ひたすら受験問題を解説していくブログ
慶應大学医学部2013年生物解説
慶應大学医学部2013年生物の解説です。ずっと放置していましたが,2014年版が来る前に片付けて置きます。
第3問の問3がひどい問題で正直答えに悩みます。他は第2問の問1が個人的に嫌です。センチュウなんてどんなでしたっけ?といいたくなる感じです。
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センター試験2014年数学IIB第6問

解説


(1)
ア:4 イ:2
6!=6・5・4・3・2なので2は4回,3は2回かかっています。

(2)
ウ:2 エ:3
Cは素因数の個数で,文章中にもMの和が素因数2の個数と書かれているので,C=C+Mの2です。

また,M<2となるまでやるといっているので,M<Dの3です。

オ:6 カキ:97
170時点でのMは
(101→)50→25→12→6→3→1
となります。よって6回。出力されるCはこれらの和なので,97です。

(3)
クケコ:110 サ:4
Dが2ではなく5になるだけなので,110行目の代入が4になればOKです。

シスセ:501 ソタチ:501
(2014→)402→80→16→3
であり,和をとると501です。
2の個数は5の個数より大きいので,10で割れる回数=5で割れる回数です。よって501です。

(4)
ツ:2 テ:8
素数であることの判定なので,割れた時点で飛ばして次のDにいくようにします。割れるということは,商に割ったものをかけるともとに戻ることになるので,2が答えです。
また,行き先は次のDなので,191行に飛ばす8です。

ト:9 ナ:2
26までの素数なので,2,3,5,7,11,13,17,19,23の9個です。よって9回実行されます。

Cの値が2になるということは26を素数で割った商が2になる場合です(1になったらそこで終了です)。
よって,11と13の2回です。


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センター試験2014年数学IIB第5問

解説


(1)
アイ:14
平均との差を順に足していくと,
-7+4+2+2+2-2-2+2=2
よって,アイは平均より-2なので14。

ウエ:10 オカ:00
平均との差を2乗して足します。
49+16+4+4+4+4+4+1+4=90
これを生徒数の9で割ると10になります。

キク:32
平均との差を順に足していくと,
0+5-1+2-7-1=-2
なので,C+D=15×2+2=32

ケ:4
ΔCとΔDをそれぞれ平均からのズレとして各生徒の偏差の積の和を取ると,
0+20-2+4+14+2ΔC-2ΔD+1+0=37+2(ΔC-ΔD)
であり,これが0.5にそれぞれの偏差の2乗和のルート,つまり分散に生徒数をかけたもののルートをかけたものに等しいので,
37+2(ΔC-ΔD)=0.5×90
⇔ΔC-ΔD=4
⇔C-15-(D-15)=C-D=4

【別解答】
昨年のように数学の分散からせめても答えはでます。
偏差の2乗和は(CとDは最後に持ってきています。),
25+1+4+49+1+ΔC2+ΔD2=9×10=90
⇔ΔC2+ΔD2=10
CとDも平均も整数なので,ΔCとΔDの絶対値は1,3のどちらかです。卑怯ですがケは1桁なので,ΔC>ΔDであり,ΔC+ΔD=2も考慮すると,ΔCが3,ΔDが-1に確定します。よって,4

コサ:18 シス:14
連立方程式を解くとC=18,D=14です。

(2)
セ:0
違いに注目して解きます。英語が14点の人を見ていけば解決できます。生徒5と生徒7です。それぞれ数学は8と14点なので,0が答えです。

(3)
ソタ:15 チ:0
生徒10は元の平均値よりも10小さいです。これを10で割った分だけ元の平均値から引けばいいので,16-1=15です。

ツ:5
同様に考えると,Fによって平均を1点下げているので,元の平均より10小さいということです。よって15-10=5

テ:8
どちらの平均点もかわっていないので,平均点と同じ点数の人がいなくなったことがわかります。よって,生徒8です。

ト:4 ナ:1
いなくなった生徒は平均値と同じ点数なので,2乗和に影響は与えません。よって,2乗和はそのままなので,分散を10倍にして2乗和にして,その後9でわったものがv'なので,10/9つまり4が答えです。

rに関しては偏差の積の和に影響はなく,人数も関係ないので,1です。

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センター試験2014年数学IIB第4問

解説


図を描いても描かなくてもいいかなという感じです。
(1)
アイ:-1 ウ:0 エ:2
まず与えられている内分点の座標を求めます。内分点の公式から(ベクトル上の→は省略)
OK=2OD/3=(0,0,2)
OL=OA/3=(1,0,0)

よって,LK=(-1,0,2)

オ:3
LKの対辺はMNです。方向はKLMNの順で回っているので,LKとはNMじゃなくMNが同じ方向になります(心配なら図を描いてみるといいです)。

カ:1 キ:2 ク:2
MN=(t-3,0,3-s)=LK=(-1,0,2)
⇔s=1,t=2

N(2,3,3)なので,FN:NG=1:2です。

ケ:0 コ:5 サシ:14
LM=(2,3,1)なので,LK・LM=-1・2+0・3+2・1=0
LK2=(-1)2+02+22=5
LM2=22+32+12=14

