ひたすら受験問題を解説していくブログ
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東京大学2002年前期物理解説
東京大学2002年前期物理の解説です。とりあえず要望のあった第1問だけ。


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早稲田大学教育学部2014年第4問
waseda_kyoiku_2014_q4.png

Q
早稲田大学2014年教育学部数学4番を解説して頂きたいです。
http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/14/w03.html
に解答および解説があります。
どうしてこのような発想に至るのかが良く分かりません。
解説よろしくお願い致します。


A
嫌です。河合塾の解答の発想と言われてもちゃんと読む気がしないので河合塾に聞いてください。適当に私が解いたので良ければ以下を参考にしてください。(流し読みな感じだと河合塾の(2)解答の発想は,(1)と,否定である最悪数と最良数それぞれk以下の時に,k2+1要素の数と関連がありそうってとこから考えていますね。ある意味鳩ノ巣原理的な考えですかね。最終的に最悪数×最良数以下ってとこに持っていきたいので,消す方向は最悪数以下を消していくか,最良数以下を消していくかの2択です。)

解説


定義されている良い部分集合がどういうものかしっかり整理できているか,帰納法で背理法な考え方をうまく使えるかが肝です。論証系なのに,息子をいじったり,顔にダイブされながらだと解けなかったので,この問題の(2)は難しいと思います。

(1)
まず良い集合は小さい方から並べると{a,ab,abc,abcd,・・・}のように,一つずつ新しい何か(互いに素とかは問わない)を掛けていったものになります。悪い集合ですがこっちは定式化が面倒なので適当でいいですが,互いに素な数の集合は悪い集合であることは押さえたいです(狭義の悪集合ともいうべきものですが,単純なもので話が済むほうが楽なので,こういった特殊で簡単な場合を考えるのがセオリーです)。

さて,素数からなる悪集合を縦に書いて,横が良い集合となるようなものを考えますが,一つの数が複数の列に出てきてしまうとややこしいので,そういった変な重複が無いように作ってやります(単純なものから試して,舌打ちしながら無理ならややこしいものに移っていくスタンスです)。わかりやすいものでは横は一番左に書いた最悪集合の要素の累乗にしてやるとかぶることはありません。そうすると縦横k×kのものができ,各行以外に要素数k以上の良集合は作れないので,最良数もkとなります。また,良集合の任意の2数は同時に悪集合に入れないので,各行から選べる数は1つということで最悪数もkとなり,これが答えになります。pは異なる素数たちです。
waseda_kyoiku_2014_a4.png


(2)
ここに書いてあった解答は間違ってました。もう生まれてきてすみません。

(3)
いままでk2うんぬんの話をしてきたので,2014を挟んでやると442<2014<452です。包含関係を考えれば,k2+mのような場合も,最悪数か最良数の一方はk+1以上になるため,理想としては両方ともk+1になると最小です。45×45に適当に埋めていき,空白行および空白列は作らないことを考えれば,(1)の手法で作れます(45の二乗までの要素数は入れられます)。
よって,45個の素数を1列目に書き(最悪数の確保),1行目は45乗まで書きます(最良数の確保)。残りのマス目は合計要素数が2014になるまで累乗を45乗未満で書いていけば終わりです。したがって,例えば以下のようなものです。pを素数たちとすると

A={p1,・・・,p145
   p2,・・・,p245
   ・
   ・
   ・
   p44,・・・,p4445
   p45,・・・,p4534

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京都大学2009年前期数学第6問
kyodai_2009_math_q6.png

解説

要望があったので単発で(2009年まとめてもいつの日かやると思います)。”√2が無理数であることは証明なしに用いてよい”→有理数部分と√2部分で係数比較,”すべてのn”→数学的帰納法(文字で置いているので漸化式パターン),二項定理の形,というあたりから大筋の解き方は丸見えです(見えていなければ演習不足)。あとはそれらをどう示すのかですが,この問題はそれが難しいように思えます。

