の定理によってあるN-1≦c≦Nが存在して次のことが成立します。
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さてここで、(N-1)/R=cosθと置き(0≦θ≦π/2)、D/d=Dが5になる境界をみたいので。上の式の一番右が5になる場合を考えます。
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cosθとsinθの増減が逆になることを考慮すれば、cosθ>5/√26を示せばD/d>5が示される。
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上の式ではa<100とR>1000を使っている。
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これは計算するまでもなく>0なので、D/d>5が示された。

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東京大学2013年後期総合科目II第1問B
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経済をかじったことある人は誰もが知っているジニ係数、知っていると最終的な結論の手助けにはなります程度で、数学的にこれを分析しようというお話です。難易度は高くありませんが、証明なのでしっかりかけるかどうかです。所有している某資格試験でジニ係数が出てくるので知っていましたが、こんな数式だったんですね。(ジニ係数の最大値自分以外の人の数をn-1じゃなくnにしてました。すみません。)

(B-1)
単純にぶち込みます。改変後を’つきにすると
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(B-2)
変わるのはGの絶対値内だけなので、それを考察します。i=1と2≦i≦n-1のものの差は変わりません。また2≦i≦n-1内のものも変わりません。i=nとi=1の差はnx1増えます。2≦i≦n-1とi=nの差もnx1増えます。よって2n(n-1)x1だけ改変後が増えます。生きにくい世の中になります。

(B-3)
B-2で初めに与えられたものを任意の分配だとします。そこからB-2の改変をするとジニ係数は増えます。ここで、同様に改変後(x')から更に改変してx'2も0にして3≦i≦n-1を-x'2、i=nをx'n+(n-2)x'2とするとどうでしょうか(これをG2という風にi=kまで0のものをGkとします)。


この流れで連鎖的に行きます。つまりG0<G1<・・・・<Gn-1を示します。
(i)
B-2よりG0<G1成立
(ii)G0<G1<・・・<Gkまで成立していると仮定
Gk(xとする)とGk+1(x'とする)の違いを見てみます。
i≦kではx'i=xi
i=k+1ではx'k+1=xk+1-xk+1
k+2≦i≦n-1ではx'i=xi-xk+1
i=nではx'n=xn+(n-k-1)xk+1です。

次にGの絶対値内の増分をみます。
i≦kとn-1≧i≧k+1の組み合わせでそれぞれ-xk+1ずつ減少しますが、ちょうどこれはi≦kとi=nの増分と同じになります(引いた分をi=nに足しているので当然)。
n-1≧i≧k+1同士は増減ありません(同じxk+1を引いているので)。
n-1≧i≧k+1とn=iでは各n-1≧i≧k+1のiに対して(n-k)xk+1増えており、合計で2(n-k-1)(n-k)xk+1だけ増えることがわかります。
よってG0<G1<・・・<Gk<Gk+1

(i)(ii)とG0が任意の分配であったことからGn-1が最大であることがわかる。
つまりxn=wでジニ係数の最大は
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(B-3)別解
別解としていますがこちらがナチュラルです。
任意の配分GからG'をm>ki=kさんがi=mさんに順番が入れ替わらない範囲で金銭Mあげるとどうなるかを検討します。
すると変化するのはこの二人だけです。
i=mさんとi=kさん以外の人の絶対値はi≦m-1の人とはM増え、i≧m+1とはM減ります。
i=kさんとi=mさん以外の人の絶対値はi≦k-1の人とはM減り、i≧k+1とはM増えます。
これらが打ち消しあって残る部分はk+1≦i≦m-1で2Mずつ増えることがわかります。
最後にi=kとi=mさんでは絶対値が2M増えています。
金銭のやりとりがマイナスなら逆です。
よって、ブルジョアが貧民を搾取すればGは上がります。
順序の入れ換えは考慮していませんが、Gが任意の分配であったためi=nがすべての所得wを持っている場合がGは最大です。

