ひたすら受験問題を解説していくブログ
京都大学理学部2016年特色入試数学第1問
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解説


三角形の面積を一個一個求めて和をとることは難しい問題です。このような場合には組み合わせてきれいになるペアを見つけるか,数え上げ方を三角形の成分ごとにしてやるかです。
本問では後者で行きますが,具体的なイメージをして頂くために,そのパターンで有名な問題を軽く触れておきます。

【参考】成分ごとの数え上げ==============================
「1から9の整数で作られる4ケタの整数の和を求めよ」という問題があった場合には,4ケタの数を足すのではなく,例えば2が各桁に何回出るかで考えるほうが楽です。ある位が2の場合には他の位の選び方は93通りです。したがって2はその位に93回出てきます。したがって,全桁を考えれば2×1111×93が2が和に占める部分となります。
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本問でも上記のように考えれば和をとることが可能となります。具体的には辺ごとに足してやることになりますが,そのように考えられる理由は次の通りです。
下図において,ABに注目して△ABCの面積を求めようとすれば,△AOB+△BOC+△COAになることがわかります。また,△ABDの場合には,-△AOB+△BOD+△DOAとなります。このように符号は変わるものの,各辺とOがなす三角形に分解してやることができます。どのような場合にプラスやマイナスになるかというと,ABに対してもう一頂点がCのようにO側にある場合にはプラス,Dのように反対側にある場合にはマイナスになります。
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さて,あとは上の参考で述べたように辺ごとに和をとれば求まります。ABがn分割された弧長のk個分の弦であるとき(kはn/2以下とします),O側にはn-k-1個の点があり,反対側にはk-1個の点があります。ここで符号を考えれば,前者はプラス,後者はマイナスなので,n-2k回だけ△AOBを足すことになります。△AOBの面積は1/2×sin2πk/nになるので,その積が△AOBが占める和の部分になります。

次は長さがkである弦が三角形として何回出てくるかですが,ABを一周回転させるのにn,ABC間の点の順列で6になり,合計6n回出現してきます(nが偶数の場合は円の直径も出てきて対称性が他とは異なるものになるので,2で割る必要がありますが,円の直径の場合には△AOBの面積は0なのでどうでもいいです。)。以上から求める面積はkについてΣをとってnの3乗で割ると(どの三角形も同じ確率です),
kyodai_2016_t_math_a1_2.png

limをとってやりますが,k/nが丸見えなので積分で求めます。
kyodai_2016_t_math_a1_3.png

最後の括弧はこっちでもいいですねってやつです。

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慶應大学医学部2015年数学第3問
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解説

一つの曲線に関する設問群ですが,()単位で独立です。(1)(2)が簡単めで,(2)が数学できる人も事故る可能性のある試行錯誤問題で嫌な問題です。

(1)
あ:
変曲点は傾きの増減が入れ替わる点です。つまり,f’’(x)の符号が変わる点(f’(x)が極値になる点です。)。したがって,とりあえずf(x)を微分していく必要がありますが,与えられているものが陰関数(y=f(x)ではなくF(x,y)=0みたいな関数)なので,yがxの関数であることに注意して微分していきます(本問ではy=の形に直してしまっても計算は楽です)。また,計算の都合上,s=1/p,t=1/qとしても差し支えない。
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{}以外の符号は固定であり,{}の符号が変わればよいことになります。xs/ytはyがxについて単調減少であることから単調増加で→∞となるので,t(s-1)とs(t-1)が非ゼロかつ異符号ならばOKです({}内にytをかけてx=0および1の場合の積が負と考えてもいいです)。したがって,
keio_med_2015_math_a3_2.png

【参考】変曲点の条件
変曲点では接線が曲線と交差すると捉えることもできます。まず接線は接点を(u,f(u))とすると,
keio_med_2015_math_a3_3.png

元の曲線のyと差をとります。途中で出てくるcはxとuに挟まれる実数(テイラー定理を使っています。平均値の定理でも代用することはできます)。
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したがって,x=uの近傍でこの符号がかわることは,f''(c)の符号が変わることと同値となります。

(2)
い:ただ計算していきます。
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【い別解答】
keio_med_2015_math_a3_6.png

う:
見るからに部分積分ですが,普通にそのまま部分積分してもいまいちな感じです(pが分数になっているため,うまいこと次数が対応しません)。試しに置換してみると(発想としては1/pではなく,pが次数となるようにするとp-1を作りやすいといったところでしょうか),
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下から三行目の変数変換は,無理やり1/(p-1)の形を作るために行っています。