(1)
とりあえず求めてみましょう。
kyodai_2009_math_a6_1.png
a2が奇数であることは,aが奇数であるためa2が奇数で2b2が偶数なので明らか,互いに素であることは,b2の約数は2,aの約数,bの約数の積になり,a2が2で割れないことからaの約数,bの約数の積となります。よって,約数d=da・dbとして割ってやると(途中で出てくるkは整数であることのアピールで,d’系統はd系統と対になる約数です),
kyodai_2009_math_a6_2.png
左辺はaでもbでも割れます。試しにaで割ってやると,
kyodai_2009_math_a6_3.png
となります。da≠1ならd’bは割れないので,分子の括弧内が割れることになりますが,括弧内第1項は割れるが第2項はa,bが互いに素なので割れません。同様にbの方も考えれば,da=db=1でd=1となり互いに素です。

(2)
奇数なのはn=kで仮定してk+1につなげます(これも後に述べる返し縫帰納法で行けますけどなんとなく普通に)。
kyodai_2009_math_a6_4.png
(1)と同じく第1項が奇数×奇数,第2項が偶数だからです(一応,bnがすべてのnで整数であることを示しとく方が無難ですが,漸化式的に自明と私は見なしています)。

次に,互いに素であることを示しますが,単純な積の形を見いだせないため,普通の帰納法では埒が明かない感じです(別解答参照)。そのため返し縫帰納法(勝手に命名しています)で示します(発想は(1)と同じ形にできることからです)。この帰納法は普通の帰納法で式変形が難しいときに考える手法で,n=k+1で成立すると仮定した場合にn=kを示すことが楽,かつ,例えばn=kで成立すればn=2kで成立のように飛ばし飛ばしでは証明できる,という2つの条件がそろっている場合に使える帰納法です。

つまり,1,2,4,・・・・・を証明し,そこから前に戻る形ですべて示します。4→3,8→7→6→5といった具合です。この手法自体は相加相乗平均の数学的帰納法による証明で有名です(logとって普通の帰納法でもいけますけど)。
(人によっては返し縫的な表現ではなく,kで成り立たなければk+1でも成り立たない→k+1つまりここでは1,2,4,8などで成り立つことと矛盾って書くかもしれませんね)

さて,本問題の場合,1,2,4,・・・・を示すのは(1)とほぼ同じです。ここでは(1)と別の方法で示しておきます。
kyodai_2009_math_a6_5.png
となり,この左辺はa2kとb2k最大公約数dで割れます。したがって,akとdはd≠1としたら公約数d’≠1を持ちます。ak=pd’として代入してやれば,
kyodai_2009_math_a6_6.png
ここで,d’はdの約数なので,a2kの約数でもあるはずで,また,akとbkは互いに素なのでbkはd’で割れません。つまり,上段の左辺は割れるのに右辺は割れなくなってしまい矛盾します。

したがって,n=kで成立していれば,n=2kでも成立します。

さて,返しパートに入ります。n=k+1で成立する場合を仮定します。もしakとbkに公約数d≠1が存在すると仮定すると(背理法です),k+1とkの関係式はak=Ad,bk=Bdなので
kyodai_2009_math_a6_7.png
となってしまい,()内は非ゼロであることからak+1とbk+1もdを公約数d≠1を持つため矛盾します。
したがって,akとbkは互いに素になります。