スセ:70
LK・LM=0でどっちの長さも0ではないので90度です。よって,√5・√14=√70

(2)
ソ:0
ある面に垂直なベクトルは,その面上のいかなるベクトルとも垂直なので,内積は0です。

タ:2 チツ:-5 テ:3
OP・LK=-p+2r=0⇔p=2r
OP・LK=2p+3q+r=5r+3q=0⇔q=-5r/3

ト:9 ナニ:35
OP=(2r,-5r/3,r)
PL=(1-2r,5r/3,-r)
なので,
OP・PL=2r-4r2-25r2/9-r2=0
⇔r(18-70r)=0⇔r=9/35

ヌ:3 ネノ:70 ハヒ:35
OP=r(2,-5/3,1)なので,
OP2=r2(4+25/9+1)=70r2/32=(2/35)r2・70

フ:1
LMN=KLMN/2なので,
OLMN=OP・LMN/3=(3√70)/35・(√70)/6=1


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センター試験2014年数学IIB第3問

解説


(1)
アイ:15 ウエ:28
第2項は6+9=15
第3項は15+(9+4)=28

オ:4 カ:5
階差は初項が9で公差が4なので,9+4(n-1)=4n+5です。

キ:2 ク:2 ケ:3 コ:1
階差数列の和をaの初項に足します。
center2014_math2_3a_1.png

(2)
サ:6 シス:35
n=1のときを代入するだけです。
center2014_math2_3a_2.png

セ:2 ソ:1 タ:5
ここからどこが新規の空欄なのか混乱する感じです。一般項を代入していきます。
center2014_math2_3a_4.png

チ:5 ツ:3
③にはbはないので,bnをcnで表して代入します。
center2014_math2_3a_5.png


テ:3
いま作った式はnが1ずれただけのものなので,それをdnとすれば.dn+1=dnが成立します。よって,3です。

ト:6
順番に代入していきます。
d1=(2+3)c1=5(2+1)b1=6

ナ:3 ニ:3
分数を二つに分けてやるだけです。適当にAやBで置いて計算して恒等式で求めます。
center2014_math2_3a_6.png

ヌ:2 ネ:2 ノ:3
和をとります。その際に次のnのものとで消えていきます。ここでは折角なので,書いて消してくのではなくΣ記号で処理してみます。
center2014_math2_3a_7.png


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センター試験2014年数学IIB第2問

解説


(1)
ア:3 イ:2 ウ:0
微分するだけ。極値はそれが0です。

エ:1
3次関数が極値を持つためには導関数に二つの異なる解が必要なので,p>1です。

(2)
オ:3
導関数の式に入れて3をかけてみると,p2-3p=p(p-3)=0,つまりp=0,3です。エの条件より,p=3。

カキ:-1 ク:1
p=3を代入してみると,f'(x)=3(x-1)(x+1)になるので,x=-1で極大値,x=1で極小値です(f(x)の最高次の係数が正で3次関数なので,小さい方から順に極大,極小です。)

ケ:3 コ:3
導関数は傾きになっていますので,bを代入したものが傾きです。

サ:2 シ:3
求めた方程式に(x,y)=(1,1-3)を代入します。
2=(3b2-3)(1-b)+b3-3b
⇔2b3-3b2+1=0

ス:1 セソ:-1 タ:2
Aはf(x)上の点なので,解のひとつがb=1となることは自明です(代入して0になるでもいいでしょう)。よって(b-1)で割って,(b-1)(2b+1)=0より,b=1,-1/2

チツ:-9 テ:4 ト:1 ナ:4
傾き≠0よりb=-1/2になるので,代入するだけです。y=-9x/4+1/4

ニ:2 ヌ:4
y=A(x-1)2-2と置けます。原点を通るので,x=0を代入して,A-2=0,つまりA=2になります。よって.
y=2x2-4x

ネノ:11
直線lとの差をとって積分します。
center2014_math2_2a_1.png


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センター試験2014年数学IIB第1問

解説


[1]
(1)
ア:3 イ:4
求めるのは接線に垂直な直線(法線)なので,傾きを掛け合って-1になるものです。よって,-3/4が傾きです。

ウ:3  エ:4
要するに直線lとさっきもとめた法線の交点がQです。連立させて解きます。
center2014_math2_1a_1.png


オ:4 カ:3
点と直線です。Pと直線l:4x-3y=0なので,
center2014_math2_1a_2.png

(2)
キ:2
①に代入してやるだけです。
center2014_math2_1a_3.png


ク:2 ケ:1  コ:1 サ:4 シ:2 ス:4
(p,q)=(2q,q)を中心と下半径r=qの円にx=2,y=2を代入してqを求めます。
center2014_math2_1a_4.png


(3)セ:4
S(2,1),T(4,2)です。2OS=OTであり,OはSTの外にあるので,1:2に外分する点です。

[2]
ソ:3
計算します。log223=3,log312=0なので,ソは3。

タ:8
同様に計算すると。4は2の二乗なので第1項が6,第2項は2になり,合計8です。

チ:2 ツ:3 テ:1
違いを見てみると,第1項のm3の次数がなくなっています。よって,3で割ったものだと考えられるので,第二項の係数は2/3で,右辺は1になります。

ト:0
n=1の時に最小の0です。

ナ:1 ニ:2
底が2なので,m=2のときに1です。また,m=1のとき0です。

ヌ:3 ネ:2 ノ:2 ハ:7
m=1を代入すると,第1項は0になるので,log3n≦3/2となります。両辺に2をかけて,3の指数部分にすると,n2≦33=27になります。

