ひたすら受験問題を解説していくブログ
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東京大学2002年前期数学第3問
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解説


体積の求積問題です。このような問題では対称性をチェックすることを怠ってはなりません。

まず,Sは球なので全方向に対称です。これに対して,Pを考えることになれば,Pの中心座標はどこでも同じであることがわかります(当然LもQもです)。しかし,条件式にAが入っているため,zだけ別で扱う必要が出てきます(Aの座標でzだけ別物なので)。
よって,考える図形などはx,yについて円と同等の対称性,つまり,回転体であることがわかります。

では,回転体ならば都合のいいP(X,0,Z)で考えても問題ないので(今回のような対称うんぬんは置いておいても,3次元の事柄を2次元に落とし込み,解そのものや,解法を活用するのは数学の常套手段です),このPでPQとARを求めます。解く上で不要ですが一応図をおいておきます。
todai_2002_math_3a_1.png
まずLは2球の共通部分を通る面なので,2円の交点を通る直線で表せます。
todai_2002_math_3a_3.png
次に,点と直線の関係から条件式を表してやると,
todai_2002_math_3a_4.png
左辺の絶対値内は外側という条件から常に正なので,右辺の絶対値内の正負で場合分けします。
(i)-Z-1≦0,すなわちZ≧-1のとき
todai_2002_math_3a_5.png
Sの外側という条件に注意すると,
todai_2002_math_3a_2.png

(ii)-Z-1>0,すなわちZ<-1のとき
todai_2002_math_3a_6.png
これはZ<-1のとき満たせません。
(また,Sの外側という条件に注意すると,何も残らないことがわかります(Sに含まれてしまいます))。

(i)(ii)より,(i)の図をz軸で回転させたものになるので,球の体積で計算すると(3.144にしているのは6で割れるようにです。あんまかわらないというか逆にめんどくさいかもしれません),
todai_2002_math_3a_7.png
こういう感じで最後にくだらない計算させるところが東大さんらしいっちゃ東大さんらしいのですが,めんどくさいのでやめて欲しいです。
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東京大学2002年前期数学第2問
todai_2002_math_2q.png

解説


こちらも瞬殺した人が多数ではないでしょうか。少しばかりの工夫がいるものの,セオリー通り,整式の除法は”割られるもの=割るもの×商+余り”でやるということと,nからn+1の標準的なもって行きかたに沿ってやればそれまでです。

(1)
”割られるもの=割るもの×商+余り”の形で表すと,
todai_2002_math_2a_1.png
です。これはnなのでn+1にすることを考えると,左辺をn+1にそろえるか,右辺をn+1にそろえるかですが,左辺をそろえる操作しかあり得ません(右辺は未知数列を含むので)。単純にxをかけるだけです。
todai_2002_math_2a_2.png
xの2次の項はまだ割れるので,あまり的な部分を割ってやって恒等式で処理すれば,
todai_2002_math_2a_3.png

【別解答】
xn+2を割る最初の段階を考えると,
todai_2002_math_2a_4.png
と同じ漸化式になります。さて,n≧0に拡張しても題意に変わりはないので,それぞれの第0項と第1項を求めると(もし拡張が気になるなら第1項と第2項で求めればOKです。)
todai_2002_math_2a_5.png
となり,anの方がbnより1項早いフィボナッチ数列であることがわかります。よって,1項ずれているので,証明すべき等式の下が成立し,それをanのフィボナッチ漸化式に入れれば証明すべき上の式が出てきます。

(2)
パッと見で数学的帰納法です。
(i)n=1の時
(1)で求めたように共に1なので,正の整数であり,また共通の因数は1,つまり互いに素になります。

(ii)
n=kでakとがbkが正の整数であり,また共通の因数は1,つまり互いに素だと仮定します。(1)で証明した式(上)より,正の整数+正の整数は正の整数なので,ak+1も正の整数,bk+1はakなので正の整数となります。
また,
ak+1とbk+1が互いに素
⇔ak+bkとakが互いに素
⇔bkとakが互いに素
であり,仮定したものそのままです(⇔の行間を端折りすぎと感じるなら,1以外の共通の因数を持つとして背理法でも使えばいいと思います)。

(i)(ii)より,anとbnは共に正の整数であり,また共通の因数は1,つまり互いに素になります。

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東京大学2002年前期数学第1問
todai_2002_math_1q.png

解説


黄色チャート?という感じです。交点なので交点が満たすべき方程式を立てて,その解が2つというだけです。解答時間5分という感じでしょうか。

交点のx座標が満たすべき式を求めます(ただ2放物線で差をとるだけです。)。
todai_2002_math_1a_1.png
これが2つ解を持つなら,
todai_2002_math_1a_2.png

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東京大学2002年前期数学解説
東京大学2002年前期数学の解説です。全体的に東大受験生なめすぎだろってセットで,この年は数学が得意な人は逆の意味で死ぬことになったのではないでしょうか。100点とっても大したアドバンテージがないのは辛いところですね。
第6問(3)だけ良く見る問題ではないため,それなりと言える気はします。私の難易度順は6>3=4>5>2>1ぐらいでしょうか?

