ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2008年前期数学第3問
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解説


正八面体の性質を押さえて置けたか,置けていない場合には力業で回転の処理できるか否かが鍵です。また,(1)の意図として真上から見た図で考えることと断面を考えることは同じであるということに気づけたか否かに尽きます。

(1)
正八面体は球に内接する図形で,(2)にあるように対面が平行になっています。また全ての面は正三角形であり,正八面体をA-BCDE-Fとした場合にBCDFは正方形です。
これを踏まえると,一つの面,つまり正三角形は球に内接しており,言い換えれば円に内接しているといえます。外接円の半径は内接している三角形によって決まり,平行な面は合同な三角形なので,同じ半径の円に内接しています。つまり,真上から見た場合に同一円に内接しているように見えます。また,これら2つの正三角形の辺のうち一組の辺は正方形の向かい合う辺であり平行です。以上から,2つの正三角形の図は下図左の様になり,頂点間を結んでやれば下図右のように見えることがわかります(全体としては正六角形です)。
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【別解答】回転による解法
図形的な性質から攻めるのが苦手な人は座標がわかり易い配置から回転させてやればよいと思います。正八面体をA-BCDE-Fとし,正方形部分をAをx軸正上,Fをx軸負上,BCをy軸に平行かつz軸の正の部分と交じるように取ります。このとき,正八面体の重心が原点にきていますが,OB=OAであることから,各座標は簡単に求まります。計算の都合上,一辺を2とすると,
A(√2,0,0)
B(0,1,1)
C(0,-1,1)
D(0,-1,-1)
E(0,1,-1)
F(-√2,0,0)
さてこれらを回転させてやりますが,対称性を考えば,AとBの回転のみ考えればいいでしょう。回転角は下図のθです。
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したがって,A,Bの回転後(A',B'とでもしておきます)はy軸にはまわさないので無視してやると(行列でやっていますが,新課程の人は複素数でいいです),
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となります,表記しやすいように倍率を√3倍した座標は,
A'(2,0,√2)
B'(-1,√3,√2)
C'(-1,-√3,√2)
D'(1,-√3,-√2)
E'(1,√3,-√2)
F'(-2,0,-√2)
となります。これをz座標無視して配置してやればいいので,
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(2)
回転軸に沿って積分して行きますが,同一円に内接する二つの正三角形の重心は等しいので,問題文で言う真上方向(z軸とします)が回転軸であり,その断面を考える際に(1)で描いた投影図で考えます(断面も投影図もどちらも回転軸方向の成分を無視したものになっています。)。
正八面体の中心を原点とした場合,原点から面への距離は外接球の半径と正三角形の外接円の半径から三平方で求まります。外接球の半径は正方形に内接する半径に等しいので,1/√2です。外接円の方は正弦定理より,1/2sin60°=1/√3です。したがって,面までの距離は1/√6になります。
積分の対象ですが,(1)の正六角形の辺上を点が移動していくだけです(どの辺の距離も対称性から同じです)。z=tのとき,(1)解答の右上の点をA,左上の点をBとし,AB(x軸に平行とします)の中点をMとすると,A(1/2√3,1/2),M(0,1/2)なので,求めたい点のx座標は1/2√3×t/(1/√6)=t/√2となります。よって,
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灘中学校2015年算数第2日目第3問
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解説


余りについて聞かれているので,余りのみに着目してやればいいです。つまり,余りのみで考えた場合には0も5も同じ扱いができるということです。

(1)
(あ)
アの袋で何が出ようがイを上手く選べば5で割れるようにできます。5で割りきれるカードだけ2種類あるので,それが出る場合には2倍してやればいいです。よって,4+2×2=8通りです(初めの4がアで1,2,3,4が出る場合,2が0,5の二通りで,アとイともに2通りなので,2×2です)。

(い)
(あ)との違いは,アで選んだものに対して選んでやるイが異なることです。0余るカードと組み合わせるものは1余るカードなので,それだけ別で考えます。よって,3+2×2=7通りです(初めの3がアで2,3,4が出る場合,2×2がアもしくはイで0,5が出る場合で,そのときの相方は1です)。

【別解答】
5で割り切れるもの以外に場合の数の違いはないので,全体から5で割れるものを引いて,それを4で割れば出ます。全体は6×6=36であり,36-8=28となり,4で割ると7通りです。