え:
前の漸化式は,S(p,q)のp+qが一定の時に使える式になっているので,p+q=1+(p+q-1)と捉えれば,”い”の結果を使えるということになります。S(1,p+q-1)まで戻してやれば,
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(3)
お:
3乗根を3乗すると1乗になることに気付きたいです。あとは,式変形するだけです。
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ここまでくれば形が明らかに解と係数の関係です。
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この方程式が0≦t≦1で2解を持てばいいので,軸=1/2より,D>0かつt=0および1で左辺が0以上なら良いです。
keio_med_2015_math_a3_11.png

か:
”お”の方程式の解なので,
keio_med_2015_math_a3_12.png

き:
”お”の方程式の解なので,
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く:
直線lの直線の長さはx方向の√2倍なので,
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慶應大学医学部2015年数学第2問
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解説

慶応医お得意の確率漸化式です。操作をしっかりと理解して遷移図を書く練習さえしておけば本問は難しくないです。偶奇に分かれるなどのポイントは問題文中で教えてくれています。

(1)
(1-1)あ:1/2
球に対する操作は1個ずつ行われるので,pになるためにはqで±1の球を選んで0に移動させるしかないです。
したがって,±1の球を選ぶ1/2が答えです。

(1-2)い:2/3 う:(2/3)m
初めはともに0なので,球を取り除きさえしなければqになります。したがって,±1に移す2/3が答えです(い)。

球は取り除かれた後に戻ることはないので,球2つのもうひとつの状況(ともに0にない)をuとでもおいて遷移図を考えます。
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keio_med_2015_math_a2_2.png

偶奇で分かれることは,操作が球の位置の和に与える影響がmod2上で±1であることに気付けば漸化式を立てなくても出てきます。

(2)
(2-1)え:1 お:1/3 か:2/3 き:1/6
取り除かれるのは0の点にある球のみなので,rの状態になるにはpの状態から取り除かれるか,sの状態から移動してくるしかありません。また,sになるにはrから移動するか,qで0の球が選ばれて取り除かれるしかありません(遷移図略)。したがって,
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(2-2)く:m(2/3)m/2
先ほどの漸化式でsを消して,pをqで表せば,
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慶應大学医学部2015年数学第1問
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解説

基本問題であり,計算ミス以外でこれが解けなければ論外です。難易度は(2)>(3)>(1)の順です。

(1)
logの問題ではまず真数条件です。
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底が異なるのでそろえて整理します。
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(2)
絶対値で表されているものが何なのか理解できていると楽です。f(x)の方は全体が絶対値なので関数の負の部分をx軸で折り返しです。一方,g(x)の方はxの奇数次のみ絶対値なのでxが正の部分を折り返して偶関数化しているものです。
まずはf(x)の折り返しの有無で場合分けします。

(i)すべてのxでf(x)≧0の場合
つまり,
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の場合。基本となる関数ではf(x)もg(x)も同じなので,絶対値なしの関数の軸が正になっていれば,その頂点はg(x)にも含まれます。したがって,軸=-3b/2≧0です。以上から,-1/9≦b≦0。

(ii)f(x)<0なるxが存在する場合
この場合はf(x)の最小値は0なので,g(x)の最小値も0ならばOKです。偶関数なので0≦xのみで考えればいいので,
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極値か境界の値でしか最小値にならないので,g(0)=-b/4=0⇔b=0ですし,極値=0ならb=0もしくはb=-1/9となります(iと重なっているので必要十分性は不要ですし,境界の値は場合分けより除かれています)。

(i)(ii)より,-1/9≦b≦0が答えです。

(3)
積の形なのでとりあえず和積かなってところです。
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したがって,sin(2x-α)の部分が最大になればOKなので,範囲を考慮すれば,(う)は
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(え)は代入するだけです。
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慶應大学医学部2015年数学解説
慶應大学医学部2015年数学の解説です。簡単な問題と難しめの問題が入り乱れているので,落としてはいけないとこでしっかりとらないと合格点は厳しいでしょう。自分の体感難易度は,III(2)>>IV(5)>>IVその他=IIIその他=II>>Iという感じです(多分一般的にはIV(5)が一番難しいはず)。Iをケアレスミスではなく解けない人は受ける大学を間違っている感じだと思います。

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