以上から,すべての自然数nにおいて成立しています。

【別解答】普通の帰納法
少しつらいですが,普通のでも一応いけます。
文字が多く,また積ではなく和の形なので文字を減らしてやります。このとき,AとBの共通な因数はpA+qB(p,qは整数)も割れることに着目して整理すれば,次のようにa,b,ak,bkを消した式が得られます。最大公約数をdとすればすべてdで割れます。
kyodai_2009_math_a6_8.png
aとb,akとbkの互いに素だという関係から,残りの部分がdで割れます(1,2の比較より第1段,2,3の比較より第2段,もともとの式より第3,4段です)。
kyodai_2009_math_a6_9.png
これだけではどうにもならないので,もう一つ前との関係を考え,式(6)で変換します(k→k+1がだめならk-1,k→k+1,それもだめなら1,・・・,k→k+1を考えてみるのは定石です。まあ,k-1の仮定は結局不要ですが。ちなみに本問を行列による変換と捉えておけばケーリーハミルトンで関係式をねつ造できるので,自然とk-1の時を考慮できます)。
kyodai_2009_math_a6_10.png
a系統がbで割れないことは数学的帰納法ですぐ示せるので(第2項が割れて第1項が割れないです),bkはdで割れます。(5)に入れれば,akもdで割れてしまうため,d≠1だと互いに素というものに矛盾します。

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京都大学2012年前期数学第4問
kyodai_2012_math_q4.png

解説


要望があったので単発で(2012年まとめてもいつの日かやると思います)。本問題は3乗根ではなく2乗根ならば,京大受験生はみんな解けてほしい問題でしょう。でもこういう場合,似た事項には似た解法が適用でき,そのための変換を考えられるか否かで差がついてしまいます。

(1)
√2の時と同じ手法で解けてしまいます。直接が難しければ背理法で,互いに素なp,qによってp/qと表したら矛盾する方針です。
kyodai_2012_math_a4_1.png
左辺は偶数なので,右辺も偶数です。したがって,pは2の倍数です。とりあえずp=2kとでもおいてやると,
kyodai_2012_math_a4_2.png
となり,今度は右辺が偶数となり,左辺のqが偶数となります。これはp,qがともに偶数となってしまい,互いに素なp,qと矛盾します。したがって,互いに素なp,qによってp/qと表せるという仮定が間違っている,つまり,2の3乗根は無理数だと証明できました。

(2)
多分こちらが本命でしょう。試しに√2を入れたときにx2-2で割れることを示すのならば,
kyodai_2012_math_a4_3.png
の余り部分が0であることを示すことになります。√2を入れるとx2-2は0になるので,a√2+bは0でなくてはなりません。ここで,使っていない条件である有理数係数を思い出してみると,数式の割り算の操作上,aもbも有理数になるので,√2が無理数であることからa=0,b=0が得られます。

さて,本題に同じ考えを適用してみると,
kyodai_2012_math_a4_4.png
となります。第1項が邪魔です(2次の時と同じように持っていくためには無理数は1つでなくてはなりません。無理数+無理数は有理数になることもあります)。邪魔な項を消すためには連立させる式を作らなければなりません(関連のあるものでもx,yのような全く別の文字として捉え,連立して消すことは結構あります。sinθとcosθを関係ない変数のごとく消してしまうとかありがちです)。3回かけると2になることを利用したいので,21/3をかけてみると,
kyodai_2012_math_a4_5.png
後ろの括弧内は正なので,前の括弧が0になります。21/3は無理数なのでa=b=0であり,連立方程式に代入してやれば,c=0となって余りが0であることがわかります。

【別解答】
連立して消していくことが思い浮かばなければ次のように考えてもいいです。ax2+bx+c=0をa(≠0)で割ったものをx2+2px+q=0とすると,この方程式は21/3を解にもちます(a=0のときは直ちにb=c=0なので省略)。したがって,±をどちらか一方だとすると
kyodai_2012_math_a4_6.png
のようになります。一番面倒なのは3乗根なので,3乗すると(表記上根号内をDとします。p,q,Dは有理数であり,√Dが有理数なら21/3も有理数になってしまうので,√Dは無理数です。)
kyodai_2012_math_a4_7.png
21/3は実数かつ無理数なのでD>0であり不適となります。したがって,a=0の時しか考えられず,b=c=0でもあるため余りは0で割り切れます。

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