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東京慈恵会医科大学2013年化学第4問
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解説


問2(2)がうまくやらないとめんどくさめです。あとは問5がこんな現象あったなと思い出せるかどうかぐらいです。

問1 ア:一次 イ:α-へリックス ウ:二次 エ:変性
ただの穴埋め知識問題です。
タンパク質のアミノ酸配列は一次構造といわれます。

立体的な部分構造であるα-へリックス(螺旋)やβ-シート(シート状)などをタンパク質の二次構造と呼び,ペプチド結合のCOとNH間で水素結合をなして立体的な部分構造を保っています。α-へリックスの場合は同じ鎖内で水素結合をなしており,β-シートでは平行する別の鎖と水素結合を形成しています。このような固定的な構造をなす一因として,アミド結合のC-N間が下図のように共鳴によって二重結合性を持っているため自由に回転できない平面構造であることがあげられます。つまり,結合にちょうどいい位置で固定されたままになるということです。
jikei_2013_chem_4a_1.png

タンパク質は部分的な立体構造である二次構造が更に折りたたまれて,三次構造と言われるポリペプチド鎖全体の立体構造を形成します。このときに折りたたむ力は,側鎖間のジスルフィド結合,イオン結合,水素結合(主鎖と形成する場合もある),ファンデルワールス力があります。

四次構造は上記のように三次構造をもつポリペプチド鎖からなる部品(サブユニットという)が組み合わさって形成される構造です。

タンパク質の変性は,これらの力による立体構造の維持がなんらかの理由で阻害されることで起こります。変性が起こると,タンパク質は機能を失うことが多く,例えば,Pbが毒性を持つのは,ジスルフィド結合を変に架橋してしまって変性させてしまうからです。

問2
(1) 4.0×10-3mol
逆適定です。アンモニアは気体で,アンモニア水にしたにしても気化してしまい,丁度の硫酸と反応させることが難しいです。そのため,とりあえず全量を反応させて,残った硫酸を別の塩基で測る手法がとられます。
要するに,アンモニア+水酸化ナトリウム=硫酸,という式が酸の価数かけた上で成立します。よって,
2×0.1×50m-0.1×60m=4m molとわかります。

(2) 46%
構成するアミノ酸の平均分子量を計算してから,その平均になる割合を計算します。0.42が4.0×10-3molなので,割ってやって,105が平均分子量だとわかります。
ロイシン,バリンの分子量は残基部分では,113と99です。平均との差で考えれば8:6=4:3なので,モル数はこの逆比になります。質量比に直してロイシン部分の割合を計算すると,
113×3/(113×3+99×4)=113/245≒0.461

問3
ジスルフィド結合は名前の通り2つのSが入った結合で,Hが2つ取れて(酸化されて)S-S結合が出来ます。
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問4 PbS
硫黄反応ってやつです。反応はOHがSHと置換することによってS2-が最終的にできるためPbSの沈殿を生じるというものです。
置換可能なものはあくまでSHであるため,SCH3になっているメチオニンはほとんど沈殿を生じないといわれています。メチオニンの時は水酸化ナトリウムではなく,金属Naとともに試料を融解してNa2Sとして取り出すのが普通かと思います。その後は酢酸でも加えて酢酸鉛です。

問5
アルブミン分子はコロイド粒子のサイズなので,水に溶かして横から強い光を照射するとチンダル現象によって,光路が光って見えるが,アラニンではこの現象は観察できない。

チンダル現象はコロイド粒子で見られる現象で,粒子の大きさと光の波長が近いため,光が粒子によって散乱され,通り道が輝いて見える現象です。

問題文中でNGとされている方法はこんなのでしょうか?
試薬=ビウレット反応,キサントプロテイン反応,硫化鉛反応,エタノールによる凝固などなど
加熱=凝固
冷却・器具=同じグラムを溶かしてモル沸点凝固点降下
器具=同じグラムを溶かして浸透圧測定

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東京慈恵会医科大学2013年化学第3問
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解説


なんか新しいのが出てきますが,東大の問題と同じで,高校で習った内容との類似点を見つけて同じように処理してやればいいだけです。

問1
環状アミドであるラクタムと,環状エステルであるラクトンが同じ感じで反応すると問題文に書かれているので,エステル部分が切れて,それぞれが別分子とエステル結合すると考えられます。
よって,
jikei_2013_chem_3a_1.png

【参考】ラクタム,ラクトンの命名法
環状の元になるカルボン酸の名称,つまり炭素数を示す,アセト(2個),プロピオ,ブチロ,バレロ,カプロ(6個)・・・の末尾にラクタムやラクトンをつけたものになります。
初めのεなどのギリシャ文字は,酸がついている炭素から見て何番目の炭素にアミノ基やヒドロキシ基がついているかをあらわすもので,となりの炭素からα炭素,β炭素・・・って感じです(この辺はアミノ酸とおなじです)。まあ要するに,αラクタムなら3員環,βなら4員環となります。

問2 8種
解像度が低くてわかりにくいですが,C6H10O2です。つまり6員環でエステル構造を崩さずに,メチル基を一個つけろと言うことです。メチレンな炭素に順番につけて数えます。
jikei_2013_chem_3a_2.png
と4パターン有り,光学異性体を別で考えるので,×2して,8種です。

問3
問4にもあるとおり,酸素の数が変わります。これは,加水分解で生じるアルコールの酸化のされ方が異なるためです。
ラクトンの酸側でまず酸素原子が2つあり,よって残りの酸素2つがアルコール側の酸化で生じなければならないと言うことです。
酸化してカルボン酸になるアルコールは第1級アルコールなので,問2の図における,右下以外が該当します。
よって,
jikei_2013_chem_3a_3.png
数が足りないのは問2の図左上と左下は同じYになるからです。

問4
問3で除外した右下です。
jikei_2013_chem_3a_4.png

問5
問3で触れました。問3の図の一つ目です。

問6
光学異性体がないのは問4もしくは問3の右で,問4のものは酸を一つしか持たないのでダメです。
よって,問3の右で,
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東京慈恵会医科大学2013年化学第2問
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解説


前半は気体の溶解の問題ではっきりと難しいと思います。後半はまあ普通でしょう。

問1 13.3kPa
問題文順に分圧を求めていきます。
乾燥空気の圧力をPとすると,初めの空気中では0.21Pです。

次に,肺に吸入された酸素の分圧PIO2は,空気の分圧は水蒸気圧分だけ減少する,的な記述があるので,0.21(P-6.26kPa)です。

ここから吸収された酸素の分圧を引きます。吸収された酸素の分圧の80%が,血液から排出される二酸化炭素の分圧PACO2なので,0.21(P-6.26kPa)-PACO2÷0.8となります。