(2)
(1)が二つだったので,二つごとに組にして考えてやります。アイをセットにしてやると,(1)のように5で割れる場合は8通り,それ以外はそれぞれの余りが7通りです((1)では1余る場合を聞いていましたが他も同じです)。
したがって,(1)(あ)と同様にすれば,4×7×7+8×8=260通りです(4が余り1,2,3,4の4通り,7×7がアイとウエのそれぞれの余りになる7通りを2回かけたもの,8×8は5で割れる場合です)。

(3)
(2)と同様にいきたいので,(2)(い)的なものを求めます。(1)(い)の別解答のように全体から5で割れるものを引いて4で割ります。(6×6×6×6-260)÷4=259通りです。したがって,4×259×7+260×8=(28+8)×260-28=9332通りとなります。

なお,259通りを求めないで,(6×6×6×6-260)×7+260×8=6×6×6×6×7+260=9332とした方が早いです。


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灘中学校2015年算数第2日目第2問
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解説


3つの成分の比のみ与えられているだけなので,そこそこ複雑な問題です。固定であるものに着目してやると大分すっきりします。(3)は少し難易度が高いです。

(1)
Bは変わらず,Aが加えた後に同じ量になったので,元の液体のBとAの差,つまり,30-10=20が加えたAの40gに相当しています。よって,全体は5倍の200gで,全体は240/200=6/5倍になっているので,濃度はその逆数倍になります。
x=30×5/6=25
y=x×2=50
となります。

(2)
変わらないCに注目してやると,2/3になっており,もしAではなく水を加えていたとするならば,45×2/3=30になってなければなりません。つまり,混合後の50-30=20が加えた120gのAに相当します。したがって混合後は120の5倍,つまり600gとなります。もとはその2/3倍なので,400gです。
ここまでくれば比でやっても実際の量を求めても大差ありません。600×0.3-400×0.25=80gが加えたBです。

(3)
例えば10%の食塩水100gと20%の食塩水150gを混ぜた場合,量の比が2:3なので,新しい濃度と元の溶液の濃度の差は逆比の3:2になり,16%の食塩水が出来上がります。これを踏まえて,成分Aの濃度変化に注目してやれば(B,Cでもいいです),
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これらの比は上下で異なるので,その対応が分かると楽になります。上の2×aは24で下の2×aは15なので8:5です。つまり,液の量はその逆比の5:8であり,この差3がaに当たる量です。そうすると,5-3=2が100gに相当します。したがって,3に相当するaは150gとなります。成分Aの比率を上のほうで見てやれば,a:100=3:2なので,12×5/3=20%だけ元の溶液と差があることになります。つまり,30+20=50%となります。

Cに関してもa加えたときに12増えているので,同じく10+20=30%となり,残りのBは100-50-30=20%です。
つまり,(50,20,30)となります。

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灘中学校2015年算数第2日目第1問
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解説


(1)の誘導を上手く使って処理できるかに尽きます。

(1)
3cm押し下げても水位が上がらないように水を抜いてやるとするならば,物体Aの3cm分だけ水を抜いてやればよいことになります。これを後から容器に注ぎ直すことを考えます。

まず,物体Aと物体Aを入れた後の水そうのそれ以外の部分は,7:10-7=7:3です。よって,Aの3cm分は逆比をとってやることになるので,残りの部分でいう7cm分に相当します。これが水そうの目盛りの水位上昇分になります。
一方,物体Aの目盛りでは3cm沈めて,水位が7cm上がっているので,合計10cmの位置にくることになります。

(2)
(ア)
(1)の比をそのまま使います。物体Aで30cmということは,その7/10だけ水位が上がっています。よって30×7/10=21cm水位が上がっており,これで50cm丁度なので,元は29cmです。

(イ)
水そうの目盛りが50スタートで,これを29cmまで戻すということは,21cmだけ水位が下がることになります。(1)の逆の操作になることに注目すれば,21×10/7=30cmだけ物体Aの目盛りが下がったことになるので,50-30=20cmとなります。

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東京大学2008年前期数学第2問
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解説