ヒ:5
2乗して27以下の自然数なので,1から5までの5つです。

フ:1
m=2なら,第1項が1なので,第2項は0となり,n=1です。これだけなので,1個です。

へ:6
5+1

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センター試験2014年数学IIB解説
センター試験2014年数学IIBの解説です。いい加減センターで遊んでないで東大入試などに戻れって気もしていますが,最近は家庭教師の方が2次試験の解説メインなので気分転換ということで。
解いてみた感じですと,難易度は去年よりも緩和していますが,相変わらずの計算ゲーです。第3問の数列ですが,あの漸化式をみて一発でこの解法を思いつけるような数学力が欲しいです(受験生ではなく私が)。

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センター試験2014年数学IA第4問

解説


縦横で分けて,さらに縦の1/2具合も考えていきます。

(1)ア:6
最短が縦2,横2なので,戻りは1度もなく,左下(3)と下(4)のみでいくことになります。4回から下が入るところを選ぶので,4C2=6です。

(2)イ:
縦に2いったところです。上と下だけではいけないことから,下,半分下,半分下です。また,横方向には0いったところになるので,4,3,5を並び替えたものが答えです。3!=6

(3)ウエ:36 オ:1 カキクケ:1296
3回目にCにいって6回目にDにいくということは(2)を2回繰り返したに過ぎません。よって,6×6=36。
確率の方はAからCに行く確率は,6/63=1/36なので,2回かけて,1/1296

(4)
コ:6
1を含むということは残りの5回で下に5回です。つまり,1,4,4,4,4,4な組み合わせなので,並び順は6通りです。

サシ:30
2を含むので横方向の釣り合いと,縦方向の整数性を考えます。とりあえず横方向の対消滅の回数が何回かで分けて考えます(この後に6を考えさせているので6が含まれないと推測できますけどね)。

1回対消滅の場合は,残りは4回です。つまり縦方向には-1または0の位置から4回でDに行くことになりますが,-1からだと無理なので,対消滅相手は5に確定します。よって,2,5,4,4,4,4の並び替えで,6!/(4!1!1!)=30

2回対消滅の場合は,縦に-2,-1,0,1,2から1回でDにいくことになりますが,これは不可能です。

ス:2 セソ:90
上方向に何も含まないので,6回で4回下に進むということは,2回下,4回斜め下しかあり得ません(鶴亀算か方程式でも立ててみてください。というか問題文で指定があるので入れて確かめるだけでOKです)。
斜め下は横方向を対消滅させるので,4,4,3,3,5,5の組み合わせで,6!/(2!2!2!)=90

タチツ:156
全部足します。6+30+30+90=156
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センター試験2014年数学IA第3問

解説


ア:4
余弦定理そのままです。
CA2=16+4-2・4・2・1/4=16 ∴CA=4

イ:7 ウ:8
余弦定理を使う場所を変えるだけです。
4=16+16-2・4・4・cos∠BAC
⇔cos∠BAC=7/8

エオ:15 カ:8
sinからcosを出します。(センターでは不要ですが,∠BACは最も小さい辺の対角なので,sinは正です)
sin2∠BAC=1-cos2∠BAC=15/64
⇔sin∠BAC=(√15)/8

キ:8 クケ:15 コサ:15
この単元で外接円の半径といわれれば確定です。正弦定理より,
R=BC/2sin∠BAC=8/(√15)=(8√15)/15

(1)
仕方ないので一応図でも描きましょうか。
center2014_math1_3a_1.png

シ:8 ス:3
角の二等分線は対辺を角を挟んでいる辺の比に分けます。つまり,AE:EC=BA:BC=2:1よって,AE=2AC/3=8/3

(忘れていたらベクトルで求めちゃってもいいかと。ベクトルはBCとBAの単位ベクトルの中点の定数倍がAC上という条件で求まります。)

セ:2 ソタ:10 チ:3
余弦定理を使います。
BE2=16+64/9-2・4・8/3・7/8=8/9・(18+8-21)=40/9
⇔BE=(2√10)/3

ツ:2 テト:10 ナ:5
ADが角の二等分線なので,AB:AE=BD:DE,よって,BD=BE・3/5=(2√10)/5

(2)ニ:5 ヌ:8
EBC∽EAFであり,相似比はBE:AEなので,面積比はその2乗です。よって,9/40×9/64=5/8

(3)ネ:4
なかなか取り組みにくい問題です。角で攻めろって言うので,円周角が大きいほど対応する弦が長いか,三角形の対角が大きいほど対角が長いかでしょう。

FAとFCはともに円周角が・の角度です。よって等しくなります。
次にFDですが,FDが弦ではないため,FDとFAまたはFCを含む三角形を見つけて角度を整理します。
AFDがぴったりです。FDの対角は×+・であり,FAの対角∠ADFはADBの外角なので,∠DAB+∠DBA=×+・となります。よって,FD=FA=FCです。