全圧の変化分は窒素分圧によって補われるため,変化しません。
よって,0.21(101.3-6.26)-5.33÷0.8≒13.29≒13.3kPa

問2 9.0×10-3mol
ヘモグロビンと水を別で考えて足します。

(i)ヘモグロビン
1分子あたり酸素を4分子結合できるので,ヘモグロビンのモル数がわかればOKです。ヘモグロビンの分子量が与えられているので,質量を求めればOKです。0.13g/mLらしいので1000をかけて130gです。
よって酸素は,4×130÷(6.5×104)=8.0×10-3molとなります。

(ii)水
ここが忘れがちですが,水は1Lではありません。ヘモグロビン分を引いてやる必要があります。
全体の重さは血液の比重より1.06×103であり,これからヘモグロビン量130gを引くと,水は930g、水の比重が1なのでつまりは0.93Lだとわかります。

酸素の水への溶解量から,1.1×10-3×0.93=1.023×10-3mol

(i)(ii)より,8.0×10-3+1.023×10-3=9.023×10-3≒9.0×10-3となります。

問3
(1)
ただの平衡定数の定義を書いてやるだけです。化学式の係数が次数になることに注意すれば,
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(2) 17
問題文で最後に与えられている条件から計算してやります。ヘモグロビンの半分が結合状態なので,非結合体も結合体も同濃度です。溶けている酸素は問2を利用して,1.02×10-3×4.0÷101.3なので,代入すると
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となります。なんとなく1.6が√3と√2の間とかそんな適当な近似をしています。はっきりいって4を5に置き換えるぐらいの近似でも,大きくなっているか小さくなっているかに注意すれば,なかなか桁は変わらなかったりします。

まあ,冒頭でlog104が与えられていることを覚えていれば,20-4log104=17.6となり,17だと簡単に計算できますけど。

問4
(1)
(I)は酸素による酸化とあるので,
O2+2H2O+4e→4OH
です。酸性条件ではないので,2H2Oを2Hとしないように注意しましょう。

(II)は還元しているのがヨウ化物イオンなので,
2I→I2+2e
となります。

(2) ア:12.4 イ:メスフラスコ ウ:ビュレット エ:青紫
ア:最終的に200mLに溶かして0.250mol/Lなので,チオ硫酸ナトリウムは0.050mol必要です。
よって,5水和物の式量が248であることから,248×0.05=12.4g必要です。

イ:このぐらいの量の液量を正確にはかる器具はメスフラスコです。数mLとかだとホールピペットです(メスピペットも結構正確ですが,いろんな量を測れることもあって多少目盛りが適当です。)

ウ:滴定において,落とす側に使う器具はビュレットです。一般に,空気に触れて反応しやすいものなどをビュレットに入れて,あまり反応しないものを受け側のコニカルビーカーなどに入れます(酸塩基の適定で強塩基をビュレット側に入れないと,二酸化炭素が有意に影響します。フェノールフタレインの変化が見にくいという理由もありますけど。参考:https://ssh.jst.go.jp/research/show/621)。

エ:チオ硫酸ナトリウムによってヨウ素が還元されてデンプンの青紫色の呈色が消えます(色は螺旋構造の長さによって決まります。長いと青,短いと赤や褐色,短すぎると無色です。そのため,アミロースが青紫でアミロペクチンは赤紫です)。呈色するのは,デンプンは螺旋構造をしており,その螺旋内にヨウ素が入り込んで包接化合物を形成し,光の吸収具合が呈色する領域になるからで,ヨウ素を還元してなくしたり,加熱によってデンプンの螺旋構造を崩したりすると色がきえます。

チオ硫酸ナトリウムとは次のように反応してテトラチオン酸ナトリウムとヨウ化物イオンになります。
I2+2Na2S2O3→2NaI+Na2S4O6
(チオ硫酸イオンは硫酸イオンのOの1つをSに置き換えたもので,テトラチオン酸ナトリウムは置き換えたS同士が単結合で結びついたものです。)

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東京慈恵会医科大学2013年化学第1問
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解説


高校化学ではあまり触れられることのないキセノン化合物が出てきて一瞬焦りますが,聞いていることの大半は普通の熱化学分野の事項です。

問1 A:希ガス a:4 b:24 c:2.27
A:アルカリ金属(1族),アルカリ土類金属(2族),ハロゲン(17族),希ガス(18族)という呼び方は覚えておきましょう。

a:格子に入っている原子の数を図1から数えます。数える際に立方体に入っている正味の数を数えます。例えば図1で左手前の白い原子は,立方体に1/8の部分しか入っていないため,1/8個としてカウントします。
よって,1/8×8+1/2×6=4となり答えは4個です。

b:全部数えようとすると結構大変なので,原子1個当たり何個の結合があるかを数えてaの答えにかけます。例えば右面の真ん中にある原子の周りを数える場合には,その原子より右側にも別の格子(原子を共有しています)があることを忘れずにカウントします。一番近しい原子の数は12個あります。
1つの結合が2つの原子間でなされることから,原子1つ当たりに直すのは1/2にしてやることになります。よって,原子1つ当たり12×1/2=6です。これにaの4個をかけると24本の結合があることが分かります。

c:気体になると分子間力を完全に断ち切ったことになります。固体において働く分子間力は
気体がした仕事+分子間力をきるエネルギー=温度変化に要するエネルギー+状態変化に要するエネルギー
となります。計算しやすくするため,融点の固体から沸点の液体までの変化で考えます。

