ひたすら受験問題を解説していくブログ
合格報告2016
またこの季節が来てしまいましたね。

【国公立】

【私立】
[医学部医学科]
東京医科大 1次合格 1名
帝京大 合格1名
杏林大 補欠1名(セ利) 
岩手医科大 合格1名 1次合格 2名
金沢医科大 1次合格 1名
埼玉医科大 1次合格 2名
東北医薬大 1次合格 1名
聖マリアンナ医科大 補欠合格 1名
獨協医科大 1次合格 1名


【その他】
慶應大 薬学部 合格1名
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

慶應大学医学部2015年化学第1問
keio_med_2015_chem_q1_1.png
keio_med_2015_chem_q1_2.png

解説

基本的な問題しか出ていません。酒石酸がわかりにくいかもしれませんが,構造がわかるような名前も書いてくれているのでそれに従うだけです。

【A】
ア:アミノ酸
対義語には複合タンパク質という用語があり,糖,脂質,核酸,金属などと結合したタンパク質があります。

イ:コロイド
タンパク質はコロイドサイズです。また,以降の文で塩析について書いてあることからコロイドだと気づいてほしいです。

ウ:安定
コロイドが沈殿しない性質を安定性と表現します。

エ:塩析
少しの塩で疎水コロイドが沈殿することが凝析で,コロイド粒子の反対イオンで価数の多いイオンほど効率よく沈殿させられます(コロイド表面の反対イオンによる反発力を減らす効果が高い)。親水コロイドの水和分子を除去した後に凝析させることを塩析といい,水分子は大量にあるため,それを加えたイオンに水和させて奪うことは多量の塩を必要とします。

オ:浸透圧
一つ目の括弧では色々想定できてしまいます(血液量とか)。二つ目の括弧で浸透圧について話していることがわかります。

カ:半透膜
溶媒だけ通るので,溶媒の濃度を同じにする方向に溶媒が移動します(高校だと溶質の濃度を同じにする方向と表現されますけど)。水よりもイオンの方が小さいのに何故に水が移動するのか疑問を持つ人も多いですが,溶質は水和されているのでその水和水も含めると結構な大きさになっています。

キ:指示薬
よくわからない物質ですが,色が変化し,かつ,pHに続く他に用語が思い浮かばないでしょう。アルブミンは様々な物質につくことができ,物質の輸送を担っています。薬とかも運んでいるのは入学後に薬理学で学ぶと思います。

【B】
ク:Cu(OH)2
二価の銅は青や緑系です。水酸化ナトリウムを加えるとアルカリ金属,アルカリ土類金属以外はとりあえず一旦は沈殿します。その時は基本的に水酸化物で,銀と水銀あたりは酸化物です(イオン化傾向的にHの方がプラスになりやすいのでとれちゃうんですかね)。

ケ:還元性
アルデヒドは還元性のある基で,酸化されてカルボン酸になりやすいです。

コ:Cu2O
Cu2+が還元されてCu+になります。アルデヒド→カルボン酸の酸化数変化が+1→+3の+2で,Cuが+2→+1なので,アルデヒド:銅=1:2であり,アルデヒド:Cu2O=1:1です。

サ:2 シ:0
こいつらはアルデヒドの酸化が起こる塩基性下でもCuが沈殿しないように錯体を形成させる役割があります。それぞれの名前と化学式から書いていく事になります。
酒石酸の不飽和度は2であり,ジカルボン酸なら考えられる構造は2種類です。命名から直鎖で,2と3にOHだとわかるので図の左のようになります。
一方,クエン酸も不飽和度が3でトリカルボンさんなので他は飽和で,考えられるものは何通りかありますが,名称通りプロパンにつけてやればいいです。2にOH,他に全部COOHです。
keio_med_2015_chem_a1_1.png

酒石酸の光学異性体は対称性があるので4-1の3種です。

【C】
ス:2 セ:非共有結合電子対
電子対って”対”じゃなくて”個”で数えるんだっていうところが気になりました。正直なところ4個の電子と迷いましたが,後の括弧が電子対の方が少ししっくりくるかなって感じですがよくわかりません。
書かれている内容はただの電子同士の反発で構造が考えられるいつものアレです。

ソ:4 タ:水素結合 チ:4 ツ:水素 テ:2 ト:共有結合 ナ:2
水素結合はFONと結合したHのδ+と,FONのδ-(非共有電子対)が電気的に結合するものです。酸素には2つの非共有電子対があるので,二つのHが水素結合でき,Hは一つの水素結合を形成できることから,合計4つの水素結合になります。

ニ:減少
(c)
氷は水素結合によって隙間の多い構造をとっている。水になると水素結合の一部が崩れ,この隙間を埋めることになるため,体積は減少するから。


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灘中学校2016年算数第2日目第5問
nada_2016_math2_5q.png

解説

一番出っ張っている辺と辺同士を結んでやることに気付けたかと,差分でうまく考えられたかどうかです。

(1)