コツコツ漸化式を立てるだけです。その際に対称性を利用することと,初めてという条件をどう表すかぐらいが鍵でしょうか。正直ぬるい問題です。

(1)
あり得る状況としては,白4,白3黒1,白2黒2,白1黒3,黒4です。対称性から白4と黒4,白3黒1と白1黒3はそれぞれ同じ確率となります。よって,n回後に白4または黒4である確率をan,白3黒1または白1黒3である確率をbn,白2黒2である確率をcnとして,全て同じ色になった後は変化しない(初めてということは一回なった後の変化はそれ以降考えても無駄です。なっている確率の差分が新規になったものです。)とした場合に次の漸化式が立てられます。
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となります。ここで,b0=0,b1=1であることに注意すると,求めたい確率をpnとすると,
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(2)
同様に処理します。少ない方の枚数が0,1,2,3の順にa,b,c,dを割り当てると,
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灘中学校2015年算数第1日目第12問
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解説


作図が少し複雑になる問題です。まとまり別に描いてやるとわかり易いかもしれません。

一度に全部描いてもいいですが,分かりにくいのでまずは下4つの影を描いてやります。問題中の壁がスライドしていくイメージで作れば東西方向の二つの壁で作図してやってつなげばいいとわかります。
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これの実線で囲まれた平行四辺形2つで求めると面積が求めやすく,2×4+2×3=14です。

次に高くなっている部分の作図をしてやると,
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はみ出ている部分は良く見えませんが平行四辺形とものすごく小さい三角形からなります。その部分のみ拡大してやると下図のようになっています。
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この小さい三角形の高さは,縦横それぞれ1の点から横に4進んだ点と,縦に6の点の差になっているので,影の縦横比から1+4×4/3-6=1/3です。したがって,横は1/3×3/4=1/4です。

以上から新たに追加された濃い色の部分は,1×2+1×3+1/2×1/3×1/4=5+1/24となります。

はじめの薄い部分とあわせると,19と1/24となります。

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灘中学校2015年算数第1日目第11問
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解説


正直こういう灘というか中受の空間把握能力って意味ないとおもうんですよね。どうせ中受以外に使わないし。まあ私が苦手なだけですけどね。

とりあえず組み立てると,直角マークがあるところが正六角形の一つの頂点に2つ来るので,そこの高さ方向の辺は正六角形に垂直になり,高さそのものになります。あとは区切りのいいところで分割していきます。下図左の赤い線で立体を分断してやると,中央が4つ,右が2つできます(aは一辺4cmの正三角形の高さ)。
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一辺4cmの正三角形で高さ4cmの三角錐の体積が1/6×4×4×aであることを考慮すると,中央は1/3×4×2×aであり,等しくなっております。右の方は1/2×4×4×aであり,三角錐の3倍です。

したがって,中央が4つに右が2つなので,4+3×2=10倍となります。

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灘中学校2015年算数第1日目第10問
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解説


良くありがちな補助線としてある辺の平行に引くというものがあります(まあ,私は読者の方に言われるまで気づきませんでしたが)。平行に引くと同じ角度が作りやすいので,簡単に相似な三角形を作ることができます。

AEを求める場合にはAEを含む三角形を考えるか,長さの分かっているACから引くことを考えてECを求めることを考えるかになります。ECを含む三角形はEBCとEDCの2通りがありますが,引いた後の情報量を考えると,EBCと相似な三角形を作るDを通ってBCに平行な直線を引いてあげる方が良いようです。
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ACとの交点をFとすると,△EBC∽△EDFです。また,∠CFDも60°となるため,△CFDは一辺5cmの正三角形になります。したがって,相似比は3:5であり,ECはFE=5cmの3/8です。よって15/8となります。つまりAE=AC-EC=8-15/8=49/8が①の答えです。

△CFDは一辺が5cmなので一辺1cmの正三角形の25倍です。直線AC上の辺を底辺とすると高さは△AEDと共通なので,△AEDと△CFDの比は底辺の長さだけで決まります。よって,△AED:△CFD=AE:FC=49/8:5なので,△AEDは一辺1cmの正三角形の25×49/8÷5=245/8が②の答えです。

【別解答】
相似な三角形をそのまま見つけようとしても上手くいきません(多分)。与えられている角度が有名角なので,このような場合には垂線を引いてやれば比で長さが求まります。