気体がした仕事は,問題文中にある,「気体の膨張には圧力(Pa)×体積増加量(m3)に相当するエネルギー(J)」のことです。圧力は101.3kPaです。体積の増加量は,固体から丁度沸騰し終わった瞬間の気体1モルの体積の差なので,リットルとm3に注意して,ΔV=10-3×8.31×165/101.3kPa-0となります。これに圧力をかけて,10-3×8.31×165≒1.371kJとなります。

温度変化に要するエネルギーは,温度変化は液体のみで起こっているので,モル比熱に温度変化をかけた20×4=80Jです。

状態変化に要するエネルギーは,融解と蒸発で,2.29+12.61=14.90kJです。

以上から,分子間力をきるエネルギー=-1.371+0.080+14.90=13.609kJであり,原子1モルあたりで6モルの結合があったので,13.61÷6≒2.268≒2.27となります。

問2
jikei_2013_chem_1a_1.png

かなり適当縮尺ですみません(関数入力する気力が)。固体のときは比熱が1/2なので傾きが急です。
各段階に要する熱を計算してみます。
(i)固体の温度上昇
100Kから161Kまでなので,20×1/2×(161-100)=610J

(ii)融解
問題文より2.29kJ
ここまで計2.90kJ

(iii)液体の温度上昇
問1cの解説同様,20×(165-161)=80J
計2.98kJ

(iv)蒸発
問題文より12.61kJ
計 約15.6kJ

(v)気体の温度上昇
20×(200-165)=700J
計 約16.3kJ

問3
原子半径の大きい希ガスは最外殻電子のもつポテンシャルエネルギーが比較的大きい(イオン化エネルギーが小さい)ため反応する場合もあります。
酸素分子*(キセノンとイオン化エネルギーがほぼ同じ)ですら酸化出来る六フッ化白金によって,ヘキサフルオロ白金酸キセノンが合成されたのが初の希ガス化合物で,問題文に書かれているようなフッ化キセノン達以外にも酸化キセノン(VI),酸化キセノン(VIII),四フッ化酸化キセノンなどが存在します。もともと無理やり作った化合物であり,反応性に富み,例えばフッ化キセノン(VI)は石英を侵したりします。この他,フッ化クリプトン(II)などのクリプトン化合物も有名です。

*原子じゃなく分子についてであり,酸素分子のイオン化エネルギーは酸素原子のイオン化エネルギーより小さくなります。この理由はp軌道が分裂した反結合性のπ*軌道は,元のp軌道より高エネルギーなので,電子を奪うのに必要なエネルギーは小さくなります。

(1)
反応せずとも,最外殻電子が閉殻構造で安定しているから。

(2) d
冒頭で述べたように原子半径が大きくイオン化エネルギーが比較的小さい原子です。そのため,フッ素によって電子を奪われて反応することが出来ます。
このことはを知っておらずとも,問題文中に”酸化剤であるフッ素”とフッ素が酸化剤として働いていることが明記されており,キセノンの電子が奪われる反応だとわかるので,dが答えになります。

問4
連立方程式を立てて解くだけです。
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東京慈恵会医科大学2013年化学解説
東京慈恵会医科大学2013年化学の解説です。家庭教師で化学を教えている生徒が受けるかもとか言い出すから解いてみました。2012年は簡単めでしたが,ある程度の難易度に戻った感じでしょうか。上位国立っぽい問題で,同じランクに上げられる順天とは正反対です。
個別には第1問,第2問が難しめ,あとは普通でしょうか。

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東京大学2003年前期数学第6問
円周率が3.05より大きいことを証明せよ。

解説


難易度的には大したことはないのですが,円周率を3にするとかいう時代背景があったため,当時注目を集めた問題です。

正八角形か正十二角形の辺でいけます(面積だと十二角形で3丁度になってしまいます。)。ここでは近似精度のいい正十二角形を使います。余弦定理により,半径1の円に内接する正十二角形の外周をもとめ,それが円の外周より小さいことを利用します。
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ここで左辺が3.05の2乗,つまり,9.3025より小さいことを証明すればOKです。(あらかじめ”=9.3025”となる√3を計算しておけば,1.74より√3が小さければOKなのがわかります。よって,そうなるような精度で√3を計算します。)
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また,2乗をとらずに二重根号をはずしてもいいかと思います。

【参考】無限級数による解法
各種無限級数でπが絡んでくるものは多くあります。ただ,どの級数を使うかによって,計算を手でしようとするととてつもない計算量になって詰みます。
ここでは有名どころとして,arctan,リーマンゼータ関数で何項まで必要になるのかについて調べてみます。

(i)arctan
arctanは以下のような無限級数です。
todai_2003_math_6a_3.png
x=1の場合,arctanx=π/4なのでこれを活用します(マイナスの項が入るので,マイナスをした段階で超えて欲しい数値3.05/4=0.7625を超えなければなりません。)。エクセルさんに計算をさせてみた結果,第12項において始めて0.7625を超えます(0.764+α)。12項計算したい人はこの解法を使ってもいいでしょう。

(ii)リーマンゼータ関数
以下のような無限級数です。
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s=2のときπ2/6であり(x2のフーリエ級数展開から簡単に得られたりします),(3.05)2/6をこの級数が超える項数をエクセルさんに計算させると11項目で超えるらしいです。私には計算する気が起きないです。

ならばと,s=4をやってみると,ζ(4)=π4/90であり,(3.05)4/90<1を超える項数を同様に求めてみると,エクセルの世話になる必要すらなく1項目だったりします。
他の正の偶数を入れたゼータ関数も比較的簡単に求められ,かつπのs乗が出てきます。そして,sが増えるほど1に近づいていくので,3.05をπの部分に代入してやれば余裕をもって1以下になるため,第1項で判定可能です。

本番でゼータ関数で解答した人はいたのでしょうか?本番でも思いついたのですが,ζ(4)を覚えていなかったので,ζ(4)を求めることより,正十二角形の周を計算する方を選らんでしまった記憶があります。

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東京大学2003年前期数学第5問
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解説