(B-4)
どこまでが証明すべきものかわかりませんが、ジニ係数が小さくなることは(B-3)別解答によって示されています。
相対的貧困率は新たな中央値の半分がどうなるかを考察します。
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となります。あとはaとbの関係ですね。所得一定なので(m-2k)a=mb⇔a-b=2ka/mです。
k,a,mすべて正なので、中央値の半分は上がってしまっています。
1≦i≦kの人たちの所得は変わっていないので、1≦i≦kの人たちの所得≦変更前の中央値の半分<変更後の中央値の半分、なので少なくともk人は中央値の半分を超えない人たちがいます。
よって相対的貧困率はk/n以上となり減りません。

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東京大学2013年後期総合科目II第1問A
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電力ネタが来たか!難易度は本年の総合科目では簡単な部類です。点を取っておきたいところです。

(A-1)
それぞれ昼間の消費は昼間の価格が上がると消費が減る一方で、昼の消費の代替となる夜の電力価格が減ると夜に消費がシフトするため昼の消費が減る。夜に関してもこの逆が同様に成立しており、消費者は電力消費を確保しつつコストを下げようとしていることを表している。

(A-2)
x+y=C max{x,y}ならx=yでC/2になるのが最も小さいものです。あとはそれを取りえることを証明します。
C/2=45なので、
100-3p+q=45⇔3p-q=55、50-2q+p=45⇔p-2q=-5、これらを解くと、p=23、q=14とp,qが存在することがわかります。よってこれらが答えです。
この時、px+qy=(23+14)45=1665です。

(A-3)
x+y=100-3p+q+50-2q+p=150-2p-q=90⇔q=60-2p⇔q-p=60-3p、p≧0,q≧0,x=100-3p+q≧0⇔q≧3p-100、y=50-2q+p≧0⇔q≦25+p/2という条件下で、px+qyの最小、最大の問題です。条件を図にすると以下のようになるので、14≦p≦30だとわかります。
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より、(a)p=30,q=0で最小の300、(b)p=20,q=20で最大値1800になります。

(A-4)
(a)
上の図にK>x=100-3p+q⇔q<K-100+3pとK>y=50-2q+p⇔q>(50-K+p)/2を加えます。それぞれ、Kと-K/2平行移動させたものになります。q<K-100+3pを加えたグラフ(k<100より切片は原点を超えません)にq>(50-K+p)/2を加えて移動させていくとわかりよいでしょう。
l1:q=K-100+3pのp軸との交点は(100-K)/3です。これと上から下がってくるl2:q=(50-K+p)/2のp軸との交点K-50が一致するまで、つまり(100-K)/3≧K-50⇔K≦125/2では下図のように平行四辺形。
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K>125/2かつq=-100+3pのp軸との交点100/3をl2の交点K-50が超えない範囲、つまり100/3>K-50⇔K<250/3では下図のように5角形。
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100>K≧250/3では下図のようにまた四角形に戻ります。
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(b)
(a)におけるx+y=150-2p-qの最大値なので、線形計画法のセオリーどおり150-2p-q=kとでもおきます。
q=150-k-2pなので、切片が最小になるものを探してやります。(a)のグラフから、それぞれ原点に一番近いものが切片最小になります。

(i)K≦125/2
原点に一番近い領域の点はl1とl2の交点です。よって(50-3K/5,50-4K/5)を通るので、q=150-k-2pに代入すればk=2Kとなります。

(ii)125/2<K<250/3
原点に一番近い領域の点はl1とp軸の交点です。p=(100-K)/3、q=0ですので代入すると、k=(250+2K)/3となります。

(iii)250/3≦K<100
(ii)と同じです。

よって(i)(ii)(iii)より、K≦125/2ならp=50-3K/5、q=50-4K/5で2k
125/2<K<100ならp=(100-K)/3、q=0で(250+2K)/3が答えになります。

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東京大学2013年後期総合科目II解説
東京大学2013年後期総合科目IIの解説です。試験日を勘違いして遅くなってしまいました。ごめんなさい。応用数学といった感じで面白いラインナップですが、第2問が結構な鬼畜です。一応載せておきますが全体的に間違っていたらすみません。