面の方向は縦横高さの3方向から逆向きも含めて見れるので,基本は6面です。これに新たにできる斜めの面を足してやります。作図すると,次のように同じ方向を向いた辺の内で最も出っ張っている辺同士をつなげてあげる感じになります。
nada_2016_math2_a5_1.png

濃淡で染めた3面が新しくできるので,面の数は9面になります。


次のように増加してるものはどう計算してもよいのですが,例えば次の4つに分けます。三角柱MNE-BCF,四角すいE-AMND,四角すいD-NEGL,三角柱DNL‐IPH(PはAの立方体におけるIの下の頂点とします。)順に体積を出していけば,
三角柱MNE-BCF=1×2÷2×1=1
四角すいE-AMND=1×1×2÷3=2/3
四角すいD-NEGL=1×2×1÷3=2/3
三角柱DNL‐IPH=1×1÷2×1=1/2
したがって,全体積はもともとの5も足すので,
5+1+2/3+2/3+1/2=7+5/6です。

(2)

(1)と同様というか,一つ足されているだけなので,(1)をベースに考えます。変化がある部分のみ描いてやると,
nada_2016_math2_a5_2.png

という感じになります。薄いDXYIがDGHIの代わりだと思えば,色が濃い目の4面分だけ増えているので,13面です。


正直めんどくさいだけな気もしますが,三角柱aGX-cRS,bYH-dTU,三角すいD-aGX,I-bYH,D-aXYb,I-DBPYに分けて考えます。
三角柱aGX-cRS+bYH-dTUは二つ合わせて1です(立方体の半分です)。
三角すいD-aGX,I-bYHは二つ合わせて四角すい相当で,1×1×1÷3=1/3
三角すいD-aXYb=1×1×1÷3=1/3
三角すいY-I-DBPY=1×1÷2×1÷3=1/6
したがって,追加された立方体の体積1も加えて,7+5/6+1+1+1/3+1/3+1/6=10+2/3となります。

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灘中学校2016年算数第2日目第4問
nada_2016_math2_4q.png

解説

交換したものからAを引いているので,交換による増減を整理できるかにつきます。

(1)
ある桁とある桁を交換するとどうなるかを考えます。例えば2と8ならば,2があった桁6増えて,8だった桁は6減ります。したがって,
6×(10000000-10)=6×9×1111110だけ増えています。2数の差が10になることはないので,1111110に当たる部分が1000で割れる必要があります。つまり,千の位より左で交換が起こることが必要です。6個の数字から2つ選ぶことになるので,6×5÷2=15が答えです。

(2)
37は素数なので,1111110にあたる部分が37で割れる必要があります。適当に何倍かしてみると(例えば1111110=111111×10なので,1の連続部分が37で割れる必要があり,37の7とかけて1になることから3が一の位の数です),3×37=111が得られます。1111のような場合には111×10+1のようになるので1が3の倍数個だけ続いているもの以外は割れません。

したがって,間に差が3,6個数字が入る交換が考えられます。
3差:(1,4)~(6,9)の6通り
6差:(1,7)~(3,9)の3通り
したがって9通りです。

(3)
差×9×(1が桁数差分)×10何個か
というようになるので,9はとりあえず36回出てきます。3の回数でいうと72回です。
差の部分が3で割れるのは差が3の時と6の時で,(2)より9通りあります。また,(1が桁数差分)が3の倍数になるのも同じときです(9の倍数にはなりえません)。

以上より,72+9+9=90です。

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灘中学校2016年算数第2日目第3問
nada_2016_math2_3_1q.png
nada_2016_math2_3_2q.png

解説

斜線部分がどこに行くかは頂点のみで考えます。位置を考える場合は縦と横を個別に光源からどれくらいの距離にあるのか考えてやるとよいでしょう。(3)は立体が少し想像しにくいので計算できなかった人もそれなりにいそうです。

(1)
斜線部分を反時計回りにALMNとします。Pから各頂点に直線を引いて考えてやります。PからALMNまでは高さ3cm分なので,ABCDから3cm下に行ったところで図のように各辺と重なります。

nada_2016_math2_a3_1.png

A'L'M'N'の上側の直方体から四角すい台ALMN-A'L'M'N'を引いたものになります。四角すい台はP-LMNとP-L'M'N'の辺の相似比が1:2であることから,P-L'M'N'の1-1/2×1/2×1/2=7/8倍です。したがって,直方体が立方体の半分で,P-L'M'N'が1/3なので,6×6×6×(1/2-7/8×1/3)=36×5/4=45となります。

【別計算】
作図までは同じです。光の当たっている所を平面MM'N'N,および,MNを含んでABCDに垂直な面で切って3分割します。MM'N'Nの右はNN'Dを底面とする三角柱で面積は立方体の1/2×1/2×1/2=1/8で,LL'Bを含むものも三角柱でさっきの半分1/16であり,残った真ん中の図形はMに集まる感じの三角錐です(底面は3cm×3cmの直角二等辺三角形)。したがって,その体積は1/8×1/2×1/3=1/(16×3)です。

