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東京大学2016年前期物理第3問
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解説

難しい設問は皆無レベルです。点を稼ぎたいところ。

I
(1)速度は波長×振動数なので,f=V/λとなり,代入すると2V/d

領域Bでは振動数が同じになるので,代入すると波長は半分になり,d/4

(2)
長さをL,時間をTとして次元解析すると,v=gahbは,

LT-1=LaT-2a・Lb=Lb+aT-2a

となるので,b+a=1かつ-2a=-1⇔a=1/2,b=1/2,つまり,v=√(gh)となります。速度が2倍なので,hは4倍でなければなりません。

(3)反射は折り返しが基本です。Rにx軸対称な点をR'とすると,QR=QR'なので,PQ+QR=PR'です。よって,
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(4)反射時に位相の変化は無い様なので,距離の差が波長の整数倍の時に強め合い,反波長ズレの時に弱めあいです。したがって,
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何個ある系は間を全部考えずに端点で考えるのが普通です。y軸対称なので,x=0とx=+∞を考えます。それぞれ左辺は,
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したがって,波長の4倍から0倍までです。間の弱めあいは8までの奇数になるので,4個になり,xが負の方も考えれば8個になります。

【補足】x>0における単調減少性
微分してやれば証明できます。
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(5)波源と同じということは,Tは波長の整数倍の位置です。POは波長の2倍なので,PTは波長の3倍の位置になります。また,OSは領域Bにおける1波長分です。したがって,
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相対屈折率は2なので,入射角をφとすると,
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II
(1)ただのドップラー効果です。波源の動きが分母,観測者が分子でともに振動数が小さくなる方に働くので,
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Bにいる方は波長と速度の相対的な関係で攻めてやればいいです。もし領域BがAならば,2wの速度というように捉えられ,音源も観測者も振動数が減る方向なので,
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【別解答】真面目に計算
境界までと境界後でそれぞれドップラーを考えると,
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(2)
t秒で戻ってくるとします。0秒時点で出した波を受け取る座標は(ut,d)なので,その距離について座標(x軸で折り返して直線で考える)と速度から等式を作ります。
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(3)
時間が半周期+m周期ずれているので,
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uが実数であり,また,uには速度制限があるので,これも条件にしてやると,
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