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センター試験2014年数学IA第2問

解説


ア:- イ:2 ウ:6 エオ:36
頂点なので平方完成します。
center2014_math1_2a_1.png

(1)
カ:3 キク:-1
pはx=0のときのyです。よって,
center2014_math1_2a_2.png

ケ:4 コ:8
頂点だけで比較してやれば十分です。a=3と-1を代入すると頂点はそれぞれ,(-3,-9),(1,-1)です。よって,xの正方向に1-(-3)=4,yの正方向に-1-(-9)=8移動すればOKです。

(2)
サシ:-3 ス:3 セ:3 ソ:6
二次の係数が正なので,頂点が0以下ならばOKです(判別式で考えてもいいです)。
center2014_math1_2a_3.png

タ:1 チツテ:-39 ト:6 ナニ:36
pの最小値といわれているので,pを平方完成してみます。
center2014_math1_2a_4.png

a=1が最小値の候補で,これは上で求めたaの範囲内です。よって,a=1で最小値-39をとり,|-3-1|<|6-1|より,a=6で最大値3{25-13}=36をとります。

ヌネ:-3 ノ:3 ハ:1 ヒフ:-7 へ:3
これ系問題は軸と,境界での値,判別式です。判別式は既に求めているので,軸と境界値の条件で処理します。
center2014_math1_2a_5.png

共有点を持つ条件とあわせると,-3≦a<-7/3です。

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センター試験2014年数学IA第1問

解説


[1]
(1)
ア:2
単純に計算します。きれいに片方のプラマイが逆なので有理化と同じように行きます。
center2014_math1_1a_1.png

イ:2 ウエ:-1 オ:6
これも普通に足します。
center2014_math1_1a_2.png

カ:8 キ:3 ク:6
定番の形です。ab,a+bの時点で,解と係数の関係か対称式か,正の数と指定があれば相加相乗か,というぐらいの思考回路でもいいかと思います。今回は求めろといわれている形も対称式なので,abとa+bで表していきます。
center2014_math1_1a_3.png

(2)
ケコ:16
計算するだけです。
center2014_math1_1a_4.png

サ:4 シス:16 セ:8 ソ:4
求めるものにbがありませんので,bを消してやります。b=2/aなので代入し,次数を問題文とそろえます。
center2014_math1_1a_5.png

【別解答】解と係数の関係による解法
aは次の2次方程式の解です。
center2014_math1_1a_6.png

解なのでx=aにしても成立しています。これとかけて4次式をつくり,かつ,整数係数にするためには√がきれいに消えるものをかけなければなりません。これは有理化と同じく√だけマイナスをかけたもので実現できます。
center2014_math1_1a_7.png
となり,当然aはこの方程式の解でもあるのでx=aを代入すれば答えになります。

[2]
(1)タチ:10
nの範囲を出すだけです。5<√n<6を満たす自然数⇒25<n<36を満たす自然数。よって,36-25-1=10個

(2)ツテ:0,4
要するに26以上35以下の整数です。
0:20の倍数なので,空集合です。
1:28の倍数なので,28があります。
2:30の倍数なので,30があります。
3:P∩(U-Q)の個数で考えます。1でn(P∩Q)=1は求めており,10個のうちに4の倍数は少なくとも2つあるので,n(P∩(U-Q))≧1であり,空集合ではありません。
4:R∩Q,Rも30のひとつです。よって空集合です。

(3)トナ:1,4
0:30は左に含まれますが,右には含まれません。
1:左は28,35から35を除いたもの,つまり28のみで,確かに4の倍数です。
2:否定を取ると,Q∪S⊃Pとなります(否定をとると包含関係が逆になります。わからなければA⊂Bをベン図で描いて否定でも考えてみてください)。左辺は28,30,35で,右辺の4の倍数である32を含みません。
3:否定を取ると,P∩Q⊃Sとなります。左辺は空集合で,右辺は空集合ではありません。
4:R∪S⊃Q,右辺は30,35で,左辺の6の倍数または7の倍数に含まれます。

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センター試験2014年数学IA解説
センター試験2014年数学IAの解説です。灘中の解説などで遅れてしまって今更感があるし,英語の解説を途中で投げ出していますが,気にしない方向でお願いします。
とりあえず自分が解いてみた感想としては第1問[2](3),第3問(3)あたりで差が出たのではと思います。ちなみに自分は第4問タチツを間違えました。足し算て難しい。

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灘中学校2014年算数第2日目第5問
nada_2014_math2_5q.png

解説


(1)
1日目でも四角柱でありましたが,変な四角形は三角形に切って変形で考えます。つまり,EFに先を引いて考えます。
nada_2014_math2_5a_1.png

EMNとENFを個別に考えます。
(i)EMN
EMNはEBFに変形できます。この比はEM:EBです。AMEとFMBの相似比1:2なので,EM:BM=1:2でEM:EB=1:3です。EBFは長方形の1/4なので,1/12です。

(ii)EFN
同様に,EFNはEFCに変形でき,この比はEN:NCです。ENDとCNFの相似比3:2なので,EN:NC=3:2でEN:EC=3:5です。EFCも長方形の1/4なので,3/20です。