以上から,6×6×6×(6+3+1)/(16×3)=45です。

(2)
解き方は変わりません。図のALMN-M'N'の図形が影です(DQ=6なのでQNのAD方向は6下がって3左なので立方体の角と一致します。などと縦横それぞれ考えていけば作図できます)。
nada_2016_math2_a3_2.png

平面MM'N'Nで切ってやれば,影の部分はANN'を底面とする高さABの三角柱から,M'に集まる感じの三角錐を引けばいいので,1/4-1/12=1/6です。したがって,光が通るところは6×6×6×(1-1/6)=180となります。

(3)
これも正直解き方はおなじです。いい加減にしてください。(3)だけでいいのではないかと思います。作図の都合もあり,M'は立方体の手前の平面上の点です。BS=4,N'R=3/2,UM'=1です(光源の位置がAD方向にAから2,高さ方向に4であることから比で計算できます)。
nada_2016_math2_a3_3.png

またもや平面MM'N'N(MWM'TN'NVは全部同一平面)で切ってやって,台形柱NN'RD-VTWC,三角柱BSL-VUM,三角錐M-VUM'に分けて考えてやります。
NN'RD-VTWC=(3+3/2)÷2×6×6=81
BSL-VUM=3×4÷2×3=18
M-VUM'=1×4÷2×3÷3=2
したがって,81+18+2=101です。

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灘中学校2016年算数第2日目第2問
nada_2016_math2_2q.png

解説

二日目ではこいつだけ小学生レベルです。まあ,全部小学生が解くのですけど。

(1)
グラフ1
平らになっている所がQになだれ込んでいるので,450秒でPQともに50cm埋められています。したがって,80cmになるのは8/5倍かかります。450×8/5=720秒です。

グラフ2
まず80cmになるところは,さっきと同じで,360のところがPQともに50cmなので,360×8/5=576秒です(右)。
グラフ1からPとQの時間比が出ます。50cm埋めるのにかかる時間は240:450-240=8:7なので360の7/15倍,つまり,168秒です(左)。

(2)
(1)よりP側よりQ側が埋まるほうが早いので,168秒の時点からB由来の水がPになだれ込みます。したがって,そこで増加具合が増しているグラフ4が正解で,縦軸は168×50/240=35cmで,横軸の左端が168秒です。

ABの水量でPの15cmを埋める時間を計算すればよいので,A,Bそれぞれの1秒当たりのPの増加量を(1)のグラフから出します。Aは50/240=5/24であり,Bは50/(360-168)=25/96なので,合計15/32になります。したがって,15÷15/32=32秒なので,168+32=200秒です(真ん中)。

全部は高さ×全体にかかる時間/Pにかかる時間÷1秒当たりのPの増加量なので,80×15/8÷15/32=320秒です(右端)。


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灘中学校2016年算数第2日目第1問
nada_2016_math2_1q.png

解説

参考にあるように2進数の問題ですが,規則をしっかりとらえていけば具体的なものに関してはどうにかなるかと思います。ルールが2個ずつであるところから偶奇がかかわってくることを読み取って欲しいです。

(1)
1周目は偶数だけ残って奇数が取り除かれていく事になります。2016÷2=1008なので,1周目は終わります。割り切れているので,2016が残って2の倍数が小さい順に並んだところからスタートです。したがって,2が除かれます。

(2)
1008回目の操作で2の倍数が小さい順に並んでおり,2周目は2の倍数だけど4の倍数ではないものが取り除かれていきます。操作枠がズレない限り(1,2,3,4,5だったら5は2で割りきれないので,1周目と2周目の境界で5,2,4に操作して2周目の奇数番目が残るように操作する枠がズレます),周数が上がるごとに残っていくものが割れる2の回数が増えていきます。
2016÷2=1008
1008÷2=504
504÷2=252
252÷2=126
126÷2=63
となっており,5周目までは2016が残されるため,操作枠のズレはありません。

1000=125×23なので(上の数字でかける回数を表します。2が3回かかっています),第4周目の125÷2=62・・・1つまり,63回目に除去されます。したがって,1008+504+252+63=1827回目に除去されます。

(3)
(2)と同様にいくと,2016は6周目の最後です。63÷2=31・・・1なので,1008+504+252+126+63+31=1827+126+32=1985回目となります。

(4)
6周目(1985回目)の操作で26で割れるものしか残っていなくなりますが,読み取り枠のズレが起こり,7周目では27で割れるものが除去されてしまいます。1985回目で26が残されており,もともと26から2016-25=1984=31×26が最後なので,7周目は15回の操作でピッタリ操作が1984を残すことで終わります。
つまり,64で割れるけど128で割れないもののみが7周目の操作で残っているので,①128,②64が答えです。

(5)
もはや残っているカードは26で割って,1,3,・・・,31としてもよいでしょう,更に詰めて1,2・・・,16としても同じです。16は24なので,最後まで残ります。したがって,これはもともと31×26=1984だったはずです。

