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大阪大学2014年数学(挑戦枠)
大阪大学2014年数学(挑戦枠)の解説です。こんなのもあるんですね。難易度的には挑戦枠というだけあって,通常の阪大よりは難しい内容になっています。内容的には大学の数学をかじっていると,かなり有利な印象でしょうか。
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慶應大学医学部2014年物理第3問
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解説


電磁誘導の問題で,荷電粒子にかかるローレンツ力から考えさせる問題になっています。その辺の内容は基本ですが,最後の問4の消費電力計算が少し難しく,しかも最大最小は求めにくい関数になります。ただ,たまに見る関数の形なのでしっかりと求められるようになっておきたい問題です。

問1
①veB ②AからO
電子は負電荷なので,フレミングで言う電流は図1の右向きです。

③vB
電子が受ける力の釣り合いを式にすると,OAを正として,
-evB+(-eE)=0⇔E=-vB
大きさなのでvB

④vBΔr
”距離×電場に逆らって移動させる力”になるので,
ΔV=-E・Δr=vBΔr

⑤OPQRの面積
距離(L)×電場(E)なので面積になります。一般にVはEをrで積分したものです。

問2
まじめに釣り合いの式を立てると電子の質量mが関わってきます。とりあえず距離rの点での釣り合いの式は,
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となります。電子のmが与えられていないので,電気素量より十分小さいとして近似すると(問題文になんの情報もないことが不快です。電子の重さmは10-30kgぐらい,電気素量eは10-19ぐらいです。),E=rωBとなるので,

keio_med_2014_phy_a3_1.png

電位差は面積になるので,L2ωB/2です。

【参考】
因果関係が逆になりますが,導体棒に導線をつけてやって,回路内の磁束の変化量からVを求めても解けます。

(参考)問1
vLだけ面積が変わるので,BをかけたvLBが電位差です。方向はレンツの法則より例えば図1の左側に導線を持ってきていれば,上向きの磁束が減るので増やす方向,つまり導線中をAO方向(導体棒中をOA方向)に流そうとするため,Aが高電位になります。これをLで割れば電場が出ます。

(参考)問2
同様に考えれば,単位時間当たりに通過する面積はπL2・ω/2π=L2ω/2なので,BをかけたL2ωB/2が電位差です。方向もレンツで出ます。また,Lの位置ではなくrの位置につないでやれば,そこのOに対する電位が出るため,rで微分すれば電場になります。

問3
Oに対するAとBの電位を計算すると,OA=L,OB=L/2なので,Aは2倍,Bは2×1/22=1/2倍になっています。差をとると3/2倍です。

問4
回路図を作ると次のようになります。

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(a)
θ=πのときは4Rと4Rを並列でつないで,それに直列でRをつないでいるので,2R+R=3Rの抵抗とみなせます。
したがって,
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(b)9倍
Rが固定なので流れる電流で決まります。つまりコイル部分の合成抵抗が最小のとき電力は最大,最大の場合は最小となります。合成すると,
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となるため,コイル部分の合成抵抗はθ=0のとき最小値0,πのとき最大値2Rとなります。抵抗Rと更に合成するとそれぞれ,Rと3Rになるので,比の2乗である9倍が答えです。

(c)
(b)より,コイル部分の合成抵抗はそれぞれ2RとRであり,最終的な合成抵抗はそれぞれ3RとRとなります。既に求めた抵抗Rの消費電力から計算すると,それぞれ,
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となります。

(d)
(b)よりコイルの消費電力を求めますが,めんどくさいのでコイルの合成抵抗をR'とおきます。そして(c)によるとR'=0は論外だったので,R'≠0で考えます(変形の都合上)。
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使っているのは相加相乗平均です(一応微分しても出ます。トリッキーに思われるかもしれませんが,分母分子の片方に変数をまとめる定石と,a+1/aな形の定石から自然と出てくる発想です)。等号成立条件より,
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慶應大学医学部2014年物理第2問
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解説


衝突や連結された2物体については運動量保存則が成立するので,重心がどうなるかで考えるといいと思います。また,バネで連結している場合には,ばねの長さが相対位置の差になるので,定番の考え方を答えさせている問題でもあります。問題としては問2(c)と問3(b)が少しレベルが高く差がついたのではないかと考えます。また,現実的に問3(d)の数値計算は後回しでしょう(というか私自身,何度か確かめましたが間違ってるかもしれませんね)。