(i)(ii)を足すと,7/30倍。

(2)
(1)のABCDがAEGCになっているということです。

(ア)
問題に全部が正方形になることは書いてあるので(対称性からわかりますが),(1)の図における比から正方形の辺の長さを求めます。

5めもり
(1)のABを15とするとAから5の位置は全体の1/3で,Mを通るものです。EBCをBCに平行な線できっただけなので,15/3=5cmです。

9めもり
5めもりと同様にEFDをNを通るものできっただけなので,15×2/5=6cm

7めもり
5めもりと9めもりのまん中で,間に折れ曲がりなどはないので,平均になります(5+6)÷2=11/2

(イ)
アの結果を使って0から5,5から9,9から15で体積を考えます。

(i)0から5
ただの四角すい,5×5×5÷3

(ii)9から15
同じくただの四角すい,6×6×6÷3

(iii)5から9
四角すい台です。高さが4上がって辺の長さが1減っているので,もとの四角すいの高さは24です。
よって,6×6×24÷3×(1-5×5×5÷6÷6÷6)=4/3×(6×6×6-5×5×5)です。

(i)から(iii)を全部足すと,
6×6×6×5/3-5×5×5=360-125=235です。


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灘中学校2014年算数第2日目第4問
nada_2014_math2_4q.png

解説


(1)
普通に計算してもOKですが,6以外は計算する必要はありません。例えば,マイナスの余り(足りない分)を考えれば1と13の余りは2回かけると同じになります。

36を14で割ると8あまります。49は14が7の2倍で7は奇数だから割らなくても7です。

8は14-8=6と同じなので,8です。
9も14-9=5と同じなので,11です。

(2)
値が変化しない場合は,変化しない数字のみ選ぶということになります。0,1,7,8がその数字です。
0は先頭には入れないことから(4桁になりません),3×4×4×4=192通りです。

(3)
小さくなるということは,桁数は増えず(5,9はダメ),桁が大きくなる数より前に小さくなる数(4のみ)が出てくるということです。
よって,不変を=,小さいものを<,桁は増えないものを*で表すと
<***
=<**
==<*
===<
の4パターンです。計算に直すと,
1×8×8×8
3×1×8×8
3×4×1×8
3×4×4×1

上二つを足すと64×11
下二つを足すと12×12=12×11+12
よって,76×11+12=848

(4)
これだけで考えると面倒です。大きくなるか,かわらないか,小さくなるかしかありえないので,全体から(2),(3)を引いてやります。
9×10×10×10-192-848=7960


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灘中学校2014年算数第2日目第3問
nada_2014_math2_3q.png

解説


前の設問を使って上手く処理してきます。その際に適用できないケースに注意します。

(1)
問題文で30×20を求めてくれているので活用します。下図のように2分割して30×20を適用したものと,2分割はできずにまたがるものが考えられます。
nada_2014_math2_3a_1.png
2分割のものは3×3=9通りです。

2分割できないものはまたがっているピースを考えてやると,以下の図の上下反転しかありません。
nada_2014_math2_3a_2.png
したがって,9+2=11通りです。

(2)
同様に考えます。3つの30×20に分かれるパターンと3つの30×20に分けた境界をまたぐするピースがあるパターンで考えます。前者は3×3×3=27です。

後者は左側で境界またぎが起こるとするとここまでは上下反転を除くと確定します。
nada_2014_math2_3a_3.png

右側がまたがないケースは3通りあり,上下と右のみまたぐケースを考えると4倍の12あります。
両方またぐケースは,以下の図のみなので,上下反転の2通りです。
nada_2014_math2_3a_4.png

したがって,27+12+2=41通りです。


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灘中学校2014年算数第2日目第2問
nada_2014_math2_2q.png

解説


休みがあるので,速さの比に結局何分歩いたかをかけて考えるだけの問題です。
まずABは10分間で出会っているので,太郎は10分,花子は9分歩いています。よって,速さの比をかけて,
10×3:9×4=30:36
となります。

さて,次にAC間は20分後なのですが,BCしか距離がわからないので,不明なAB間は除去してやります(まずAB間を歩かせて,出会ったらそれぞれBとCに連れて行く感じです)。
AB間は10分なので,10分後にBC間をつめていくことになると,10分後以降に太郎は2分休んで8分,花子は1分休んで9分歩きます。
よって,8×3:9×4=24:36となりBCの1500が合計の60に当たります。つまり1500÷60=25mが速さの比の1です。
したがって,太郎は25×3=75m,花子は25×4=100mです。

ABの距離は25×(30+36)=1650mです。

(2)
2回出会うということは二人でABの3回分だけ進んだということです(実際に書いてみるか,花子を止めて太郎だけ動かしてみるとわかり易いです)。
休み分だけ足りないとしても,ABをつめるのに使った10分の3倍,つまり30分後から考えると楽でしょう。

まずは20分でACだけ進みます。これはABの2倍よりも150m足りないです。次の10分ですが,太郎は休まず歩き,花子はこれまで通り9分です。はじめのABと同じなので,結局30分後には150m足りないということです。

さて,150mをつめるには二人の合計は分速175mなので6/7分必要です。太郎が次に休むのは32分後であり,花子は35分後なので,確かにやすみなしとしてOKです。

よって,30と6/7分であり,出会う位置は花子基準で考えればいいので,花子の歩いた距離からABをひいて100×(9×3+6/7)-1650=1135と5/7m


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灘中学校2014年算数第2日目第1問
nada_2014_math2_1q.png