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京都大学2013年前期数学第6問
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(2)の難易度は普通+α程度だが、(1)が点を与えるための問題です。(2)の解法は思いついた3つを載せてみました。最後のとか悲惨です。試験でこの解答でいくと漏れない確率の方が低そうです。

解答

解法のポイント
  • 原点(やx軸など)以外の対称移動は、原点に対称の中心を移動→対称移動→対称の中心を元に戻す
  • まとめて問題ない場合は複数の操作をセットで考える


(1)
各移動について考えてみます(ついでに(2)別解答2のために絶対値についても触れておきます)。
表:原点に対称なのでxが-xに行きます。絶対値に変化はありません。
裏:1に対して対称なので、全体を-1スライドさせれば原点に対して対称になります。スライド後はxはx-1になるので、1-xが原点に対称移動後になります。これを再び1スライドさせて元の数直線に戻すと、1-x+1=2-xになります。この時、絶対値はx<1なら+2で2-x>1、x=1なら不変、x>1なら絶対値-2で2-x<1になります。

以上の議論から変わらないためには表表、もしくは裏裏しかあり得ません。
よって1/4×2=1/2となります。

(2)
(1)の誘導にそって2回の移動を一組で考えます。するとn回の-2,0,+2の移動で2n-2に行くことになるので、考えられる移動の組み合わせは+2移動がn-1回、0移動が1回のパターンしかあり得ません(2nが最大なので、その付近で取り得るパターンは非常に制約を受けます)
よって、nC1(1/4)n-1(1/2)1=n/22n-1


(2)別解答1


面倒ですが漸化式でも解けます。(1)の誘導にそって2移動を一組で行きます。2n回移動をして2nにいる確率をqn、2n回移動して2n-2にいる確率をpnとします(求めるべきはpnです)。すると連立漸化式ができるので、これを解いていきます。
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(2)別解答2


むりやり並びかたを考えて解く解法です。
なんとなくですが、(1)の移動の仕方を見るに、2n-2って結構頑張って移動している気がします。
なので、どれぐらい頑張って移動しているのかを考えてやります(限界だと計算は楽になる傾向があります。二項定理の両端の項では真ん中より計算が楽ですよね)。

絶対値の増え方に注目します。すると-2,0,+2の3通りの移動の仕方があり(他の解答とはことなり2回セットではなく1回での移動です)、(1)の考察から、-2や+2はそれぞれ2連続で使うことはできません。-2なら間に0か+2を合計で奇数回、+2なら間に0か-2を合計で奇数回入れる必要があります。。

よって、もっとも頑張るケースを考えてみると、始まりが原点=0<1を考慮すると初めは-2は取れないので、+2,0,+2,0,・・・・・+2,0もしくは0,+2,0,+2,0,・・・・・0,+2と+2の移動がn回、0がn回のものの絶対値が最大になります。
つまり絶対値は最大で2nにしかなりません。これより絶対値が2小さいパターンを考えればいいことがわかります。
考えられるパターンは2つです。+2がn-1回、0がn+1回のもの。もしくは+2がn回、-2が1回、0がn-1回のものです。

(i)+2がn-1回、0がn+1回のもの
決まりきっている部分に余分な0を加えることを考えます。つまり、+2がn-1回、0がn-2回のもの(+2,0,・・・・・,+2,0,+2)に0を加えていきます。ここで注意すべきものは各移動で点の絶対値が逆転すること(点は1の位置にはこないので)、および、+2と+2の間には奇数回の0が入らなければならないことです。
すると初めて符号がつくのは初めて絶対値+2の移動をした場合です。全体の移動が2n回であることを考えれば、初めての+2移動は偶数回目の移動でなければなりません。よって、0,+2・・・・か0,0,0,+2・・・・のいずれかになります。つまり前者に0,0を挿入していくか(0,0がセットじゃないと+2と+2の間が奇数回にならない)、後者の1通りです。
二つあげましたが、0,+2,0,・・・・・,+2,0,+2に0,0を挿入すれば後者も生成できるのでこの場合の数を求めます。
入り得る箇所はn箇所あるので(+2がn-1なのでそれに1加えたもの)、nC1=n通り存在します。