求めたいものがAC上の話なので,ACに対する垂線をBおよびDから引いてやります。拡大したものを下図においておきます。
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60°直角三角形は正三角形の半分なので,CH=BC/2=3/2,CI=DC/2=5/2です。したがって,HI=CH-CI=1となります。さてここで,△BHEと△DIEは相似になっているので,IE:HE=BH:DI=BC:DC=3:5です。つまり,EはHIを3:5に分けている点になります。

よって,EH=HI×3/8=3/8となり,EC=CH+EH=15/8となります。したがって,AE=AC-EC=8-15/8=49/8が①の答えです。

△AEDの面積はACを底辺とすると,底辺が1辺1cmの正三角形の49/8倍であり,高さはDIなので1辺1cmの正三角形の5倍です。したがって,49/8×5=245/8が②の答えです。

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灘中学校2015年算数第1日目第9問
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解説


回転によって作られる図形は一番遠いところまでを半径とする円になります(一番遠いところの長さが変わらなければ)。したがって,①では中心をAとする半径6の円,②は中心をBとする半径6の円,③は回転の中心が円アに沿って変わっていますが,常にアの弧からの距離が6になっているので,実質的にAを中心とする半径12の円になっています。④は②と同じで中心をCとする半径6の円です。

以上から,下図左の薄い色の部分の面積になります。ここでこの面積を求める際に重なりを除去しなければなりませんが,問題文に正三角形の2倍よりとあるように,右のように分けて考えます。
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濃い部分が正三角形の2倍なので,それ以外の薄い円の部分の面積を出します。半径6の円の部分の面積は180°+120°×2-60°=360°で円一つ分です(12の円からアは引くので,-60°しています)。半径12の円は60°なので,1/6ですが,これは半径6の円でいうと2/3に相当します(相似比を2回かけたものが面積比なので)。

よって,6×6×3.14×(1+2/3)=188.4となります。

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灘中学校2015年算数第1日目第8問
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解説


本年で第1問を除くと一番簡単な問題で,ノータイムでいきたい問題です。

円の中心から引かれた二辺は等しいので,二等辺三角形になります(△ACDと△BCE)。そのため,∠BEC=∠BCE=(180-ア)÷2=(180-22)÷2=79°です。
△CDEに注目すると,∠CDE=∠ADC=∠ACD=180-イ-∠BEC=180-27-79=74°です。
△ACDに注目すれば,ウ=180-∠ADC-∠ACD=32°


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灘中学校2015年算数第1日目第7問
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解説


これもすみません。方程式的な解き方しか思い浮かびませんでした。様々な情報が使いにくい形で入り乱れているため,図などにして整理してやると見やすいかも知れません。

時間の関係を,A先頭,A末尾,B先頭,B末尾について図で表してやります。図中のAt,Btはそれぞれの先頭が入ってから,末尾が入るまでの時間です。
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それぞれの実線部の時間はA先頭ならAの先頭がトンネルに入り始めてから出始めるまでの時間に相当するので,これに速さ秒速14mをかければトンネルの長さになります。Bの方でも計算して等式を立てれば,
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一方,109を表してやると,
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これら二つの式の差をとると,
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となり,①のトンネルをAの先頭が入り始めてから出始めるまでは32+Bt+11=64秒と求まります。

②はA,Bの車両がそれぞれ24×14と21×16,つまりともに336mになることから,一部でも重なっている時間は,二つの前者の長さ分を,互いに秒速14と16mで縮めていくので,(336+336)÷(14+16)=22.4秒となります。

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灘中学校2015年算数第1日目第6問
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解説


繰り返し単位の中に目的とする数字の並びがあるので,10をかけて左にスライドさせてやれば12位13位目に持ってこれます。

①は15位16位に83があるので,3つずらしてやれば12位13位目になるので,1000/43なら条件を満たしています。ただし,入れていい数字は42までであり,意味するところは1未満の分数をもってこいということなので,帯分数にして整数の部分を捨ててやります。
1000÷43=23余り11なので,11/43が条件を満たします。

②も同様に考えます。目的のものは9,10位に出てきます。3つ右にずらしていいですが,1000で割ってしまうと分母が変わってしまうので,繰り返している性質を使って左に21+9-12=18だけずらせばよいことになります。
まじめに割るのはめんどくさいので,①を利用します。10が18かかることを1000ずつに分ければ6回かけることであり,つまり(23×43+11)を6回かけたものを43で割った余りを求めればいいことになります。掛け算のあまりを考える場合にはあまりだけで計算しても良いので,11を6回かけたものを43で割ったあまりになります。
さて,11×11=121は43で割ると35となるので,35を3回かけたもののあまりでOKです。35×35=1225を43で割った余りは21なので,これと35をかけた735を43で割った余り,つまり4が答えになります。