【参考】2進数による一般解(高校生以上向け)
本問は2進数表記の一桁ずつを0か1か判別して除去していく問題です。初めは
1,10,11,・・・・,11111011111,11111100000
から一番右の位が1のものを除去していきます。
10,100,・・・・,11111011110,11111100000
となりますが,一桁移動してやれば,
1,10,・・・・,1111101111,1111110000
というようにまた連続した数の列として捉えることができるようになります。続けていくと,
1,10,・・・・,111110,111111
のようになり,ここで最後のものが取り除かれてしまい,操作枠が一つずれるので,のこった,
100,・・・・,111100,111110,10
こと
10,・・・・,11110,11111,1
からは末尾が0のものが除去されていきます。
1,11,101,・・・11101,11111
が残るので,1足して一桁移動してやれば
1,10,・・・,1111,10000
となり10000が最後に取り除かれることがわかります。

さて,ここで一般の場合に最後が何になるのか考えていきましょう。求めたいカードの数をmとする時,漸化式的に行けば,m=2kの時は(2aを二進数表記でa0のようにaになる二進数に0をひとつ加えたもののように表記するとします),
1,10,・・・,(k-1)1,k0
から一周取り除くと,
10,110,・・・(k-1)0,k0
となります。これは,m=kのカード列の全部を2倍しただけなので,最後のカードを求める関数をfとすると,f(2k)=2f(k)になります。

一方,m=2k+1の時は,
1,10,・・・,(k-1)1,k0,k1
なので,一周取り除くと,
110,・・・(k-1)0,k0,10
となります。これをひとつ0を取り除いて考えれば,
11,・・・(k-1),k,1
であり,k枚のカードで開始がずれているだけです。したがって,f(2k+1)=2 (f(k)=k),2f(k)+2 (f(k)≠k)となります。

f(k)=kを満たすのは,最後に自身が取り除かれるので,2で割り続けても最後にしか奇数にならないことになるので,2の累乗系統です。

以上より,例えば2016=25×(25+24+・・・+1)なので,f(2k+1)=2f(k)+2の漸化式を解いて,25×(26-2)=1984と求められます。
もっと一般的には,2進数の右の桁から処理してあげて,0なら2倍,1なら+2をして2倍なので,11010なら,
2f(1101)=2(2f(110)+2)=2(2・2f(11)+2)=2(2・2・2+2)=20
となります。左端の1と左端から2番目の1の処理のところで二つまとめて左端から2番目の位置で2,つまり左端から二番目を右端から数えた位置が2の指数部分になってしまうことに注意し(f(2k+1)=2 (f(k)=k)のことです),それ以外の1は出てきた位置が右端から何番目であるかが2の指数部分になります。

したがって,1が2以上ある場合は左端の1をとって2倍すなわち0を右端に足す。
1が1つのみならそれが最後なので,そのままが答えになります。

この結果を改めて2016=11111100000に用いれば,11111000000=1984が答えになることがわかります。

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灘中学校2016年算数第1日目第11問
nada_2016_math1_11q.png

解説

立体図形のくせに大分わかりやすい問題です。四角すいの体積を底面と高さから求められない時には,三角すいに分けて考えてやることは定石です。

AKGを通る平面で切ってやります。A-IKGと捉えれば,3×6÷2×6÷3=18となります。A-JKGについても同じなので,合計36になります(①)。

もはや図を描く必要はありませんが,次のようになります。
nada_2016_math1_a11_1.png

やることは①と同じで三角すいにRKGを通る平面で切ってR-SKGとR-TKGの体積を求めます。位置がわからなければならないので,RSKそれぞれ次の図で求めます(RについてはAB方向,SについてはFG方向,TについてはGH方向がわかればいいです)。
nada_2016_math1_a11_2.png

R:
BDはACの真ん中なので,BD-PはCK=3の半分の3/2になります。したがって,RKG:RP-BD=2:1より,KR=2/3×1/2×KA=1/3×KAになります。

S:KS=3/7×KSです。

T:KT=3/5×KJです(JHが4であるのはAIとGJが平行なので,同じ6横にずれると高さ方向に4ずれるからです)。

以上から,18×1/3×(3/7+3/5)=6×36/35=6×(1+1/35)=6+6/35 (②)

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灘中学校2016年算数第1日目第10問
nada_2016_math1_10q.png

解説

小学生的な解き方が思いつかなかったので,半ば中学生的な感じで三平方使って解いています(少し解放するだけで難易度ダダ下がりですね)。別解答では使わないでいっていますが,比が同じことに気付くかなんて運ゲーな気がします(一応,ABとCFは関係なさそうなのに比として出されているので,離れていても相似は疑うべきとも思いますが・・・)。