問1
力が加わらないので等速運動であり,先にBが壁と弾性衝突します。すると反発係数が1なので運動量が反転します。その後はAと衝突しますが,2物体の質量が同じなので速度の交換が起きます(反発係数と運動量保存で解いてもいいです)。そして,Bはもう一度壁に衝突して運動量がまた反転します。よって
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問2
(a)⑧,⑦
バネの伸びとかかる力の方向で考えるとわかり易いでしょう。Bに対するAの相対位置がバネの長さになるので,ここから自然長を引いたものがバネの伸びです。バネが伸びた場合にAは負向き,Bは正向きに力が働くことに注意すると,Aが⑧,Bが⑦です。

(b) ①,③
AとBをまとめて考えれば外力が働いておりません(運動方程式を足して,かかる力が0と考えるのと同値です)。よって,重心つまりxA+xBは等速直線運動します。

次に,運動方程式の差をとってみると相対運動の運動方程式が得られ(xA-xBの加速度はaA-aBです),通常のxに当たるxA-xBの係数は2kで重さはmのままなので,③の単振動になります。

(c)⑤
順に考えれば,まず,自然長でBが壁まで行く際にバネは何もしないので,そこまでは問1と同じです。Bが壁に当たった瞬間にBの運動量が反転します。つまり,この時点でAとBの運動量の和は0になり,重心は定点になる=AとBは真逆に動きます。
次に,ABの距離は縮んでいくので,そのうち逆方向になります。この際に相変わらず重心は動いていないので,AとBは単に巻き戻しのごとく運動します。Bが壁まで戻ってきますが,そのときの速さも初めの衝突後と同じなので(エネルギー的にロスがないので,バネを介した力のやりとりは弾性衝突と同じように扱えます),2回目の衝突後は逆向きに同じ速さ,つまり初めの速さで正向きになります。
このとき,バネは自然長なので(重心が動いていないためです),AとBはバネを介して力のやりとりをしません。

したがって,⑤となります。

問3
(a)⑥
万有引力を付け加えろという問題です。公式そのままでいいので⑥です。

(b)④
差に対してとあるので差をとり,近似で処理していきます(先に近似をとってもいいです)。
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(c)8×102 N/m
一見分かりにくいですがただのエネ保です。eVがエネルギーの単位になっていることに注意してバネのエネルギー保存則を使うと,
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(d)3×10-3 m
d=Lなので,
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3乗してこれぐらいになる数字を求めますが,3だとオーバー,2だと足りないため,分岐となる2.5の三乗を取ってみると,15.625となり,2.5より大きいことが分かります。したがって,3×10-3 mとなります。

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慶應大学医学部2014年物理第1問
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解説


基本的内容を公式どおり処理できるかを確認する感じです。ここで何問も落としているようでは合格は厳しいと思います。

問1 4.0×1014 Hz
原子分野のかなり有名な問題です。この分野は大体エネルギー保存と運動量保存です。エネルギー保存で考えれば(最大運動エネルギーをKとし,仕事関数をWとします),

hν=K+W

となるので,これを元に計算していくだけです(式の意味は左辺が与えた光のエネルギー,右辺が電子が飛び出るのに必要なエネルギーであるW分だけ消費されて,残りが運動エネルギーになったということです)。限界振動数はK=0でぎりぎり飛び出せる振動数なので,限界振動数をν'とすると,

hν’=W

となるので,この2式より,

hν’=hν-K⇔ν’=ν-K/h=6.0×1014-(1.32×10-19)/(6.6×10-34)=4.0×1014

問2 3.0 cm
”I=”の式に入れてみるだけのお仕事です。

I=I0e-0.46y=0.25I0
⇔-0.46y=log0.25=log(1/4)=-2log2⇔y=2×0.69/0.46=3

問3 1.6×10-7 W
Bqの意味を押さえているか否かが大きな分かれ目です。Bqは崩壊数/秒です。また,WとeVの変換ができない人も結構見かけるので,しっかり押さえておきましょう。

1秒当たりの崩壊数:20×1.2×104=2.4×105
アルファ線のエネルギー合計eV/s:2.4×105×4.2×106=1.008×1012≒1.01×1012
eV/s→J/s=W変換:1.01×1012×1.6×10-19=1.616×10-7

