ひたすら受験問題を解説していくブログ
2016年第2回東大実戦第6問

Q

今年の第2回東大実戦第6問です
断面が楕円になることがどうやって分かるのか知りたいです

A

模試の問題掲載はさすがにダメなのかなと思ったので考え方だけで。
教え子にも聞かれたのですが,解答では式をいじいじして判断しているようですね。正直なところ読むに堪えない感じなので流し読みですが・・・。なのであの解答は忘れていいです。

・直感的な説明
もともとの図形も,z=2の図形も同じだ円であり,長軸短軸がz=2の方では回転しています。この図形を作る際に,z=2に回転させていない楕円を設けて,楕円柱を作り,そのあとに回転させること(ねじる)を考えれば,途中にできる図形はなんとなく楕円が第一選択肢になると思いませんか?だって元が楕円から回転した楕円に滑らかに移っていっているのですもの。

・数学的な説明
一般的に説明します。元の図形を複素数P(α),回転・伸長に使う複素数をωとします。めんどくさいのでz=1に回転した図形(Rとする)を載せて元の図形と結びます。そしてz=t,つまりt:1-tに内分します(元の図形側がtとし,内分した点をSとします)。座標表記は(x,y,z)を(x+yi,z)としています。

P:(α,0)
R:(ωα,1)
S:(ωαt+(1-t)α,t)=((ωt+1-t)α,t)

これは単純にαにtが決まれば定まる複素数をかけているだけです。すべての複素数は回転と伸長に分解できるので,回転させた後に|ωt+1-t|倍した図形になっています。つまり,その2乗が面積の倍率になります。

この話は楕円という特殊なもとの問題に戻っても当然に成立します。
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京都大学2017年特色入試数学第3問
kyodai_2017_tokumath_q3.jpg

解説

長文問題がきて,去年のあいつみたいな問題かとワクワクしながら読んだ結果の糞設問です。結構簡単目だと感じます。一般入試でも特別難しくない感じです。

(1)
お決まりの帰納法です。
(i)n=1のとき
先手必勝ていうか負けることすら許されません。
(ii)n=kまで成立と仮定
n=k+1の状態から適当に石をとるとn=m (m≦k)の状態になります。仮定よりこの状態も先手必勝か後手必勝のはずです。
考えうるすべてのmについて,先手必勝ならば勝ち筋が無かったことになるので後手必勝です。考えうるすべてのmについて後手必勝が一つでもあればその手を選べば勝てるので先手必勝になります。
よって,先手必勝か後手必勝かのいずれかです。

(i)(ii)よりすべての自然数nで先手か後手必勝です(どんな数を引くルールを設けても成立するっぽいですね)。

(2)
だるいので大きい数から攻めます。21×21=441でこれを除くと,15になります。ここで後手の手は9,4,1があります。
9なら残りが6になるので4を除けば残りが2,後手は1しか引けないので1残って勝ちです。
4なら残りが11になります。1除けば10になって問題文の例より後手さんに道はありません。
1なら残りが14になりますが,4除けば10になって同上です。
したがって,先手必勝です。

(3)
整数nが無限に多く→最大のnが存在するで背理法,なのは整数論とかのお決まりのパターンです。
後手必勝となる最大のn(=kとする)が存在するとすると,それ以降はすべて先手必勝となります。矛盾を言いたいので先手必勝だと思ったらいつの間にか負けていた的な感じなので,どんな数を除いても先手必勝のn(kより大きければ先手必勝)になってしまえば証明できます。
(N+1)2-N2=2N+1なので,十分大きなNをとれば2N+1>k+1となります。この場合n=N2+k+1から除ける最大の数はN2ですが,k+1以上残るので必勝のパターンになり,後手が勝つことになってしまいます。これは矛盾するので後手必勝に最大のnは存在しません。
したがって,nは無限に多く存在します。

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東京大学2016年前期化学第1問II
todai_2016_chem_q1_4.png
todai_2016_chem_q1_5.png

解説

分圧=全圧×モル分率であること,気液混在なら飽和蒸気圧になることが理解できているかの問題です。クは(1)と(2)で迷った人が多いのかもしれません。


水は酸素と水素間の電気陰性度差によって分子間で水素結合を形成するので,無極性分子のヘキサンよりも分子間力が大きいから。

沸点は粒子間の結合の強さで決まります。一般的に共有結合>イオン,金属>>分子間力(水素結合>極性ありファンデルワールス力>極性なしファンデルワールス力)です。
結合が強くなるのは,共有結合は電子雲の重なりが大きいもの(結合次数が多いものも含む),イオンは価数(分極の度合いも考慮)が大きく距離が近いもの,金属は価数が大きく距離が近いもの,分子間力は極性が高く(水素結合を含む)分子量が大きく接触面積が大きいものです。

融点は結合の強さに加えて粒子の対称性が重要です。対称性が高いものほど色々な方向から固体に入りやすいので(結晶に入れる方向は決まっています),融解平衡の固体に行く方向が優位になり,融点は高くなります。この例としては,ただのペンタンと十字になっているペンタンの融点差や,アルカンの融点が偶奇でジグザグに増加していくことが有名です。

カ 78℃
水の分圧が飽和蒸気圧になる点です。全部気体ならモル分圧になっているので,全圧一定ならば一定の分圧です。水の分圧は

1.0×105×0.1/(0.1+0.1+0.31)=0.454×105

なので,グラフより78か79℃です。

キ 2.3×10-2
すべて気体のものはモルの尺度として扱えます。55℃の段階ではヘキサンと窒素です。分圧がすぐわかるヘキサンを尺度にするのが普通でしょう。
ヘキサンの分圧はグラフより0.65×105で,水の分圧は0.15×105です。ヘキサンは0.1モルのままなので,
0.1×0.15/0.65≒2.3×10-2
となります。

ク (1)
操作1ではすべて気体であり,モル分率は一定なので分圧も一定である。操作2では水が凝縮により気体の全モルが減り,ヘキサンと窒素の分圧は増加する。増加分はヘキサンと窒素のモル比で分配されるので,水の分圧が下に凸であることから,ヘキサンの分圧は上に凸になる。操作3ではヘキサンは気液混在なので蒸気圧曲線に乗るから。

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