下図のようにBEの延長線上にCからの垂線の足Hをとります(図形っぽくしていますが実質座標で解いてます)。
nada_2016_math1_a10.png

△BCHとBDFの相似比より,CH=5/3×FD,FH=2/3×BFとなります(*)。
AB2:FC2=AF2+BF2:CH2+FH2=9:4
⇔4(AF2+BF2)=25×FD2+4×BF2
⇔FD=2/5×AF (①)

△ABCからABDとAFEを引いてやれば四角形の面積になります。ABD=3/5×ABCです(BD:DC=3:2より)。△AFEと△CHEの相似比がAF:CH=1:2/5×5/3=3:2であることからFE=3/5×FH=2/5×BFとなります。よって,AFE=2/5×AFB=2/5×5/7×ABDです。したがって,ABD+AFE=(1+2/7)×ABD=9/7×3/5×ABC=27/35×ABCとなります。ABCから引けば四角形の面積になるので,8/35倍です(②)。

【別解答】①三平方無し
(*から開始)△AFEと△CHEはBF:FH=AB:FC=3:2,かつ,∠AFB=∠CHF=90°なので相似になります。したがって,AF:CH=3:2⇔AF=3/2×CHとなり,AF=3/2×5/3×FD=5/2×FDなので,2/5倍です。

【別解答】②直接
FDCはABCの2/7×2/5=4/35倍です。CEF=3/5×CHF=3/5×4/9×AFB=3/5×4/9×3/5×5/7×ABC=4/35×ABCです。足すと,8/35倍になります。


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灘中学校2016年算数第1日目第9問
nada_2016_math1_9q.png

解説

回転して作る図形は中心から見た距離が最大と最小の円を考えてやればよいです。あと,中受で正三角形(今回は半分)が出てきた場合は基本的にその面積は求めないで打ち消せるはずなので,うまく対応する箇所を見つけてください。

まず回転してできる図形を描いてみます。フリーハンドで一気に書くことは少し難しいかもしれませんが,その際にはひとつづつ描いて合成するとよいでしょう。

nada_2016_math1_a9.png

一回目の回転で通るのが灰色の部分で,2回目の回転で追加して通るのが,黄色と緑の部分です。まずは灰色の部分ですが,△ABC+扇CAE-扇CBDー△CDE=扇CAE-扇CBDです。

黄色と緑色の部分ですが,ピンク色と黄色が同じ面積になるので,半径2の1/4円から半径1の1/4円を引いたものになります(Eを頂点とする△EDCの1/2の相似三角形を考えれば,半径が1ということがDC=2からわかります)。
したがって,

nada_2016_math1_a9_2.png

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灘中学校2016年算数第1日目第8問
nada_2016_math1_8q.png

解説

底辺×高さ÷2なので,底辺と高さを比で求めてやります。QRが求めやすそうなので,底辺とします。
QRは等脚台形CDEBの辺の中点を結んだものであり,BEはCDの2倍(六角形を6つの正三角形に分けて考えればわかります)であるため,その平均になるので3CD/2です。高さは次の図から求めます。

nada_2016_math1_a8.png

HRはQRとCDの差の半分なので,QHはCDの3/2-1/4=5/4倍です。HF:VFが3:1なので,△AHFと△UVFの相似関係からUVは5/4×1/3×CDです。したがって,PU=PT-(UV+VT)={3/2-(5/12+1/4)}CD=5/6×CDとなります。したがって,△UPS:△QRS=5/6:3/2=5:9となります。PQ間は正六角形を6つに分ける正三角形の高さと同じなので,1/6×3/2×9/14=9/56が答えです。

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灘中学校2016年算数第1日目第7問
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解説

境界となる条件を考えるとよいです。つまり,4回目が3回目および5回目よりOに近くなればいいのですが,いずれも境界は二等辺三角形になるところです。二等辺三角形になるようにして逆向きに角度を決めていくと図のようになります。
nada_2016_math1_a7.png

左端の二等辺三角形の上の角が5回目の場合は,1回目は13°になり,4回目の場合は1回目は35°になります。したがって,①35,②13が答えです。

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灘中学校2016年算数第1日目第6問
nada_2016_math1_6q.png

解説

発想が高度になりますが,桁がかかわる問題は桁の数字と10が何回かかっているかで考えます。
7777777777×7777777777=49×1111111111×1111111111
となりますが,111が100+10+1のように分けて考えられるように,1111111111も10が9回,8回・・・0回かけたものの和になっています。したがって,1111111111×1111111111から生じる数字は左から何回10がかかったものを使うかによって次のように場合分けられます。
0回(1×1111111111):10が0~9回のものが1回ずつできます。
1回(10×1111111111):10が1~10回のものが1回ずつできます。



9回(1000000000×1111111111):10が9~18回のものが1回ずつできます。

さて,A+Bを考える際には,上記の内で10桁を超えるものを10で10回割ってやればいいので,

0回(1×1111111111):10が0~9回のものが1回ずつできます。
1回(10×1111111111):10が0~9回のものが1回ずつできます(10回は0回になる)。