「100までの整数で20で割り切れる確率を求めよ」と言われれば迷う人はいないはずです。それとは当然違うのですが,同じような考え方が使えるのではと疑うべきです。また,確率を求めるときは余事象からせめた方がいいかは常に検討しましょう。難易度は(1)雑魚,(2)理IやII合格者はさすがに解けてねレベル(3)普通といった感じでしょうか。

(1)
問題を言い換えれば,「n回振って,5の倍数が少なくとも1回でる確率を求めよ」です。少なくとも系なので余事象で考え発想は普通でしょう。
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(2)
同じく言い換えれば,「n回振って,4が少なくとも1回,もしくは4を除く2の倍数が少なくとも2回でる確率を求めよ」です。これも結局,4が出ず,4を除く2の倍数が1回もしくは0回出る確率を1から引けばいいだけです。
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(3)
さて本題です。(1)かつ(2)です。(1)をA,(2)をBとでもしてやれば,求めたい1-pnは(pnからいじり始めてもいいですが,どうせ使うのはこっちなので)
todai_2003_math_5a_3.png
なので,AでもBでもない確率を求めればOKです。つまり(2)の余事象の計算において5がでないという制約を追加するだけです。
todai_2003_math_5a_11.png
あとは極限に代入するだけのお仕事です。
todai_2003_math_5a_4.png
となります。


【別解答】無理やり漸化式
20の約数的に,2パターン(5で割れない,5で割れる)×3パターン(2で割れない,2で1回のみ割れる,2で2回以上割れる)です。確率pの上付き文字を左が5で割れる回数(1回以上はひとまとめ),右が2で割れる回数(2回以上はひとまとめ)として連立漸化式を立てるとn≧0において,
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上から順に代入を繰り返して処理すると(高校数列の総まとめって感じの計算になりますが,意外にできちゃうものですね。「n=0の時,代入すると成立」とかは省略しています),
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todai_2003_math_5a_7.png
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こんなの試験中にはやってられないですね。

(1)
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(2)
todai_2003_math_5a_10.png

(3)
代入して計算するだけです。

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東京大学2003年前期数学第4問
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解説


α,βと問題文で指定があり,明らかに解と係数の関係と気づいて欲しいところです。誘導は露骨で,(1)は基本問題すぎます。

(1)
よく見る問題で,いつものように解と係数だけで表していきます。
todai_2003_math_4a_1.png

(2)
(3)的に(1)と(2)を使って(3)のα系統を求める感じだと推測できるので,普通にβを解の公式で求めてその範囲を求めます。3乗して終わりです。
todai_2003_math_4a_2.png

(3)
最大の整数じゃなく,その1の位ということは最大の整数は求めにくいのでしょう。実際に求めようとすると,(1)の漸化式を解いて,そこからβ2003を引いてやることになりますが,(1)の漸化式を解くと結局√が含まれた式になるため面倒です。
ということは何らかの形で1の位だけ求められるということであり,2003が鬼畜なぐらい大きいことからも周期性でせめられるのではと推測できます。

(1)の漸化式を使って1の位だけを順に計算してみると,snの1の位は,4,8,6,2,4,8,6,2,・・・となります。前の2項の1の位に依存するので,以下は延々と繰り返しになります。
繰り返し単位は4,8,6,2なので,n=2003では6です。
また,βの累乗は奇数ならば(2)で見たように-1と0にはさまれるので,sn-β2003の1の位は7には及ばず,6になります。

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東京大学2003年前期数学第3問
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解説


断面を考えて積分して体積を求めるという典型的な流れですが,積分が難しくなるパターンです。今回は東大側で,どう置き換えてやれば積分できるのかを与えてくれています。そういうものは,単に面積を求められてしまう場合も多いですが,その置き換えのメリットや意味が何なのかに注目する必要があるケースもあります。

(1)
指定された断面では,Bが中心(1,0)で半径1のまま,Aが中心が原点で半径2cosθの円になります(断面を底面とする相似な円錐の高さがcosθです)。円の交点を求めると,
todai_2003_math_3a_2.png
です。ということは下図のようにθがAの円における交点の位相,2θが円Bにおける交点の位相となっていることがわかります。
todai_2003_math_3a_1.png
交点の右と左にわけて面積を考えます(扇形から三角形を足し引きします)。

右側は
todai_2003_math_3a_3.png
左側は
todai_2003_math_3a_4.png
合計は
todai_2003_math_3a_5.png

(2)
単純に積分します(わかりやすく小分けで計算していなくてすみません)。
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東京大学2003年前期数学第2問
todai_2003_math_2q.png

解説


今はなき,来年からありの複素数平面の問題です。(1)なんてものは問題を見るだけで,円じゃねえの?とわかる問題です。sin∠APBを求めろならtが絡みやすいですが,角度そのものならばtが関係なく一定になる場合がほとんどでしょう。(2)も円であることさえわかればなんてことのない問題です。

一応,座標による別解答を提示しておきますが特に面白みはないと思います。

(1)
PAとPBを複素数で表して割ってやればOKです(表記の都合上,PAでAの複素数引くPの複素数と定義します)。
todai_2003_math_2a_2.png

(2)
∠APB<πなので,PはABを円弧の長い側です。あとは他に1点通ることがわかればOKですが,Aがx軸,Bがy=x上なので,まさにOを通ることがわかります。すると,問題の点をQとしてやれば,|OQ|は直径になるときが最大です。正確にはQが弧ABの長い側に含まれることを検討する必要がありますが,∠OAB>πであることから,QがBの左回り領域,つまり長い側に含まれることがわかります(図は別解答参照)。

このときのQのx座標は6なので(∠OAQが直角なので),QA,つまりPAが実部を持たないことが条件です(以下でReは実部を表しています。また,分母や分子の定数倍は意味がないので無視しています)。
todai_2003_math_2a_3.png



