ひたすら受験問題を解説していくブログ
合格報告2017
やっとそろそろ仕事が終わる!

【国公立】
東大 理2 1名
九州大 工学部 1名

【私立】
[医学部医学科]
東邦大 合格 1名(多分繰上)
杏林大 合格 1名(セ利繰上)
埼玉医科大 補欠 1名

[その他]
慶応大 理工学部 2名
慶応大 薬学部 1名
早稲田大学 基幹理工学部 1名
青山学院大 地球社会共生学部 1名
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

東京大学2016年前期化学第2問II
todai_2016_chem_q2_5.png
todai_2016_chem_q2_6.png
todai_2016_chem_q2_7.png

解説

キが全く未知の反応式を考えるのでわかりにくいです。こういう反応式は100%論理的に導けるとも限らないので,考え得るものから何択かになるのがつらいです。ケは考察ですがある程度有名どころですし,高得点狙いの人は外せないです。

カ a:金属結合 b:低い c:原子半径
高校的には,金属結合の結合力は自由電子と陽イオンがクーロン力で引きあっていることによって,陽イオンが間接的に引き合っているものだと捉えておいていいでしょう。つまり,価数と比例で,自由電子とイオン間の距離に反比例です。なお,距離に関してはどの結晶構造をとるかによって変わりますが,原子半径に比例します。

キ 
4KO2+2CO2→3O2+2K2CO3
超酸化物イオンの酸素の酸化数は-1と0なので(電子式を書くといいと思います),ここから酸素が発生するためには0の酸素を集めるか(この場合は-1の酸素は安定性を考えれば-2になるでしょう),-1の酸素から電子を奪って0にするかしかないです。
-1の酸素を-2にする場合には-1の酸素が与えるしかなく,それと対になりますが-1の酸素の電子の電子を奪えるのは-1の酸素です。それ以外の選択肢としては二酸化炭素中の炭素が-1の酸素を参加することですが,電気陰性度的に起こりにくいのかなと推測できます(予測に反する反応はあるので,ググってますけどね)。

電子数:17
酸素二つ+電子1つ


ナトリウム
電気陰性度はナトリウムの方が水素より小さいから。

NaH+H2O→NaOH+H2
Hが-1なので,誰かに電子を渡します。渡せるのはH+だけなので,上記の反応になります。

ケ Cs+
平衡定数はクラウンエーテルの空隙が陽イオンと酸素の半径の和と合うかで決まる。Aで最適のK+より,酸素の半径は0.15nm程度である。Bでは0.18nm程度が陽イオンの最適半径となり,Cs+が最大である。


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東京大学1997年後期数学第1問
todai_1997_koki_math_1q.png


依頼があったのでとりあえずこの大問だけ。

解説

(1)はぱっと見ではよくわからなければ,試行錯誤で規則を予測していくしかないでしょう。(2)は数学系の人間にはゴミみたいな問題ですが,高校生にはなじみは薄いのかもしれません。有限個スタートなので高々有限個であることを逆手にとって,有限個なんて無視できるよねと行きます。

そんなことより問題文長いし作図きついしなんなんですかこの問題。

(1)
とりあえずn=0から黙々と描いてみると,
todai_1997_koki_math_1a_1.png
ここで思いつきたい規則としては,
1.nが1増えるとジグザグは平面に,平面はジグザグになる(∵ジグザグは間と両端に三角形が入り,平面は各三角形が一辺で染まっていない領域に触れているため)
2.n=2以降では平面とジグザグが交互の6角形である(角形の数は増えない)(∵数学的帰納法で平面とジグザグが隣ならば接合部分に新しい辺ができない)
であり,更に数の関係として,平面の一辺にいる三角形をsn,ジグザグの一辺にいる三角形をtnとすると(n=2でそれぞれ2になるカウント方法とします),
3.
todai_1997_koki_math_1a_2.png
(∵ジグザグの間と両端が染められ,平面には各辺の数だけ新しいジグザグができるので)

連立漸化式を計算していけば(一つ一つもとめてもいいですがan+1-anの形に注目したいです),
todai_1997_koki_math_1a_3.png

(anの階差では重複分=ジグザグと平面の境界の6個を引いています。)
この式はn=0,1でも成立します。

(2)有限個ということは,塗りつぶされた各三角形の距離も有限なので,あるNが存在し,aNが有限個塗りつぶした三角形をすべて内包できます。したがって,bn≦an+Nであり,当然an≦bnでもあるので,はさみうちの原理より,答えは1になります。