(ii)+2がn回、-2が1回、0がn-1回のもの
-2は+2となる裏と次の裏の間に0が偶数個なら発生します。よって+2がn回,-2が1回の並べ方を考え、それに0を巧く入れていきます。
初めに-2はこれないので、n通りあります。+2が連続し得ないことからn-2個の0は位置が固定されるもの(+2,0,・・・+2,-2+2,0,+2,・・・・0,+2もしくは+2,-2+2,0,+2,・・・・0,+2)n-1通り、n-1個の0が固定されるもの(+2,0,・・・・0,+2,-2)が1つです。
(ii-1)+2,0,・・・+2,-2+2,0,+2,・・・・0,+2
それぞれに対して、0を初めに加えるか、最後に加えるかの選択肢があり、0が正負反対にしないものとするものなので一方を選べばOKです。よってn-2通りあります。

(ii-ii)+2,-2+2,0,+2,・・・・0,+2
初めと終わりに加えて、+2,-2,0,+2・・・というようにもう一箇所入り得ます。正負を確認すると、初めと途中に0を挿入したパターンで最後が正になるため2通りあります。

(ii-iii)+2,0,・・・・0,+2,-2
これは最後が負になるためダメです。
よって(ii-i)~(ii-iii)より(ii)はn通りです。

(i)(ii)より合計2n通りとなり、2n/22nよりn/22n-1が答えです。

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京都大学2013年前期数学第5問
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ちょっとした発想の転換が必要です。難易度は普通+αな感じかと思います。

解答

解法のポイント
  • 円の接線は中心と接点を結んだ線に直角

Cがy軸に対称、C1とC2がy軸に対称なグラフなので、C1とCおよびy軸によって囲まれた図形のみ調べればOKです。真数条件よりx>-1です。
必要ないんですが、理解を助けるために2通りのC、C1およびC2のグラフを描いて置きます。
kyodai_2013_math_5a-5.png
△PABがy軸に対称な正三角形ということは、ABはy軸に直交し、その交点をQとすれば、∠QPAが30度だとわかります。
C1のAにおける法線の傾きがtan60°=√3もしくはtan120°=-√3なので、Aの座標を(s,t)とすれば
kyodai_2013_math_5a-1.png
となるが、真数条件よりs=2となる(120度のほう)。このとき法線の方程式は
kyodai_2013_math_5a-2.png
となります。この直線とy軸の交点をCの中心にしてAを通るようにしてやれば、APが法線と一致することからAでCとC1が接することがわかります。
これは円の半径をPAにするということなので、円の半径を求めますが、代入すると面倒です。∠QPA=30度から計算します。PA=2/sin∠QPA=4と求まります。

ここまで求まればあとは積分するだけです。PAとx軸のなす角が120度であること、および、x=2においてC1が第一象限のグラフであることから、CはC1の上側です。
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これの2倍なので、
kyodai_2013_math_5a-4.png

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京都大学2013年前期数学第4問
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外出先で紙を使わずに考えていたせいか、個人的には一番引っかかった問題です。でも難易度は並程度ではないでしょうか。

解答

解法のポイント
  • 閉集合を変域とする(有限次元の)連続関数は最大・最小値をもち、その値は極値、不連続地点、境界部を比較すればよい
  • 2階導関数で極値が極大か極小か判定可能(ただし2階導関数が0のときは更に高次導関数をチェックする必要がある)
  • 1階導関数が単調(2階導関数が正か負の一方に限定される)時、極値は多くて1つ

閉区間を範囲とする微分可能な関数の最大値なので、極値(極大値)と境界部分を比較します。でもこの関数って偶関数なので(cosxもx2も偶関数なので)閉区間は0≦x≦π/2にしてもOKです。
まずは極値ですが、f(x)とでもおいていつものように微分します。
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となりますが、見るからに解ける気がしません。まずはこいつが極大値なのか極小値なのか判断してやります。
よってもう一度微分。
kyodai_2013_math_4a-2.png
となりf'(x)=0であることを考慮すると、グラフはx=0の近傍では単調に減少することがわかります。
さて、f''(x)がπ/6を境にきれいに正負が入れ替わっていることを考慮すると、f'(x)=0なるxはπ/6より大きく(小さいならば、f''(x)は負だからf'(x)は小さくなり続けている最中です)、また、π/6より大きいxでf''(x)>0なので、極小値です。さらに、π/6より大きいxでf''(x)>0なので、f'(x)=0となる点は1つになります。
よって、極値は極小値のみなので最大値において考慮する必要はありません。