9回(1000000000×1111111111):10が0~9回のものが1回ずつできます(10~18が0~8回になる)。

したがって,全部同じなので10が0~9回かかった数字がそれぞれ10回出てきます(つまり11111111110になります)。しかし,ここで気を付けなければいけないことが,繰り上がりです。10を9回かけたものが10回出てくると10を10回かけたものになる上,49を掛けるのでさらに繰り上がりを考慮する必要があります。Bには10が9回のものは10回出てきており,8回のものは9回出てきます。これらを繰り上がり分は引いて,Aの方に加えてあげる必要があります。

49×10×(10が9回)は繰り上がって,Bから49×(10が10回)が無くなり,49がAに入ります。49×9×(10が8回)=441×(10が8回)では4×(10が10回)がBからなくなり,Aに4が入ります。
よって,11111111110×49-53×(10が10回)+53となります。11111111110×49は少し計算してみて規則性をつかみましょう(49の一つずれの繰り返しなので推測は容易です)。544444444390となるので,544444444390-530000000000+53=14444444443が答えになります。

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灘中学校2016年算数第1日目第5問
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解説

高校生と就活生なら瞬殺してほしい問題です。小学生向け問題で使うのは卑怯かもしれませんが,ベン図をつかってしまえば何のことない問題です。


2で割れるもの(一の位が偶数)も5で割れるもの(一の位が5か0)も7になることはありません。したがって,7になるものから3で割れるものを引いてやればいいです。
7になるものは,1から1000なので,十以上の位が0から99まで取り得るので,100個あります。3で割れるものですが,大体こういうものは繰り返しになるので書いてみます(関係あるのは一の位のみです)。
3,6,9,2,5,8,1,4,7,0,3・・・
(注:高校生的には3と10は互いに素なので10ごとに繰り返します)

したがって,3の倍数で一の位が7のものは1000÷3=333・・・1の333個の内で333÷10=33・・・1の33個あります。したがって,100-33=67個です。

【参考】不定方程式
高校生はこう解いてもいいです。というか灘受かる小学生ならこう解いてもいいです。
3x=10y-3⇔3(x+1)=10y ∴x=10k-1 , y=3k
1≦10y≦1000なので1≦k≦33となり,これがNGなものです。したがって,100-33=67


2,3,5,7は互いに素(同じ数字で割れない)なので,7で割り切れるものから2,3,5のいずれでも割れないものを求めます。7で割れるものは1000÷7=142・・・6なので,142個から2または3または5で割れるものを引いて求めます。このような問題では次のような図を描いてみるとわかりやすいでしょう。

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7で割れるもの:外枠=142
(A)2で割れるもの:①+④+⑥+⑦=71 (142÷2=71)
(B)3で割れるもの:②+④+⑤+⑦=47 (142÷3=47・・・1)
(C)5で割れるもの:③+⑤+⑥+⑦=28 (142÷5=28・・・2)
(D)2でも3でも割れるもの:④+⑦=23 (142÷6=23・・・4)
(E)3でも5でも割れるもの:⑤+⑦=9 (142÷15=9・・・7)
(F)2でも5でも割れるもの:⑥+⑦=14 (142÷10=14・・・2)
(G)2でも3でも5でも割れるもの:⑦=4 (142÷30=4・・・22)

求めたいのは外枠-(①+②+③+④+⑤+⑥+⑦)なので,外枠はおいておいて,1回しか入っていないものから考えていきます。1,2,3に注目して,ABCを足すと,
①+②+③+(④+⑤+⑥)×2+⑦×3
重複しているもののみを含むDEFを引くと
①+②+③+④+⑤+⑥
足りない⑦つまりGを足すと①+②+③+④+⑤+⑥+⑦になります(この辺は高校生以上にはすでに公式がありますね)。
外枠-(A+B+C-D-E-F+G)=142-(71+47+28-23-9-14+4)=142-104=38個です。

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灘中学校2016年算数第1日目第4問
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解説

ちょっとかわいいB君です。私自身ジョギングが趣味なのですが,張り合ってくる人ってホントにいます。さて,本問のポイントですが,境界となる状況を整理することと,面倒な状況は先に除去してしまうことでしょうか。

ちょうど2週差ということはA君がB君を2回追いついたところがちょうどゴールであったという状況はすぐ思い浮かぶかと思います。しかしながら,本問の肝はB君が張り合うため,A君とB君が同じ位置にいるのは一瞬ではなく30秒間(100m)もあります。したがって,2回目に追いつくのがゴールの100m前まで許されることになります。

以上の2パターンのB君の分速を出せばそれで終わりですが,計算する上で速さが変わると面倒なので,その時間と距離を除いてしまします。

(i)ちょうど追いつく場合
ゴールで2回目の追いつきになるので,開始と1回目の分を引いてやります。まず,全長はA君が9分なので1800mで,1周は300mですね。B君が安定して走っている距離は,2週分の600m,無理している200mを引いてやり,1000mとなります。残りの時間は8分であり,割ってやると,125m/分となります。