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東京大学2001年後期数学第3問
todai_2001_koki_math_3q.png


依頼があったのでとりあえずこの大問だけ。

解説

高校生には題意が把握しにくい問題かもしれません(大学生はルベーグ積分でお馴染みですね)。ある関数f(x)に対して,特定の値域に入るxの幅を求めて足してあげている感じです。
値域からxを求めるので逆関数的に考えますが,2次関数の場合だと根号が出てきてめんどくさいため直線で挟んでやります(求めるのは極限ですし)。考える際には極限に飛ばしていること,Iのとり方が任意であること,及び,整数だけ値がずれても一般性は失わないのでf(x)=ax2として良いでしょう。
下の参考図で分かるように,ある値域に該当するxの幅は,増加単調関数ならば傾きの大小と逆になります(図ではc<a<b)。
todai_2001_koki_math_3a_1.png

二次関数部分を数学的に厳密に行くならば,値域の端になる点を結んで直線にすれば2次関数とその直線に対応するxは等しくなり,直線として扱うことができます。

さて,本問ではx=k,k+1で接線を考えると(それぞれ直線lk,lk+1),平均値の定理と導関数の単調性から次のことが言えます(値域の下限と上限に対応するxをそれぞれα,βとしています)。
todai_2001_koki_math_3a_2.png

つまり考えている値域の2次関数に対応するxの幅はlk,lk+1に対応するxの幅で挟めます。
ここでTkの話に戻ると,Tkに含まれる集合は,P(x)がk≦x≦k+1の間で円Cを何周もしてしまうため,いくつも存在します。個々を求めて足してやらねばなりません。2次関数のままだと大変ですが,直線ならば簡単です。

試しに,lkでやってみると(長さをLkとします),2ak周してますがP(x)の角度の増え方は一様なので,L/2π×(k+1-k)=L/2πになります。lk+1も2a(k+1)周してますが同様にL/2πとなります。
ただ,これでは示せていません。挟み方は傾きの大小と逆になるので,一周一周に対してはLk+1<Tk<Lkとなりますが,周数は傾きの大小と同じになるため,総和としてはLk+1<Tk<Lkと言えません。そのため,周数は2次関数に統一してやる必要があります。周数はf(k+1)-f(k)=a(2k+1)です。よって,周数の比をかけてやればよいので,

todai_2001_koki_math_3a_3.png

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東京大学2016年前期化学第2問I
todai_2016_chem_q2_1.png
todai_2016_chem_q2_2.png
todai_2016_chem_q2_3.png
todai_2016_chem_q2_4.png

解説


ウが分からない人がいるぐらいでしょうか。全体的にかなり簡単な部類かと思います。


todai_2016_chem_a2_1.png

順に三角すい,直線,正三角形

電子の塊を考えて反発させると,4つあれば四面体,3つあれば三角形,2つなら直線となります。反発の程度は共有電子対は共有している故に電子軌道が遠いので反発力は小さくなります。つまり,非共有電子対>共有電子対であり,三重結合>二重結合>単結合という感じです。

イ 34%
面心立方格子の中に4個の原子が入っています(原子数8)。一辺をa,原子半径をrとすると下図(対角線を含む面で切っています)より,
todai_2016_chem_a2_3.png

todai_2016_chem_a2_2.png


ウ 共有結合に使われていない不対電子が存在しないから。
黒鉛が電気伝導性を示す理由を考えれば,余った電子が電気を運ぶことは有名でしょう。

エ2,5

(1)○スズでの還元の代表例です。今回与えているのは金属のスズではないので,いつものと反応式は変わりますが,半反応式を立てれば作るのは簡単でしょう(ニトロベンゼンと塩化スズ(II)が1:3です)。

(2)×酸性の場合の反応では過マンガン酸カリはMnO2で止まらずMn2+になります。

(3)○イオン化傾向は亜鉛の方が大きいのでスズが析出します。

(4)○イオン化傾向は鉄の方が大きいので,鉄から酸化されていきます。

(5)×銀はイオン化傾向が小さいので酸化剤になり得ます。この時の反応は塩化物イオンからではなく,Sn2+から奪うので,塩素は発生しません。


合金中の鉛の濃度が上がるため,凝固点降下が大きくなるから。

グラフの降下している部分を過冷却部分にも当てはめると(直線部分を伸ばしていきます),凝固点は228℃だとわかります。元が232℃なので4℃の凝固点降下が23gの鉛になります。よって,

4:23=(232-220):x ∴x=69g


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