境界の値の検証は代入するだけです。
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となり、後者が最大値になります。

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京都大学2013年前期数学第3問
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ごく普通の数学的帰納法の問題です。コメントに困ります。

解答

解法のポイント
  • 自然数についてなどは数学的帰納法を第一選択肢に
  • 整式の割り算はP(x)=Q(x)f(x)+R(x)の形にする

見るからに数学的帰納法臭が漂っているのでそれで行きます。
(i)n=1のとき
xをx2-2x-1で割るとx余る。よってa=1,b=0となり、いずれも整数かつこれらを共に割りきる素数は存在しない。

(ii)n≧2のとき
n=kで成立すると仮定すると、商をQn(x)、x2-2x-1をf(x)とし、n=kのときのa,bをan,bnとすると、xk=Qn(x)f(x)+anx+bnにおいてanとbnは整数かつ互いに素が成立します。
この式を元にn=k+1バージョンを作るためにはxを両辺にかけるとOKです(右辺の各項は不明のためこれしかありません、たぶん)。
xk+1=xQn(x)f(x)+anx2+bnxとなりますが、ここで右辺の余り的なものの次数が2になるためf(x)でまだ割れます。
割ってやると、anx2+bnx=anf(x)+(bn+2an)x+anと表せます。
よってxk+1をf(x)で割った余りは(bn+2an)x+anとなります。
ここで、n=k+1のあまりと比較してやれば、
an+1=bn+2an
bn+1=an
だとわかります。
この式とanとbnが整数であることから、an+1もbn+1も整数になるとわかります。また、an+1とbn+1が共通の因数を持つならば、bn+2anとanが共通の因数を持つことになるので、anとbnをともに割り切れる素数がないならばbn=0以外あり得ません。これが矛盾することを示せばOKです。

さてこれは困った問題です。b1=0なので一瞬ダメですが、(i)にn=2を追加すること、および漸化式の形から(n=1以外の)証明すべきものを”a,bが整数”ではなく自然数(≠0)に変えてやれば、(i)(ii)から2以上の自然数nにおいてbn≧1が得られるので、問題なく証明されます。

以上、試験なら途中でn=2や自然数への条件変更を追加して書くんですが、こんな風に解いているうちに追加される感じも出したかったのでそのままにしておきます。

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京都大学2013年前期数学第2問
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どこかの未解決問題で見たような漸化式です。難易度はまずまずですが、こういう問題でよくある設問はなんでしょうか?というところからせめます。メイン解答に載せた最後は直接計算していますが、別解答のように数学的帰納法でもよいと思います。

解答

解法のポイント
  • Nを実際に2,3入れて検討する
  • 塊は塊で他のと混ぜない状態で考える(本問だと2Nと-3などを混ぜない)
  • 級数(数列の和)の単調性に注目する

よくある設問でN=2,3を求めろ的なことが聞かれます。ヒントになるのでここでも考えてみます。
N=2のときa1=22-3、a2=21-2、a3=20-1これ以降も0
N=3のときa1=23-3、a2=22-2、a3=21-1、a4=20-1、これ以降も0
以上から、2N部分と-3を別に考えれば、和が0になるまで2NがNを1つずつ減っていき、-3部分は、-3、-2,-1,-1・・・・となることがわかります(ここをbnとでもしておきます)。
2NはN=0以外では2で割れるので、anは奇数、偶数、奇数・・・(以下0になるまで奇数、0になった後は偶数)というようになります。

次にMが何でもいいので、左辺の最大値(正確にはMが閉集合ではないので上限)が右辺より小さいことを示せばいいといいかえれます。anは負にはなりえないので(証明が必要ならばanが整数であることを示し、もし負になる場合には、はじめて負になるnが存在しそのときan-1も負になる矛盾でせめればよい)、無限大まで足したものが最大です(これもありがちな設問)。ただ、上の検討からaN+1は20-1になるためNまででOKです。よって、
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別解答