解説


要するにまん中の4倍が周りの数字の和です。灘中なので方程式でしてもいいと思います。
ポイントは同じ形のものはすべての丸を足しても成立するということです。例えば例で上がっている左のものを,回転しつつ4回足すと,すべての外側が1+2+3+4=10となり,まん中は4×アになります。よって,アは10/4=5/2です。

(1)
不明なものを左から順に決めていきます。1×4=4が周りの数字の和なので,4です。

右の不明な数字は,4×4=16が周りの数字の和なので,16-1=15です。

(2)
まん中の列の右3つ以外は同一なので,(1)を15分の1すればOKです。よって左から順に,1/15,4/15

(3)
2の結果を使います。外側に1があると近いほうが+4/15されて,遠い方が+1/15されます。
よって,左側は
4×(1+2+3)/15+(4+6+5)/15=(4×6+15)/15=39/15=13/5=2と3/5

右側は4かかる方が逆になるので,
(6+15×4)/15=4と2/5

(4)
1の左と1の下は同じものの平均になります。つまり同じ数字です。また,1を作るためにはこれら二つは足して4になる必要があります。
よって,1の左と下はともに2です。

1のななめ左下はさっき求めた2の4倍,つまり8から1を引いたものなので7です。

7の下は,7×4-2-2=24となります。

(5)
(1)から(2),(2)から(3)と同じように考えます。
まず(2)にあたるものをつくりますが,分数が面倒なので,12倍して4,6,10,12すべてを24の倍数にします。それぞれ計算して足します。

それぞれを(4)から作ると(棒と0は省略しています。実際は120とか48とかは計算しなくてOKで,説明用に計算しています),
nada_2014_math2_1a.png


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灘中学校2014年算数第1日目第11問
nada_2014_math_11q.png

解説


白い中抜きの部分に相当する体積を求める際に,円すい台(名前まちがっているかも)の体積をすぐ出せるように公式化しておきます。
下図のような図形を左の辺回りに回転させた円すい台の体積を考えます。a×a×aをa3のように表記し,円周率をπとします。

相似比より体積の比は,全体:色なし部分=a3:b3であり,全体の体積がa3π/3なので,色つき部分はπ/3×(a3-b3)となります。

さて,問題の図を次の2つの場合で空白部分に相当する体積を出します。以下ではπは省略しています。
(i)
nada_2014_math_11a_1.png

3×8の長方形と,右端の中抜きで考えます。中抜き部分が作る体積は円すい台の公式から
8×8×3-(83-53)/3
となります。

(ii)
nada_2014_math_11a_2.png

全体の円すい台から左の円すい台を引いて中抜き部分の体積を求めます。
(73-43)/3-(43-13)/3
=(73-2×43+1)/3

(i)(ii)を4×8の長方形が作る体積から引いてやります。
4×8×8-8×8×3+(83-53)/3-(73-2×43+1)/3
=64+(83-53-73+2×43-1)/3
=64+(8×8×10-125-343-1)/3
=64+57=121

これに省略していた円周率をかけると121×3.14=379.94

【別解答】パップス・ギュルダンの定理(高校生以上向け?)
証明は高校の内容ですが,結果は小学生でも使えます。
回転体の体積はその重心が描く円周×図形の面積に等しくなります。

全部あったとすると,重心は回転軸から4cmはなれた位置です。また,面積は4×8です。
よって体積は2π×4×4×8=256π

右下の中抜きが作る体積は重心は(5+8+8)÷3=7で,面積は9/2なので,2π×7×9/2=63π

上辺の中抜きは,重心が(1+7+4)÷3=4で,面積は右下の2倍なので9で,体積は2π×4×9=72πです。

よって全体の体積は256π-72π-63π=121π≒379.94

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灘中学校2014年算数第1日目第10問
nada_2014_math_10q.png

解説


わかり易いものと何が共通で何が違うのかでせめてやります。E-AIJKはE-AFHと高さが共通で,面がAFHからAIJKに変化しています。AFHとAIJKを図にすると,
nada_2014_math_10a_2.png
となります。ここでIはAFの中点,KはAHの中点Jは△AFHの重心になります。JからFHに垂線を引けば,△AFHを図のように3等分できるので,AIJKはAFHの3分の1の面積です。
したがって,。E-AIJK=E-AFH÷3=6×6×6÷6÷3=12となります。

【別解答】
四角すいは変形させにくいです。つまり,変形させた比がそのまま体積比にならないということです(E-ABCDでAB上でBをスライドさせてみるとわかると思います)。
そのため,三角すいに分割して考えるのが良く使う手です。

対称性からE-AIJKをAEJIとAEJKに分割してみます。同様にE-ABCDをAECBとAECDに分割して考えます。

対称なのでAEJIとAECBの体積比を出せばよいでしょう。変形していきます。
BE=EIなので,AECI=AECB/2です。

次に,CからJに変形させるとどうなるのか考えます。AEGC平面で考えると下図になります。
nada_2014_math_10a_1.png

知りたいのはEC:EJなので,AJCとMJEの相似でいきます。2EM=ACなので,EC:EJ=3:1です。
よって,AEJI=AECI/3=AECB/6となります。

以上から,E-AIJK=E-ABCD/6=6×6×6÷3÷6=12になります。

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灘中学校2014年算数第1日目第9問
nada_2014_math_9q.png