問4 ヒト方向に3m/s
うなりの公式→ドップラーの公式の流れです。まずはうなりから,

fA-fB=4⇔fB=444

うなりが聞こえなくなることから,ヒトが聞くA,Bの周波数が同一になります。つまり,音速をV,vの速度をvとすると(ヒト向きが正とします),

VfB/(V-v)=fA
⇔v=V-VfB/fA=336-336×444/448=336-333=3

問5
相同な回路を描いて考えます。極板に平行方向に性質が変わっていれば並列,垂直方向に変わっていれば直列として扱います。つまり,与えられている回路は次のようなものになります。εS/dが電気容量です。元の電気容量をCとしています。
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直列から並列という順に合成していきます。
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慶應大学医学部2014年物理解説
慶應大学医学部2014年物理の解説です。小問集合は簡単すぎるとして,それ以外も難問はありません。しかし,第2問2(c)はしっかり運動量で考えられなければ引っかかりそうですし,第3問4(d)はこのような関数の最大を求めたことがないと筆が止まるかもしれません。まあ慶應医受けるならそれぐらい求めたことありそうですけど。

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慶應大学医学部2014年数学第4問
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解説


出てくる図形はかなり有名なもので,少し見慣れないsin表記ですが,(3)までの難易度は並です。(4)の”き”は難しめで,sinを近似で表して上手いこと処理できるかが鍵です。

(1)

内接円といえば,ぐるぐるまわしって感じでものか,面積を二通りで表すことが良くありがちです。
∠BAC=2θとされていることに注意して,下図のようにぐるぐるまわしでいくと(今回は一周しませんが),
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【あ別解答1】相似な三角形
ADO∽AEBです。よって,
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【あ別解答2】面積
keio_med_2014_math_a4_5.png


最大値なので微分して0になる極値を考えます。例によってsinθをs表記します。式変換時には0<θ<π/2に注意です。
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これと境界の値を比較するか,概形を考えます。今回はθ=π/2のときが面倒なので(別解答の形なら一瞬で0です。)導関数の正負を考えれば,dsinθ/dθ>0なので,最高次数が正の三次関数のまん中の解は正から負に変わる点です。
よって,極大値であり,考えている範囲で連続なので,最大値です。

さて,このΣをとって行きますが,計算を簡略化するためにsのままで計算します。いうまでもなく|s|<1なのは利用します。
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(2)う
要するに図のようであり,マトリョーシカな感じです。新しい二等辺三角形の相似比がRの相似比になります。
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高さで考えます(計算はあ別解答の形の方が楽だと思います)。
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この構造はnとn+1でも同じなので,
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(3)

左辺が対数をとって微分しているだけなので,その通りにしてやります(三角関数は一文字で表記)。
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logが単調関数なので”=0”で符号を考えるだけですが,考えている範囲で-sinθcosθ<0なので,g(sinθ)の正負を逆転して考えることになります。
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これらの解が小さい方は-1より小さく,大きい方の解は0より大きく1より小さくなります(後者のみ載せておきます)。
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となり,同値変換が真となります。このこと,および,dsinθ/dθ>0であるので,大きい方の解でg(sinθ)は負から正になり,Rnの導関数はその逆の正から負になり,極大値となります。連続性より,この極大値が最大値になるので,
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(4)

そのまま書き出してやれば,
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√がある不定形なので有理化でしょう。
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まあ普通にSnを求めてみます。
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”か”の結果に置き換えても変わらないので,
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【き別解答】極限の値による置き換えを使わずに。
nに統一するかsinに統一するかで考えますが,sinに統一した方が楽です。
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として代入します。
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慶應大学医学部2014年数学第3問
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解説


書かれていることを忠実に式にしていけばいい問題です。注意すべきところは解と係数ぐらいでしょう。これができるとできないで大分点数が変わってきますが。

(1)あ い
mを求めろと言われているので,傾きmをつかって接線を表していきます。Pを通るので,
y=m(x-X)+Y
であり,これがCに接するので,連立させてxが重解という条件になります。
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Pが下に凸な曲線Cの下側なので,接点のx座標が小さい,つまり傾きが小さい方がm1となります。よって,
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(2)う え
これ系は解と係数の関係が使える可能性があるので,むやみやたらに計算しないことが鉄則です。mのまま計算していき,つまったら仕方なく代入する方針でいきます。まず接点ですが,重解なので軸となるのでx座標はmになります。接点の座標が分かったので,法線の方程式を連立させて解くと(分数が嫌いなのでy=ではなくx=の形で法線の式を立てています。),
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(3)
(i) お y=0
要するに傾きがπ/2ということは直交なので,積が1です。これも解と係数より,
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(ii)
同様に傾きで考えます。一定値αということなので,αについて考えてみれば2直線の角度の差です。tanの加法定理より,
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のXをx,Yをyで置き換えたものです。つまり双曲線の一部となります。

(4)
(2)を用いてPが(お)を動く場合で考えます。Rを(x,y)とすれば((お)よりY=0に注意),
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