最後の計算部分だけ数学的帰納法で行きます。
(i)N=2のとき
左辺の最大値=1+0+0・・・・・・・=1
右辺=8-2-5=1となり成立する。

(ii)N≧3のとき
N=kで成立してると仮定します。漸化式の数学的帰納法は漸化式側を合わせるのがセオリーなので、N=kとN=k+1の差を考えてやり、それを両辺に足してやります。anは同じではないのでk+1のほうにはanに'をつけておきます。
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これをN=kの右辺に足してやれば
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となるため、N=k+1でも成立する。
(i)(ii)よりすべての2以上の自然数Nにおいて成立する。


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京都大学2013年前期数学第1問
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これを計算ミスなど以外ではずしているようでは合格は厳しいでしょう。センターレベルの基本問題すぎてポイントも書きようがない感じです。

解答

解法のポイント
  • 最後に考える点(点A)を始点した2つのベクトルで他を表す

まず図にするとこんな感じです(ベクトルで解くなら書かなくてもいいかと思いますが)。最後にAP:PQを聞いているので、AかQかPを始点にしたベクトルで考えると幸せです。ただ、他の点を表すベクトルを見つけやすいものでなければならないのでAを始点にします(ベクトルADをベクトルd、ベクトルABをベクトルb)。
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PはECとFGの交点なので、それらの端の点E,C,F,G次をベクトルbとベクトルdで表します。
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PはECとFGの交点なので内分点の公式を利用してPをECの点としてみる場合(上段)と、FG上の点で見る場合(下段)の二通りで表してやります。この場合大差ありませんが、一応、sをベクトルAC側にかけているのは、ACはAEより複雑なので1-sをかけると面倒だからです。
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これらは等しいので、
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ここまででAPは処理できましたので、Qを求めます。QはAP上の点で、またBC上の点でもあるので、さっきと同じように二つの直線の交点を求めます(BC上は内分点じゃない感じで出してますが内分点でもいいです。)。
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よってAQはAPのk倍すなわち22/19なのでPQは3/19倍です。よって19:3が答え。

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京都大学2013年前期数学解説
京都大学2013年前期数学の解説です。数学的な思考方法さえマスターしていれば計算も少なく結構簡単めなとこころは今年も同じです。難易度は例年並みではないでしょうか。大問1と大問6の(1)は確実に点を取りたいレベルです。黄色チャートレベルです。他の問でもパターンから逸脱した難問は一切ないので、数学が得意という人は満点近くとって頂きたいセットという感触。

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筑波大学附属駒場中学校2013年算数第4問
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(3)(イ)が小学生的なとき方から逸脱してしまっています。すみません。

(1)真ん中(1,2,3,4のマスが交じわる点)が中心となるような正方形を考えると最小のもので、辺が2マス分、次のもので辺が4マスといったように1辺が偶数マス目の正方形になります。
左上は考えている正方形の中で最後に埋まるマス目なので、辺のマス目の数を二回かけたものになります。400に近い数字になるものを探しますが、400=20×20なので縦横20マスの正方形の左上になります。
考えている正方形が埋まると、その左に行くことが確認できるので(4と5、16と17のように)400の下は18マスの正方形の最後のマスの次のマスだとわかります。
よって、18×18+1=(20-2)×(20-2)+1=400-80+4+1=325

(2)(1)では偶数マス目を持つ正方形を考えましたが、1と書かれたマス目を中心にすれば、辺が奇数マスで、右下が辺のマス目を2回かけた数字になる正方形になります。
正方形の上の列(偶数正方形)でも下の列(奇数正方形)でも位置がある程度わかるうになったので、2回同じ数字をかけて2013に近くなるものを探してやります。40だと小さい、50だと大きくなると簡単にわかるのでその間の数を試して見ると、45×45=2025であり、2013より12だけ大きい数字になります。また、12は45より小さいので同じ行になります。
2025の左からの位置は、1が50番目なので、50+(45-1)÷2で求まります。よって72番目です。ここから12戻ると2013なのでので、60番目です。