(ii)B君が力尽きるときにゴールの場合
(i)と同様に考えれば,3回分の意地張りを引けばいいので,1800-600-300=900mで考えます。時間は7.5分になるので,それで割ってやると,120m/分となります。

したがって,①125,②120が答えです。

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灘中学校2016年算数第1日目第3問
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解説

操作の結果起こり得る状況をしっかり整理できるかにつきます。一個の数字についてみた場合には起こり得る状況は次の3つです。以下はA目線です。

(i)A,Bともに選ばず→手元に残る
(ii)Aが選ばず,Bは選ぶ→Aの手元でダブる→手元に残らない
(iii)Aが選び,Bは選ばず→手元に残らない
(iv)A,Bともに選ぶ→ただの交換→手元に残る

以上を踏まえてAの手元に残った数字を見てみると,4,6はA,Bの少なくとも一方が選んでいるのにも関わらず残っているので,(iv)の交換になっていなければなりません。したがって,”う”は4であり,”あ”と”い”の一方が6です。
ここで少し詰まってしまうかもしれませんが,数字の残り方をしっかり上記の(i)~(iv)に当てはめてやりましょう。Bが選んでいるのは決定しているので,次のようにBの選んだものを基準に決定できます(*)。
(i)Bが選んでないものの内で残っているもの。
3,5,7,8

(ii)Bが選んでいるものの内で残っていないもの。
2,10

(iii)Bが選んでいないものの内で残っていないもの
1,9

(iv)Bが選んでいるものの内で残っているもの
4,6

”い”の方が大きいので,”あ”は9,”い”が6,”う”が4となります。

【参考】排他的論理和
本問題はの背景にはコンピュータでしばしば使われる排他的論理和(XOR)という考え方があります。
0 XOR 0 = 0
0 XOR 1 = 1
1 XOR 0 = 1
1 XOR 1 = 0
となりますが,a XOR b=cならばb=a XOR cとなります。解答の(*)でBと残っているか否かからAの手札を考えたのはこの性質を活用したものになります。

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灘中学校2016年算数第1日目第2問
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解説

よく見るタイプの問題です。変化のある部分を比較して考えていく事が定石です。

2本取り除くと2cm減るので,その2本7cm分が,水槽全体から5本分引いた面積(残りの面積とします)の2cm分に相当します。つまり,直方体の底面積=1/7×残りの面積です。
したがって,5本つまり5/7×残りの面積と,残りの面積を比較してやることになります。0cmから求めたい深さと9cmから求めたい深さまでが逆比になるので,
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灘中学校2016年算数第1日目第1問
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解説

どう計算しても簡単ですが,分母を約数に分解すると見通しが良くなります。その後は計算しやすい組み合わせを作ってやれば良いでしょう。
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となり36です。

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灘中学校2016年算数解説

1日目

10のいい解法が思い浮かばないので,中学生ぐらいの解法で解いてしまいました。図形って嫌いです。私の思う難易度順は,10>>11=6>9>8>7>5>2=3=4>>1といったところです。方程式等を開放していいなら,6>10>11=9ぐらいの難易度で大した問題はないです。

2日目
数学的な感じなのは1,4で3,5が空間認識力でしょうか。2はまさにただの算数です。図形を難しく評価しがちな個人的難易度は5>1>4=3>>>2といった感じです。

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慶應大学医学部2015年物理第3問
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解説

普通の台も動くだけの問題ですが,問題文による誘導がない上に,使える文字の制限も厳しいので,難易度は見た目より少し高くなります。

問1

水平方向には動摩擦しかかかっていないので,Ma=μmg⇔a=μkg


台に対するなので,台に対する相対速度で考えれば,初速0のPに小球をv0-vで衝突させ,これらの重さは同一なので速度の交換が起きるため,v0-vです。これは使ってはいけない文字なので,エネルギー保存則で求めます。台から見た保存則を立てると
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相対加速度が求められ,等加速度運動です。物体の相対加速度をAとでもし,相対速度をuとでもすると,
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さっき求めたtを台の床からの速度の式に入れると(最終的に0です),
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同様に物体の方に入れます。
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【問1別解答】床から見た場合
最終的な物体と台の速さが0であることに注目してエネルギー保存則と運動量保存則を連立させると
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問2

物体に働く垂直抗力の反作用が台の受ける力です。台から見て物体の運動方程式を立て,垂直方向が釣り合っている条件で解きます。慣性力-maが物体にかかっているので(aは速度にしちゃってます。また,例によってcosはc,sinはsで行きます),
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横方向の作用反作用より,
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相対加速度の比が-tanθになるので(力で考えると計算が面倒です),
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x方向の相対距離がLになることから,
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k→0です。計算が簡単になるので台から攻めます(物体はxとyを合成する必要があります)。等加速度運動なので,
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(a→0だけでもいい気がします)。

