ひたすら受験問題を解説していくブログ
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日本医科大学2014年数学解説
日本医科大学2014年数学の解説です。第1問はさくっといきたいところです。例年は第1問の小問集合以外は難しいのですが,この年度は第2問も第3問も比較的手がつきやすく,数学の出来が合否に影響したのではないのでしょうか。
私の体感難易度は,3≒2>1といったところでしょうか。

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合格報告2015
こっそりと今年の成果をご報告です。

【国公立】

【私立】
[医学部医学科]
慈恵医大 合格1名(内補欠繰上1名)
日本医科大 補欠1名 一次合格1名
昭和大 合格1名(内補欠繰上1名) 一次合格1名(内二次辞退1名)
東邦大 合格1名(内補欠繰上1名)
東京医科大 合格1名 一次合格1名(内二次辞退1名)
杏林大 合格2名(内補欠繰上1名) 補欠3名
北里大 合格1名(第4種特待) 一次合格1名
愛知医科大 合格1名(内補欠繰上1名)
藤田保健衛生大 補欠1名
金沢医科大 合格1名
川崎医科大 合格1名
埼玉医科大 合格3名(内補欠繰上2名) 補欠1名
福岡大 一次合格1名(内二次辞退1名)
岩手医科大 合格1名 一次合格3名
聖マリアンナ医科大 合格1名 補欠1名

[その他の学部]
理科大 理学部1名 理工学部1名

【その他】
防衛医科大学校 補欠1名

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東京慈恵会医科大学2014年数学第4問
jikei_2014_math_q4.png

解説


前半は簡単めなベクトルで落としてはいけないでしょう。後半は慈恵おなじみの回転体で,回転軸からの距離の大小を場合わけする良くありがちな問題です。慈恵受験生ならこれくらいなれて欲しいものです。

(1)
(i)
ベクトルBC=ベクトルAD,ベクトルDC=ベクトルABに注意してただ表していくだけです。まずMとNはそれぞれ,
jikei_2014_math_a4_1.png
BN上とDM上という条件を連立させます(当然係数は複雑な方が簡単になるようにします)。
jikei_2014_math_a4_2.png

(ii)
角度と言われているので内積のcos表現でしょう。AD,ABを成分表示で表し,それを用いてAD・AGと|AD|および|AG|を表すと,
jikei_2014_math_a4_3.png

(2)
z軸周りということはz=tで切った断面を出して積分するだけです。OB,OC,ADはz軸に垂直なので(z成分が同じです),辺OD,OA,AB,DCのみを考慮すればいいです。このうちODはただのz軸上,ABはDCをz軸に垂直な平面上をベクトルCBだけ平行移動させたものなので,実質OAとDCのみ考えます。それぞれのz=tとなる座標はt/3√2倍すればいいだけなので,それぞれP,Qとすると,
jikei_2014_math_a4_4.png
したがって,ABとの交点(Rとします)は,
jikei_2014_math_a4_5.png
となり,断面図は
jikei_2014_math_a4_8.png
となります。まあこれを回転させるとして,お決まりの長さが最長の位置が変わるかをチェックします。O'R>O'Pはtの範囲的に自明なので,QとRのみチェックすればいいです。
jikei_2014_math_a4_6.png
それぞれの範囲で積分してやります(最後の左の積分は三角形の面積で計算してます)。
jikei_2014_math_a4_7.png

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東京慈恵会医科大学2014年数学第3問
jikei_2014_math_q3.png

解説


sin,cosは条件付2変数(単位円上の点)として捉えることができ,その処理をどうすればいいかが課題となります。
本問では与えられている形がそれぞれまとまった単位になっているため,そこをひと括りにいくと楽です。普通に微分してってもsinx+cosxの値までは分かるので,結局そこからsinxcosxの値を上手く表す必要が出てきます。

(1)
sinx+cosx,sinxcosxの一方を他方で表してやれば文字数が減らせます。”前者の2乗=1+2×後者”なので,前者をtと置くと,
jikei_2014_math_a3_1.png
とただの2次不等式になります。
(i)b≧0のとき
最大値は境界にしかならないので,境界の値がともに負ならばOKです。上式の中辺をf(t)とすると,
jikei_2014_math_a3_2.png

(ii)b<0のとき
最大値は頂点もしくは境界の値なので,頂点がtの定義域にはいる場合を考えます(入らない場合は(i)とおなじ条件です(ii-i)とでもしておきます)。頂点が範囲内より,
jikei_2014_math_a3_3.png
このとき,2解を持ってはならないので,判別式は0以下です。
jikei_2014_math_a3_4.png
となり楕円になります(ii-ii)。

(i)~(ii)より
jikei_2014_math_a3_5.png

(2)
お決まりどおりkと置いてみます。その際にa,bによらず必ず通る点はチェックしましょう。
jikei_2014_math_a3_6.png
となり,厳密には除外される点ですが,点(-4,-1)を通ることが分かり,傾きkがどの範囲に収まるかというだけです。楕円に接する場合が最小(b=a/4と楕円の交点より点(-4,-1)の方がyが小さいので明らかでしょう)で点(0,2)を通る場合が最大です。楕円に接する場合,重解かなんかで適当に求めればいいとおもいます(途中の変換は判別式を計算しやすくするために複雑な係数の方を簡単にしています)。
jikei_2014_math_a3_7.png

最大は点(0,2)を通る場合なので代入すれば3/4となります。したがって,
jikei_2014_math_a3_8.png

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