(3)
(ア)50より大きい60番目の列で縦に並ぶということは、図の10から13のように、奇数の辺を持つ正方形の右下から1つ右にいったものが開始位置で、考えている正方形の辺のマス目よりも1大きいマス目分の数が続けてかかれることになります(一周して10にあたる部分の下に数字が書かれた段階で次の奇数になるので、それより1つ少ない数字になります)。
59番目の列で奇数マス目の正方形が完成するものの辺の長さは、(59-50)×2+1=19なので、一番右下は19×19=(20-1)×(20-1)=400-40+1=361です。よって、362から381が答えになります。

(イ)縦に連続するものと、横に連続する部分を分けて考えます。
(i)縦の部分
362から381なので、363,373の2つあります。

(ii)横に連続する部分
一行下に行くと数字がどう変わるかをみます。nを正方形の辺のマス目の数としてやれば、下図のように1行下のマス目に行くまでにn+1を3回、nを1回加えるので4n+3ずつ増えていくことがわかります。
tsukukoma_2013_math_4a.png
(右下のマスに注目してやれば(n+2)×(n+2)-1からn×nを引いた4n+3だけ増えていきます。)
1の位のみに注目してやれば、
7,5,3,1,9,・・・・ずつ増えていくことになります(5ずつの繰り返し)。nが19の時は4n+3は79なので9が開始でOKです。
362に9,7,5,3,1・・・・を足した場合の1の位は、1,8,3,6,7,6,3,8,1,2・・・・という10個の数字が繰り返し出てくることになります(2に戻ったときに、次の数字への増加分が9にちょうどもどるので)。
362は51+(19-1)÷2=60行目なので、下にあと40行あります。よって10個の数字の繰り返しで3が二回出てくるので、4×2=8個あることが分かります。

次に一行上にいく場合も同様に考えます。すると、1の位の増え方は同じく7,5,3,1,9の繰り返しです。381が入っているマスは偶数辺の正方形で言うと20マスの辺のものなので、4n+3に入れてやれば、3から繰り返しが始まることがわかります。
よって、3,1,9,7,5,・・・・の増え方を381の1に足していくと、4,5,4,1,6,9,0,9,6,1・・・という10個の数字の繰り返しになることがわかります。3は出てきません。

(i)(ii)より2+8で10個だとわかります。

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筑波大学附属駒場中学校2013年算数第3問
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こういう段々と数が増えていく問題は大抵解き方が決まっています。個人的には今年でもっとも楽な問題です。

解答

解法のポイント
  • 数が増えていく問題は、それまでの数のものを利用して表せないか考える

(1)例で出されているものを利用できないか考えます。
例では点が4つで、新しく求めるべきものは6つなので、とりあえず1つは自分で引かなければならなそうです。①から引いてみると次の5つが考えられます。
tsukukoma_2013_math_3a.png
このうち、2番目と4番目は引いた線の左右で奇数がなるため、線を結ぶためにはきまりの2つ目を破らなければなりません。
まず、一番左ですが、残りの結び方は点4つを結ぶ例と同じなので、2通りあります。
次にに真ん中は左右ともに引き方は1つずつしかないので、1×1で1通りです。
最後に一番右ですが、これは一番右と左右対称なので同じ通りだったりします。2通りです

よって5通りになります。

(2)同じく線を1本引いて考えます。
①から②(⑧)に結ぶものは、残りの点が6なので(1)から5通り。
①から④(⑥)に結ぶものは、残りの点が左右で4と2なので例から2×1で2通りです。
他は左右が奇数になるのでダメです。
よって5×2+2×2=14通りです。

(3)同じく1本線をひいて考えます。
①から②(⑩)に結ぶものは、残りの点が8なので(2)から14通り。
①から④(⑧)に結ぶものは、残りの点が6と2なので(1)から5×1で5通り。
①から⑥に結ぶものは、残りの点が4と4なので、例から2×2で4通り。
よって14×2+5×2+4=42通りとなります。

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