上記を踏まえてエネルギー保存則より,物体は運動エネルギーと等しくなります。


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慶應大学医学部2015年物理第2問
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解説

ただの簡単めなサイクロトロンの問題と,慶應おなじみの私には意味を感じ得ない謎原子の問題です。どうせ出すならガチな原子の問題を出せばいいのにと思います。

問1 イ
フレミング左手です。p1において考えます。正電荷なので電流はx軸正,受ける力はy軸負なので,紙面手前です。

問2 サイクロトロン
電場を周期的に変えるだけでいいですが,より高速にするためには半径がその分大きくなってしまうデメリットがある加速法です。
関連するものとして,ベータトロン(誘導起電力によって粒子を加速させます。粒子が回る半径が大きくならないように,回っている軌道の磁束密度と,その軌道内の磁束の増加の仕方を工夫をしています。),シンクロトロン(電場によって加速しますが,粒子が回る半径が大きくならないよう磁場も大きくしていきます。)が挙げられます。

問3
エネルギー保存則で求められます。求める速度をvとすると,
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問4
円運動なので向心力の式です。距離をdとすると,
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問5
向心力しか働かないので等速円運動です。
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問6
電場の領域を通るたびにエネルギーはqV増していきます。2k-1の点ではk回通っているので,運動エネルギーをKとすると,
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問7 1:18 2:8
電荷および質量保存で解きます。求めるものをxとすると質量保存より,1+x=18+1⇔x=18です。一方,電荷保存より,1+x=9⇔x=8です。酸素の原子番号から求めてしまってもいいです。

問8 90
ただの代入問題です。
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問9 6.0時間後
定義を知っているか否かだけな問題です。慶應ではよくこの辺出ている気がします。Bq(ベクレル)は1秒当たりの崩壊数,Gy(グレイ)は1kg当たりの吸収エネルギー量(J/kg)です(Svは生物に対する影響を係数としてかけたものになります。)。
半減期を考慮して時間tにおけるGyを出すと,
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慶應大学医学部2015年化学解説
慶應大学医学部2015年化学の解説です。IIIの4.(3)(ii)が難しめ(理解してない人も同じ選択肢になりますが,ちゃんと解くのは難しめ),IIの6.(2)(3)が少し難しめですが,普通に勉強していれば点につながる問題です。得意な人は高得点を狙っていきましょう。

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慶應大学医学部2015年物理第1問
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解説

小問集合です。用語みたいなのをおいておくとして,問3,4,5あたりは誘導がないけれど,他の大学では何問か挟んで問われるような内容であるため,それほど簡単かというとそうでもない感じです。

問1 2
ダイオードはpn接合の素子で,nからpのホールに電子が入る際にエネルギー差があるため,その分のエネルギーを光として放出することになります。LEDは可視光を出すタイプのダイオードです。

問2 3
一見わかりにくいかもしれませんが,原子分野で電子の遷移が可視光からX線,電子の物質波がX線,原子核の遷移がガンマ線程度であると学んでいるはずで,電子を原子に当ててX線が出る実験(特性X線,連続(制動)X線なんてありましたね)は有名です。

2に関しては,交流の方が電磁波を発生することになります。電流が周期的に変われば,それによって作られる磁場も周期的に変化するため,空間に電場の変化が生じ,それによって磁場の変化が・・・以下無限ループです。

6に関しては,いわゆる熱電子と言われるもので,熱された金属体から電子が放出されるというものになります。

問3 5
速さ×断面積に含まれる電子の個数を求めて,それに電気素量を掛けたものが流れた電流になります。電子の個数は銅の個数と同じなので,単位体積当たりの銅の個数を求め,それに体積を掛ければいいです。
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計算は選択肢を見て精度を決めましょう。

問4 10
後半で出てくる方の円柱から前半の円柱をくり抜いて考えてやります(円柱Aとする)。Aは温度上昇によって
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だけ伸びているので,Aにかかる力が断面積に反比例し,長さに関係ないことと,ばね定数から(ばねの並列と直列に相当),
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もちろん,ばね定数を合成して考えている円柱全体のばね定数を求めて解いてもいいですが,2度手間です。

問5 9
内部の窒素の密度が水の密度以上になると沈みます。深さをhとすると,圧力をhで表して状態方程式を立てられます。
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問6 7
反射防止膜ですね。コーティング膜の反射とガラスの反射が打ち消しあうということです。屈折率的に共に固定端反射となるので,光路差だけで決まります。したがって,膜の厚みをdとして,
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干渉はmの絶対値が小さいほどはっきりと起こるので7番です(本問の場合は選択肢的にm=0となりますが)。

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慶應大学医学部2015年物理解説
慶應大学医学部2015年物理の解説です。IIIあたりで少し設問の取り方が他の大学では間に挟むものを取り除いていたりしていて答えにくいかもしれません。内容としては変な知識を訊いてきたりもしますが,ごく普通のレベルであった気がします。普段の学習から解き終わった後の設問構成のチェックはやっておくといいかもしれません。

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