解説


奥行きは一定なので無視して考えます。6分18秒を分に直すと6.3です。以下の図を描いて,水の増加具合を考えてみました。
nada_2014_math_9a_1.png

ポイントは4分までを均等だと考える点です。つまりBG=AGであり,OABC=OA'B'Cということです。
高さの比からOA'B'C=2CB'EDなので,CB'ED分の水は2分で入ることになります。

つまり,残りのEB'BF部分が0.3分になるということで,EFG:B'BG=4:1なので,EB'BF:B'BG=3:1です。
これでB'BG=0.1分だと増分具合がわかりました。相似を使うと,PQGも2.5だとわかり,
OAQR=OA'PR+PQG-AA'G=4×3+2.5-0.1=14.4分=14分24秒だとわかります。

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灘中学校2014年算数第1日目第8問
nada_2014_math_8q.png

解説


AFE,DECがわかっているので,これをBC,BF,FCのどれかに関連付けたいです。
近しいところを考えると,AEFはFC,DECはBCになります(一応,ADEとCBFの相似を念頭に考えており,この相似すぐ気づいて欲しいです)。

AEF:AFC=DEC:DBCなので,AFCとDBCの高さが一緒なのを使えば,
BC:FC=DEC:AEF=108:42=18:7
となります。BF=BC-FCよりBF:FC=11:7

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灘中学校2014年算数第1日目第7問
nada_2014_math_7q.png

解説


わかりにくいのでACだけを見てみると,
AとCの円を結ぶ直線は
nada_2014_math_7a_1.png
であり,ACの長さと一緒です。よって,すべての直線部分はひとつの円から2本出ていて,それを二つの円で共有しているので,5×2÷2=5本です。よってここは25cm

あとは曲線部分を求めます。つまり,まかれている部分が何度か調べる必要があります。下図を見てみると,
nada_2014_math_7a_2.png

左図の∠Oは右図の∠Oと同じ角度です。接線と中心を結んだ線は90度で交わるので,小さい側の∠Aと∠Oは足して180度になります(四角形なので)。よって∠Oを星型から求めればOKです。

星型の中心の五角形が正五角形であることから,星のとんがり部分の三角形の底角は72度で,∠O=180-144となります。
よって,∠A=144であり,大きい方の∠Aは360-144=216度です。
5つの円全部を足すと,2×3.14×1×216×5÷360=6×3.14=18.84cmとなります。

合計すると,25+18.84=43.84cmです。

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灘中学校2014年算数第1日目第6問
nada_2014_math_6q.png

解説


(1)
下図のようになります。
nada_2014_math_6a_1.png
中心をOとすると,ABO=18÷6=3です。
BE=2×AFなので対称性からGEはAFの半分でOGも同じになります(AからGに垂線を引くとわかりやすい)。
よって,ABG=ABO×3/2=4.5

(2)
下図のようになります。
nada_2014_math_6a_2.png

ABGを考える際には,ABはわかり易いので,高さがどの程度かが気になります(ここは(1)とおなじですね)。EDGの高さを求めればいけそうなので,CF=2DEよりCFGとEDGの相似によってEDGの高さは,ABOの1/3であり,ABGはABOの5/3倍です。よって5

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灘中学校2014年算数第1日目第5問
nada_2014_math_5q.png

解説


自分が初めてといたときの解答と,ふと電車で思いついた別解答を載せておきます。

まず,7回かけたもので最小は2×2×2×2×2×2×2です。同じ数を掛ける回数を数字の上に書く記法で行きます。つまりこれは27

(1)
この2達を他の数字に入れ替えて考えます。小さい順に
2を3に変更
2を4に変更
2を5に変更と思われるかもしてませんが,2×5>3×3なので間にこれが入ります。
よって,26×5=64×5=320

(2)
最大の素数が2,3,5,7,11,13のケースで考えればOKです。そしてその最大の素数が何回かかっているかも場合わけのように考慮します。


(i)13のとき
13,169に2をかけていくと
13×64=832。また,832は2を3に変えてもオーバーしてしまいます。
169の方は7回以上になるようにかけれません

よって最大は832

(ii)11のとき
同様にします。
11×64=704。また,704は2を3に変えてもオーバーしてしまいます。
121の方は7回以上になるようにかけれません。
よって704

(iii)7のとき
49×32>1000なので7は2個は含めません。

7×64=448
です。2を追加すると896です。ここから3以上への変更は無理です。
448に戻って,3の追加はできないので,2の交換を考えます。2で割ると224であり,3はかけれます。このとき,224×3なので,672です。さらに2を交換しようとすると336×3でオーバーしてしまいます。
よって,896

(iv)5のとき
53×23=1000なので,5は2個か1個です。

25×32=800であり,2を3と交換すると800÷2×3>1000でアウトです。
5×64=320なので,3まで追加でかけれます。このとき960です。

よって,960です。

(v)3のとき
3のかかった数によって分けて考えます。
3,9,27,81,243,586
2を可能な限りかけると,
768,576,864,648,972,586(掛ける回数もだめです)

(i)~(v)より972

【別解答】
2が少なくとも何個入っていなければいけないのかを考えます。
27=128であり,2を個々から減らす方針でいけば,2を2以外のものに置換していくことになります。
置換可能な回数は置換するものが小さいほど多くなるので,3で置換していくと2ができるだけ置換できます。
22×35=972
がそれに該当することがわかります。