【別解答】座標によるめんどくさい解法
複素数を座標に直します。
todai_2003_math_2a_4.png
きれいにしたいのでx/yで邪魔な分母を消します(注:y/xではt=7も場合分けするため面倒です。)。この際t=3とt≠3で場合分けをします。
(i)t=3のとき
(x,y)=(0、0)で原点Oです。

(ii)t≠3のとき
x/yを求めて,yに代入します。
todai_2003_math_2a_5.png
t>0という条件を入れてやります。
todai_2003_math_2a_6.png

(i)(ii)より,求める軌跡は下図になります。
todai_2003_math_2a_1.png

(1)
円周上なので∠APB=∠AOB=π/4です。

(2)
∠OAB>πよりOと直径をなす点は軌跡に含まれるので,2(3,4)=(6,8)の点だとわかります。よって,座標にそのまま代入してもいいですが,面倒なのでx/yから派生した1/tを活用します。
todai_2003_math_2a_7.png

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東京大学2003年前期数学第1問
todai_2003_math_1q.png

解説


与えられている条件と求めるものを簡単な順から整理するだけの問題です。計算は結構めんどくさいです。うろ覚えですが,本番は30分ぐらいかかった気がします。

(A)より,
todai_2003_math_1a_1.png
(B)は少しめんどくさそうなので後回しで積分Iを計算すると
todai_2003_math_1a_2.png
よって,aの変域を(B)から調べればいいことがわかります。
todai_2003_math_1a_3.png
左辺をg(x)とでもして,g(x)=0が-1≦x≦1で解を持たない条件という基本問題なので,まずは境界の値を調べます。(A)の値を使っても良いでしょう。g(-1)=-3,g(1)=-1です。最大次数に係数が含まれるのでいつものように場合分けします。

(i)a=3のとき
g(x)は直線で,g(-1)およびg(1)が負なので常にg(x)≦0が成立しています。

(ii)a>3のとき
g(x)は下に凸な関数です。つまり,g(-1)およびg(1)が負なので常にg(x)≦0が成立しています。

(iii)a<3のとき
これが本丸です。境界の値以外は判別式と軸が範囲に入るか否かがチェックポイントです。簡単な軸から考えると,軸が境界から外れてくれると,境界の値からg(x)≦0が成立します。
todai_2003_math_1a_4.png
よって,a≦5/2のときは判別式を考える必要があります。
todai_2003_math_1a_5.png

(i)から(iii)をすべてまとめると,
todai_2003_math_1a_6.png

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東京大学2003年前期数学解説
東京大学2003年前期数学の解説です。ほどほどの難易度と言った感じのセットで、3>1=4≧2>5>6という感じでしょうか。全体的に誘導が丁寧で,部分点はかなり取りやすい感じです。もし誘導がなければ,3や4はなかなかの難問です。

実は私が受験した年だったりします。本番では第3問の円錐の半径を読み間違って,「ここは半径1じゃなく2じゃなきゃ誘導が・・・」的な解答を書いた黒歴史が思い出されます。
これ+α間違ってしまったので数学が90ぐらいになってしまい,さらには化学の計算ではまるにはまって(しかも計算間違ってました)生物が大問0.5問終わらず(たしか計90台後半),結構ぎりぎりめな合格だった気がします。

ちなみに今回解いた時も半径1と勘違いしたのは秘密です。

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東京大学2004年前期数学第6問
 片面を白色に,もう一方を黒色に塗った正方形の板が3枚ある。この3枚の板を机の上に横に並べ,次の操作を繰り返し行う。
 さいころを振り,出た目が1,2であれば左端の板を裏返し,3,4であればまん中の板を裏返し,5,6であれば右端の板を裏返す。
 たとえば,最初,板の表の色の並び方が「白白白」であったとし,1回目の操作で出たさいころの目が1であれば,色の並び方は「黒白白」となる。さらに2回目の操作を行って出たさいころの目が5であれば,色の並び方は「黒白黒」となる。

(1) 「白白白」から始めて,3回の操作の結果,色の並び方が「黒白白」となる確率を求めよ。

(2) 「白白白」から始めて,n回の操作の結果,色の並び方が「白白白」または「白黒白」となる確率を求めよ。

注意:さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする。

解説


わかり易い確率の問題です。裏表系なので偶奇性に着目するといいでしょう。
別解答として,2項定理を活用した直接求める方法を記載しておきます。家庭教師で教えていて,こんな解答がきたら少しテンパリます。

(1)
黒の枚数の偶奇が操作回数の偶奇と一致し,1,2,3枚目が等確率で裏返されることから,求めたいものは「黒黒黒」の確率を1から引いたものを3で割ればよいことになります(「白黒白」も「白白黒」も同じ確率です)。

「黒黒黒」はまず初めにどれか1枚,次にそれ以外,最後に残りの1枚が出ればOKです。よって,
todai_2004_math_6a_1.png

(2)
偶奇性から偶数のとき「白白白」(1通り)もしくは「白黒黒」系列(3通り),奇数のとき「白黒白」系列(3通り)もしくは「黒黒黒」(1通り)とりえます。

「白白白」の確率,「白黒白」の確率を順に確率をP2k,P2k-1とおけば,次の漸化式が得られます(操作回数を下添え字で表しています。操作0回も「白白白」が確率1と定義し,kが自然数で成立します)。
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【別解答】
いつも通り誰が読むんだか謎な別解のお時間です(わかりにくい場合======以降を読むといいと思います)。今回は直接求める方法です。しかもどうせなので,1枚目のカードを裏返す確率をa,2枚目をb,三枚目をc=1-a-bとして一般化して解いてみます。