【別解答】
多分解き方は正規のものではない気がしますが,繰り上がりも考慮しなければいけない場合,まじめに全部計算していたら骨が折れるので,およその数で絞り込みます。

小数第12位と13位を求めるので,1/43の14位を四捨五入した値,35を元に絞り込みます。倍数を順に取っていけば,
35,70,105,140,175,210,245,280,315,350,385
となります。四捨五入で繰り上げていることを考慮すれば,上記のリストより少し小さいぐらいになるはずなので,①の候補としては385の11が挙げられます。3488で計算してみれば38368となり,小数第12位と13位は83になることがわかります。よって,11です。

②も39なので140が候補でしょう。3488を4倍してみると,13952で該当することが分かります。よって,4です。


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灘中学校2015年算数第1日目第5問
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解説


二等辺三角形は底辺,もしくはその対角で場合わけしてやるとわかり易いです。


12個から3個選ぶので,12×11×10÷(3×2)=220通りありますが,直線に並んでしまうものは三角形にならないので引いてやる必要があります。一辺上に4点があるので,ここから3つ選ぶと4×3×2÷(3×2)=4となり,4辺あることから4×4=16通りが直線になってしまいます。

したがって,220-16=204通り


点の種類はA系統(ADGJの4個),B系統(BCEFHIKLの8個)があります。Aの場合,底辺がBL,CK,DJ,EI,FIの5通りがあり,A系統では5×4=20通りです。

Bの場合は,HJとEKの2通りがあり,B系統では2×8=16通りあることになります。

したがって,36通りとなります。

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灘中学校2015年算数第1日目第4問
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解説


未包装品の送り出しがまとめて送り出すタイプなので,区切りのいい6秒後とでは足りている計算だけど,途中で一時的に足りたなくなる自体が出ることに気づけるかどうかです。

0.5秒に1個包装なので,6秒では12個包装します。未包装の送り出しは6秒に5個なので,6秒ごとに12-5=7個ずつ減っていきます。800÷7=114余り2ですが,未包装品の送り出しの段階で残りが12個を切ると足りなくなってしまうので,12余るように6秒セットを2つ巻き戻します。このとき2+7×2=16だけ未包装品が機械に残っており,1セットは問題なく包装出来ます。すると未包装品が9になってしまうので,9÷1/2=4.5秒後に未包装品がなくなります。

よって,113×6+4.5=682.5秒後にとまります。


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灘中学校2015年算数第1日目第3問
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解説


かけて12で割れたということは,12の約数を二つの数に振り分けることを考えます。約数の振り分けとしては,(1,12),(2,6),(3,4)の3通りが考えられます。

(1,12)の場合
12の倍数を挙げていくと,12,24,36,48,60,72,84,96です。このうち60は入れ替えると2桁にならないのでNGです。これらのそれぞれに対して,Aを入れ替え前にするか入れ替え後にするかの2通りが考えられますが,48と84は入れ替えると同じなので,5×2+2=12通りあります。

(2,6)の場合
2と6の大きい方,つまり6の倍数で考えた方が効率がいいです。6の倍数は多いですが,入れ替えた場合に2の倍数になるためには,十の位が偶数です。リストアップしていくと,
24,42,48,60,66,84
となりますが,24,42,48,60,84は既に(1,12)の場合で考慮済みです。したがって,66の1通りになります。

(3,4)の場合
3で割れる条件は,各位の和が3で割れる条件なので,入れ替え前後で割れるか否かは変わりません。つまり,4で割れるものを入れ替えて3で割れるということは,結局入れ替え前は12で割れてしまい,既に議論済みです。

以上より,12+1=13となります。

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灘中学校2015年算数第1日目第2問
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解説


二つの製品の割り振りを間違えて,結果として重さが変わっているようです。材料Aの重さは間違えようが間違えなかろうが変わらないので,各製品でBの必要量がAが何倍になっているかを元に考えていきます。