つまりこれ以上は2は少なくなれないので,次に,35=243部分を大きくすることを考えます。
250を4にかけると1000になることから,244から250まで数字で,5個以上に分解できるものがあればOKです。

これらにそのような数はないので,初めに求めた972が答えになります。

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灘中学校2014年算数第1日目第4問
nada_2014_math_4q.png

解説


AとBを見ると,これらを使って他の不明なところを表しやすいものはBです。よって,Bを使って色々表していきます。

まず,18とBの間(コ列)は
38-18-B=20-B

19とBのオ列は
38-19-B=19-B
となります。

よってソ列は
38-10-(19-B)=9+B

エ列は
38-7-(20-B)-(9+B)=2

よって,セ列は
38-4-2-19=13

従って,カ列より
38-13-10=15=A

さて,いつも通りここからですが,同じ数字は出ない規則を使ってBを求めていきます。
まず,1≦9+B≦19より,Bは10以下の数です。

出ていない数字も考慮すると
3,6,8,9
に絞れます。このうちで20-B,19-Bおよび9+Bに入れて出ている数字になるとアウトです。
 
20-Bに入れたものは,
17,14,12,11
であり,8がアウトです。

19-Bに3,6,9を入れると
16,13,10
となり,3以外はアウトです。

よって,Bは3

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灘中学校2014年算数第1日目第3問
nada_2014_math_3q.png

解説


速さの比が進んだ距離の比になります。(指導者向けにいえば,内分点や外分点になるということです。)

(1)280
ABCがともに同じ地点Pで会います。わかっているACから求めてやると,
2100を140:160に分けるので,

140×2100÷300=980

がXからP地点までの距離(以下XPのように表記します)です。
さて,ZP:XP=B君の速さ:A君の速さなので,

ZP=980×100÷140=700

です。よって,XZ=980-700=280となります。

(2)11.25
ADの出会う位置はACのときと同様に,
XQ=140×2100÷320=7×7×3×25/4

BDも同様に,
XR=280+100×(2100-280)÷280=180+15×50=930

差をとると(XQ計算しなきゃダメみたいですね)
930-7×7×3×25/4=930-918.75=11.25

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灘中学校2014年算数第1日目第2問
nada_2014_math_2q.png

解説


平均値の問題は平均値との差異で考えます。

5つ全部の平均が61.6で最も大きい数を除くと60.5まで下がることは,小さい4数の61.6-60.5を最も大きい数が補完しているということです。
よって,最も大きい数は(61.6-60.5)×4+61.6=66となります。

同様に最も小さい数は,61.6-(63-61.6)×4=56となります。

さて,ここからが灘です。
56から66までの偶数をリストアップすると,
56,58,60,62,64,66
となり,6個になってしまいます。そのため,どれが除外されるのかを調べなければなりません。

4つのときの平均は4で割ったものなので,4で割った余りがどうなるかを考えてみます。順に
0,2,0,2,0,2
最も小さいものを除いた場合に63と整数になるので,合計が4で割れます。右端の66は固定なので,真ん中の3数の和が4で割ると2余るということです。よって除外されるべきは58か62となります。

5つ全部の平均でも同様に考えると,余り(3は2足りないと考えて-2とすると計算しやすいです)は
1,-2,0,2,-1,1
となります。56,60,64,66は固定なので計1,平均は61.6なので,61.6×5の一桁目は8より,2余る62が必要です。

よって,2番目に小さいものは60になります。

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灘中学校2014年算数第1日目第1問
nada_2014_math_1q.png

解説


ただ計算するだけなので変則な感じで解いています(普通にやった方がはやい)。

例えば,2/33と足して整数になるものは31/33とそれに整数を加えた数のみです。
よって,カッコ内は5/11に何かをかけたものになります。
つまり,26が整数であることを考慮すると□は11の倍数であることがわかります。

両辺を2で割ったもので考えます。
カッコ内を通分して足した分子の13×□-36は5の倍数であり,13×11=143なので,一の位に注目してあまりを考えると,□の候補は22,77,132あたりです(11に5で割ると2余る数をかけたものです)。
また,カッコ内の分母に7以外の数が入ると1/33の形にならないので,
□=36の約数×7×11
になります。これらを満たす□を順に入れていきます。

□=22なら13-36÷22=125/11であり,7/15とかけても分子に5が残ってしまいます。もうひとつの分数が5/33と分子が5で割れ,11と5は互いに素なので,6が5で割れなければ矛盾が生じます。よってダメです

□=77なら13-36÷77=965/77であり,7/15とかけても193/33となり,5/33と足して198/33=6で答えになります。

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灘中学校2014年算数
灘中学校2014年算数の解説です。完全に忘れていました。やたらとアクセス数が伸びていたので気づきました。センター英語で遊んでる場合じゃなかったですね。でも,明日はセンター数学とかが・・・まあ灘優先でやります。


1日目

個人的には5のいい解法が思い浮かばず,10も少し苦戦しました

2日目
第1問は連立方程式で解かすのはもったいない感じです。第2問は簡単,第3問は数えミスが怖い感じ,第4問はごく普通の組み合わせな問題。第5問は体積も比で求めたくなるとつらい展開。

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