(a+b)nにおいてa最高次数を含む一個飛ばしの項の和をA(a,b,n)と定義してやります。1枚目は偶数回,2枚目はどちらでも可,3枚目は偶数回裏返るので,nの偶奇と2枚目の偶奇が一致するので(つまり2枚目,および,2枚目と3枚目を合算したものは考えている2項展開の最高次数を含む),
todai_2004_math_6a_8.png
注意:上記において00=1と定義しています。

元の問題ではa=1/3,b=1/3,c=1/3でしたので代入すると,無事,本解答で求めた通りになることが確認できます。
また,たぶんカードの種類がm枚とかでも繰り返しA(a,b,n)を利用して求まるのではないでしょうか。



===============================================
以上ですが,もう少し段階を踏んで偶奇に分けて考えてみたものを書いて置きます。
偶奇に注目してやれば,各カードが偶数回出る場合に「白白白」,つまり元に戻ります。この場合は必ずnは偶数なので,2kとします。
この確率は,1番目のカード,2番目のカード,3番目のカードの裏返しが2k回の操作のどこで出るかということなので,それぞれ2p,2q,2r=2k-2p-2q回出るとすると
todai_2004_math_6a_3.png
となります。要するに3項の展開のうちで各項が偶数回かかっているものの確率ということです。

ところで,(a+b)nの2項展開において,偶数番目と奇数番目のみの和はそれぞれいくらになるでしょうか(aの次数順に並べているとします)。a=1,b=1のときは有名で,半分の2n-1になります。anを含む奇数番目の和をAn,an-1(bが1次の項)を含む偶数番目の和をBnとでもしてやれば,
todai_2004_math_6a_4.png
nが自然数のとき成立します(a=bかつn=0では成立しないことに注意。成立させるため,ここでは00=1と定義します。)。

これを使ってやると(繰り返し使っています。また一番最後は2k乗なので,丸括弧内に-1をかけています。これは奇数の場合と表記が合うようにです。),
todai_2004_math_6a_5.png
となります。奇数の場合は,まん中だけ奇数回です(裏返し回数は2p,2q-1,2r=2k-1-2p-2q+1)。同じくAnを繰り返し使ってやると(一回目の利用でbの最高次数が含まれていることに注意。そのためBnではなくAnです。),
todai_2004_math_6a_6.png
よって,
todai_2004_math_6a_7.png

全く同じ方法で同じになっていることからも,初めに記載したように実は場合わけすらいらなかったりします。

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東京大学2004年前期数学第5問
rを正の実数とする。xyz空間内の原点O(0,0,0)を中心とする半径1の球をA,点P(r,0,0)を中心とする半径1の球をBとする。球Aと球Bの和集合の体積をVとする。ただし,球Aと球Bの和集合とは,球Aまたは球Bの少なくとも一方に含まれる点全体よりなる立体のことである。

(1) Vをrの関数として表し,そのグラフの概形をかけ。
(2) V=8となるとき,rの値はいくらか。四捨五入して小数第1位まで求めよ。

注意:円周率πは3.14<π<3.15をみたす。

解説


(1)は教科書レベルの問題で(2)を如何に効率よく処理するかが問われます。いい方法は思い浮かばなかったので,実際の試験なら,私は多分最後に回すか,この(2)以外で100点ぐらいとれそうだったら放置します。いくらなんでも他にいい方法があるものだと信じます。

(1)
体積を求めます。AとBはrによって重なるかどうか変わりますが,結局A∪B=A+B-A∩Bとなります。前2者は球の体積の公式通りです。A∩Bの体積を考えていきます。

(i)r≧2のとき(球の中心間の距離が2球の半径の和より大きい場合)
共通部分はなし(等号成立時は点)なので,A∩Bの体積は0です。

(ii)0<r<2のとき
共通部分は下図の着色部分のx軸回転体ですが,対称なので,斜線部の2倍で計算します。
todai_2004_math_5a_1.png
交点のx座標は対称性から中心の中点になるので,
todai_2004_math_5a_3.png

よって,(i)(ii)より
todai_2004_math_5a_4.png
また,rで微分すると,当然ながら-dV(A∩B)/drになります。本問題では普通に計算した方が早いですが,もっと複雑な場合は以下のようにするといいでしょう。
todai_2004_math_5a_5.png
グラフ化すると,
todai_2004_math_5a_2.png


(2)
V=8なるものを探し出します。四捨五入して小数第1位なので,小数第2位を0.05ずらした0.1刻みで検討することになります。全部やるのは気が遠くなるので少ない手数で出来る方法を考えます。
まず第一に,π>3なので,グラフの曲線部分に存在します。

rを色々入れることになるので整理すると
todai_2004_math_5a_6.png
となります。この真ん中をf(r)とでもしてやり,あり得る区間の1/2ぐらいの数値を代入していきます(もちろん1.5のときには結構近いので1.45を先に計算してみるとかの感覚に走ることは重要です)。f(r)の単調増加性から,あり得る区間は片方に絞れます。
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よってf(x)の連続性から中間値の定理によって1.45<r<1.5なるrでV=8となります。つまり,r≒1.5です。

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東京大学2004年前期数学第4問
todai_2004_math_4q.png


解説


こういうちょっと見慣れない問題は面を食らう人も多そうですが,繰り返し系は一つ一つの意味,各段階の関連性をしっかり整理しておけば対応可能だと思います。正直なところ,本問に設問はなくても良いのではという気もします。

(1)
教科書レベルの問題です。微分してグラフを描いて,y=aを移動させてやります。f1'=3(x-1)(x+1)=0より,3次の係数が正なので,x=-1で極大,x=1で極小です。交点などを整理してグラフを描くと以下のようになります。
todai_2004_math_4a_1.png
よって,
todai_2004_math_4a_2.png

(2)
2がf1にどう繋がるか考えます。f1はf2のx(横軸)に当たるもので,f1の値域は実数全体なので,f2の変域も実数全体です。
繋がる際に(1)で求めた範囲にf1が入るか考える必要があるので,f2の値による場合分けに加えて,そのときのf1が(1)のどの範囲に入るかも考えて場合分けする必要があります。