1種類目の製品はA1kgあたりB2kgになり,使ったAの2倍の重さになります。一方,2種類目はA2kgあたり3kgになり,使ったAの3/2倍になります。よって,本来作る量は,A全体を1とした場合に,
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間違った場合の重さは,
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となります。この差つまり1/4が24kgなので,Aは4倍の96kgです。

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灘中学校2015年算数第1日目第1問
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解説


整数という指定もないので,割とまじめに計算していくしかないのでしょうか・・・

とりあえず大きい数は素因数分解して考えます。その際に,それ以外の分数に出ている数は約数の候補です(そうではないと四角の中身がとんでもない数になりがちですので)。2015=5×31×13と見事に左辺に出てくる数になります。
ここまでくれば逆算で計算していきます。
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灘中学校2015年算数
灘中学校2015年算数の解説です。相変わらずセンターと重ねるのはやめて欲しいですね。


1日目

個人的には7のいい解法が思い浮かばず,11,12も苦戦しました(空間認識能力がないのでしょう)。

2日目
個人的な体感だと1,3が簡単で,2,5が普通,4が難しい感じでしょうか。4は単に私が図形嫌いなだけかも知れません。

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東京大学2008年前期数学第1問
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解説


(1)はやるべきことが明らかなので取り組みやすいですが,(2)はこのような表現に慣れていない受験生にはきついようです。ただ,やっている内容は直線が作る領域に過ぎないので余り時間をかけずにさっくり解きたい問題になっています。

(1)
nのときの直線anx+bny=1上の点が移った先のx座標とy座標の関係式を求めたいので,点(X,Y)がどのような点(x,y)に移るかを求めて,XとYをxおよびyで表して代入すればx,yの関係式が得られます。fの定義より
todai_2008_math_a1_1.png

(2)
(1)で求めた漸化式を解いて一般項を求めます。下に上を代入して,
todai_2008_math_a1_2.png
以上から,
todai_2008_math_a1_3.png
nに関係無しに必ず通る点があれば作図がかなり楽になるので探します。nを消すようにすることを考えれば,y=-2xなので,
todai_2008_math_a1_4.png
となって,nによらず点(-1,2)を通ります。あとは傾きが変わるだけであり,傾きは
todai_2008_math_a1_5.png
と単調増加かつ-1に収束し,求める領域は全ての直線の上方になるので下図のようになります。x+y=1にはならないので,>でも点(-1,2)の右側におけるx+y=1は含まれることに注意すれば,下図のx≦-1の境界は含まず,-1<xの境界は含む領域となります。
todai_2008_math_a1_8.png

【別解答】行列による解法
直線l0上の点(X,Y)にfをn回かけることを考えれば,その点が移動する点を(x,y)とすると,
todai_2008_math_a1_6.png
要は一番右のn乗を求めればよいので,固有値を求めて対角化してやります,
todai_2008_math_a1_7.png

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日本医科大学2014年数学第3問
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解説


形をそろえるという基本的な手法をしっかりと適用できるかが鍵となる問題です。難易度は簡単めですが,こういう基本手法ができない受験生は多くいるので差は少しついたのではないでしょうか。

問1
(1)
多項式と指数関数の積なので,部分積分で多項式部分を微分していくことが定石です。その際にe-x2が積分できるように分けることに注意しましょう。
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(2)
同じような感じでやります。(1)と同じ形が出てくることに注意して,
nichii_2014_math_a3_2.png

問2
左辺の前半が積分で,後半が積分後であることが気持ち悪いです。なので,積分より微分の方が簡単なので,後者を積分型に直してやります(f(x)などの(x)は省略しています。)
nichii_2014_math_a3_3.png

問3
とりあえずf(x)にe-x2を入れることが素直でしょう。入れて計算するとe-2x2になってしまうので,Iと全く同じ形になるにはe-x2/2をいれればよいことになります(e-x2のままいって,最後に置換積分してやっても解けます)。
nichii_2014_math_a3_4.png

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日本医科大学2014年数学第2問
nichii_2014_math_q2.png

解説


パッと見わかり易い形だし,前の設問の利用の仕方も明示されているので,難易度は過去の日医にしては大分低めな設定です。また,ある設問で証明できなくとも,適当な値を入れて不等号の向きだけ決めてしまえば,次の設問に挑戦できるため,大問丸々の失点もしにくいようになっています。