図を再度描くのがめんどくさいので,上のグラフにおいて,xがf1,f1がf2として考えていきます。
(i)|a|<2
グラフより,f2=aは3個のf1を持ち,それらはすべて|f1|<2です。f1=bとでもおいてやれば,(1)とグラフが1価関数であることから(1価関数でないと異なるf1=bに対して同じxを持つ可能性があります。),それぞれが3個ずつ解を持ちます。
つまり,3×3=9個です。

(ii)|a|=2
|f1|=1,2の2つの解をもちます。よって前者が3つの解,後者が2つの解で,計5個です。

(iii)|a|>2
|f1|>2のf1が1つなので,解は1個です。

(i)~(iii)より,
todai_2004_math_4a_3.png

(3)
数学的帰納法です。fn=0で考えると,fn-1=0,±√3を考えることになるので,fn-1=0だけを仮定しても示せません。こういうときは証明すべきものを必要なところまで拡張してやります。
±√3なので”|fn|<2のとき,解の個数は3n”というのが自然かと思います(これでもダメなら|fn|=2なども推測で求めて拡張する必要があります。)。

(I)n=1
(1)より解の個数は3であり,成立する。

(II)n=kで成立すると仮定
|fk+1|<2なので,(2)より,3個の異なる|fk|<2なるfkを持つ。すべてのfnはfn-1の一価関数なので,解xがダブルことはありません。よって,それら3つのfkそれぞれに3k個の解があり,計3k+1の解を持ちます。よって証明すべきものは成立します。

(I)(II)よりすべての自然数nにおいて|fn|<2ならば,解の個数は3nであり,その特殊なケースであるfn=0でも成立します。

【(3)別解答】
写像のくり返し問題では意味のある写像であることがございます。本問の写像はx=2cosθを代入してやると,
todai_2004_math_4a_4.png
となります。つまり,θを3倍する写像であるといえます。このことから,
todai_2004_math_4a_5.png
となり,|fn|≦2ならば,この解がいくつあるのかということに帰結できます。xはθの1価関数であるべきなので,0≦θ≦πで考えます。0≦3nθ≦3nπで考えればいいことになりますが,πごとに1つ解θがあることに着目すれば,3n個の解θがあることがわかります。
ここで,0≦θ≦πにおいてx=2cosθは1対1に対応していることから,解xも同じ数の3n個あることがわかります。

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東京大学2004年前期数学第3問
半径10の円Cがある。半径3の円板Dを,円Cに内接させながら,円Cの円周に滑ることなく転がす。円板Dの周上の一点をPとする。点Pが,円Cの円周に接してから再び円Cの円周に接するまでに描く曲線は,円Cを2つの部分に分ける。それぞれの面積を求めよ。

解説


これも第2問に続き,置き方が決まってくる問題で,原点からDの中心,Dの中心からPと分けてθなどの角度で考えます。


以下ではDの中心もDと呼びます。また,x軸の正方向の点をXとしておきます。
Cの中心を原点Oにとり,PがCの円弧に対して半周した時にPがX軸の正に来るように座標をとります。そして,∠DOX=θ,∠ODP=Φとします。
todai_2004_math_3a_1.png

(もちろん,下図のようにPがCと接した点をx軸上の正の点として,∠DOX=θ,ODと円Cの交点をQとし,∠QDP=Φととってもいいです。出来る図形が斜めになって見にくいですが,今回の場合だとどうせきれいにならないのでそんなには変わりませんが。)
todai_2004_math_3a_2.png

Pの座標は,ODとDPに分けて考えます。後者はDPがX軸に平行な直線となす角がΦ-θになることを利用します。また,円周の比からΦ=10θ/3であることを考慮すると,
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PがCにつく時はΦ=±π⇔θ=±3π/10となり,yをθで微分すると,θの取り得る範囲で単調増加なのでx(y)は1価関数になっています。小さいほうの面積はそれぞれの曲線を下添え字で表すと,
todai_2004_math_3a_4.png

もう一方はCの面積100πから引いて392π/5

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東京大学2004年前期数学第2問
自然数の2乗になる数を平方数という。以下の問いに答えよ。

(1) 10進法で表して3桁以上の平方数に対し,10の位の数をa,1の位の数をbとおいたとき,a+bが偶数となるならば,bは0または4であることを示せ。

(2) 10進法で表して5桁以上の平方数に対し,1000の位の数,100の位の数,10の位の数,および1の位の数の4つすべてが同じ数となるならば,その平方数は10000で割り切れることを示せ。

解法


平方数の問題は平方後に着目するか,平方前をに着目するかです。本問題はこの両方が活用できます。また偶数(倍数)の問題は余りで表すことは基本であり,桁ごとものもは10n+mのように置く事が定石です。


(1)
平方前に着目する方法で考えます。(10n+m)2=100n2+20nm+m2となるので,a+bは結局
2mn+m2の10の位+m2の1の位
と偶奇が一致します。更に言えば
m2の10の位+m2の1の位
に一致します。0から9まですべてリストアップすると,0,1,4,9,16,25,36,49,64,81
10の位と1の位を足して偶数になるのは0,4,64のみとなります。よって,bは0または4です。

(2)
(1)を使えないかと考えてみると,(1)⊃(2)であり,1の位は0もしくは4,つまりこの平方数は10000k+0000か10000k+4444だとわかります。前者は10000で割れるのは自明なので,後者があり得ないことを示します。

もし10000k+4444型の平方数が存在するならば,この平方数は4の倍数なので
(2n)2=10000k+4444⇔n2=2500k+1111
となります。しかし,このn2は平方数かつa=1,b=1,つまりa+bが偶数となりますが,bが0でも4でもなく(1)に矛盾します。

よって,大元の平方数は10000k+0000でなければなりません。

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