問1
見るからに同じ関数の差なので平均値の定理が適用できます。左辺に適用すると(cはxとkの間の数),
nichii_2014_math_a2_1.png
x≧kのとき,証明すべき式の左辺も(x-k)も0以上(0となる,すなわち等号成立はx=k)なので,大きい値をかければ大きくなります。
nichii_2014_math_a2_2.png
一方,x<kのときは,証明すべき式の左辺も(x-k)も負なので,小さい値をかけると大きくなります。
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【別解答】
差をとって微分してやります。
nichii_2014_math_a2_4.png
これとf(x)が連続,f(k)=0,f'(k)=0より,x=kで最大値0をとるので,右辺の方が大きく,等号成立はx=kとなります。

問2
kの置き方は指定されており,logxの部分がlogaとかになっていると推測できます。係数もかけた上で式を立てると,
nichii_2014_math_a2_5.png

問3
sは問2の条件を満たしているので,それを使う問題だと考えられます。対数であることに注意すれば積は和になるので,問2の式にsを入れたものを全部足してやります。
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日本医科大学2014年数学第1問
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解説


基本的な問題ばかりな小問集合で,ここで落とすと厳しいでしょう。第2問はひらめき次第で早く終わります。

問1
(1)
ハート無し,つまりスペードのみから2枚選ぶ場合の数を,全場合の数で割ってやります。nC2÷9C2=n(n-1)/72

(2)
ハートが1枚,スペードが1枚の場合の数は,ハートの中から1枚,スペードの中から1枚選ぶ場合の数の積なので,9-nC1×nC1÷9C2=n(9-n)/36

(3)
不等式を作って適当なnを入れるだけです(整数なのでまじめに2次不等式を解く必要はないです。n(n-1)とかならn2ぐらいであたりをつけましょう)。
nichii_2014_math_a1_1.png
これをもう片方に入れてやるとそれぞれ,1/2と7/18となるので,後者のn=7が答えになります。

問2
(1)
ベクトルとして長さを求めてみると
nichii_2014_math_a1_2.png
BCも全く同様なので,BC=√2

(2)
ただ計算するだけです。
nichii_2014_math_a1_3.png

(3)
三角形ABCを底面だとすると面積は(2)でBA⊥BCなのでBA×BC÷2=1となり,Oから下した垂線の足をHとしてOHの長さを求めれば終わりです。OHは三角形ABCの面に垂直なので,BAに垂直かつOを通る平面(BAとの交点をPとします)とBCに垂直かつOを通る平面(BCとの交点をQとします)の交線となります。したがって,ABC上では下図の様になります(ABCは直角二等辺三角形です)。
nichii_2014_math_a1_4.png
OA=OB=OCよりP,Qはそれぞれ中点になっているので,ABCが直角二等辺三角形であることを考慮すれば,そこから各辺に垂直に引いた直線の交点HはAC上の中点になります。AH=AP√2=1,AH⊥OHなので,三平方によってOH=√(3-1)=√2となります。
したがってOABC=OH×ABC÷3=(√2)×1÷3=(√2)÷3

【別解答】ベクトルでOHを求める
OHはABC上なので,次のように表せます。
nichii_2014_math_a1_5.png
これがABCに垂直なので,ABとBCに垂直です。
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Cも同様に(BにとってAと実質変わらない点です)t=1/2となります。よって,
nichii_2014_math_a1_7.png

問3
2次方程式の2つの解と言われている段階で解と係数でしょう。解と係数の関係でおいて解いてみれば(sinθをs,cosθをcとします),
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2乗しているため同値ではないのでいれてチェックします。上の式に入れると,θ=2π/3のもののみプラマイが逆で不適なので,
nichii_2014_math_a1_9.png


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東京大学2008年前期数学解説
東京大学2008年前期数学の解説です。私の思う難易度順は3>5=2>6>1>4ぐらいな感じです。3は試験会場だとどの方法で行くべきか少し悩んでしまいそう(時間測って解いてみたのですが,ここだけ150÷6をオーバーしてしまいました)。5は整数問題の証明が得意なら瞬殺ですが,その壁を越えてない層にはきつそうです。2は遷移をきっちり整理できるかに尽きます。とっぴな発想はいらないので基本をしっかりできるか否かです。6も基本に忠実にいけば解けます。1は境界を含むか否か意外は普通でしょう。4は進学校の定期テストの方が難しいと思います。

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