ひたすら受験問題を解説していくブログ
北海道大学1996年後期数学第1問
hokudai_1996_koki_math_q1.png

解説

(1)は一度は解いたことがあるでしょうし,(2)は結局オーダーだxなので,f(x)=xみたいなものでは解いたことあるでしょうね。(3)は一瞬ギョッとするかもしれませんがヒントしかない形です。

(1)
不等式の証明と言ったら移行して最小値≧0でしょう。その際には単調だと楽なので境界の値からの単調性を狙うのが定石です。そして,それが繰り返しになる問題も頻出ですね。

g(x)=左辺-右辺とします。必要なパーツを作っていくと,
hokudai_1996_koki_math_a1_1.png

したがって,与式は示された。

(2)
関数の形が分からないf(x)のlimをとっているので,問題文中のlimの形にするしかないです。また,その場合にxe-xの形が出てきますが,(1)から考えるのが自然でしょう。先にその形を作っておけば,
hokudai_1996_koki_math_a1_2.png

xe-x≧0なのではさみうっています。

(3)
f’(x)が邪魔なので,(2)形になる様に部分積分します。
hokudai_1996_koki_math_a1_3.png

逆にf(x)の方をf’(x)になる様に部分積分しても解けます。


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北海道大学1996年後期数学解説
北海道大学1996年後期数学の解説です。部屋を整理していたら過去問を見つけたのでなんとなく解いてみました。典型問題が多いので難関大受験生ならサクサク行きたい所ですね。サクサクいけなければ色々抜けているので,難問に挑む前に典型解法を徹底的に復習して欲しいです。時間は100分のようですが,数学に自信ありなら60分未満を目指しましょう。

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灘中学校2017年算数2日目第5問
nada_2017_math2_5q.png

解説

27通りなので書きだせば余裕です。

(1)
(ア)
ルールを適用するだけです。
A:2134
AC:1342
ACB:3412

(イ)
(ア)で試したところ,Aなら2番目が前に,Bなら2番目と3番目が前に,Cだと2,3,4番目が前に来ます。後ろに行くのはいずれも1番目のみです。
4が先頭ということは4が3回の操作で3回前に来ています。
C,CB,ABC
のパターンなので,
1×2×3=6通り

3が先頭ならば,3は2回の操作で前に来ています。2番目に来てしまうとどの操作でも前に来るので,
A,BC,ABC
1×2×3=6通り

2が先頭ならば,初めにABCの何が来ても先頭になり,その後どこかに移動して1回の操作で戻ってこれなければならないので,
ABC,A,ABC
3×1×3=9通りです。

1が先頭になるのは27から上記の3つを引いたものなので,
27-6-6-9=6通り

【(1)イ別解答】先頭が1の場合
初めにABCの何が来てもどこかに飛ばされます。その後2回で戻ることを考えれば3番目に飛ばされて戻ってくるしかないです。
B,BC,ABC
1×2×3=6通り

(ウ)
3回の操作ですべての並び順が実現できることに触れないと本当はいけないのでしょうが,問題文が重複しているものが3組と教えてくれているので2が先頭のケースで重複が生じていると考えられます。
AAAとBABは上げてくれているので,他のものを考えます。
AAB:2314
AAC:2341
BAA:2314
BAC:2143
CAA:2341
CAB:2431
CAC:2413

よって,2314と2341

【(1)ウ別解答】
AAは元に戻る操作なのでないものと同じです。
すると,AAのどちらにどの操作をしても変わらないです。
したがって,AAB=BAA,AAC=CAAが得られます。

(2)
27通りで重複しているものが3組,全並び替えは24通りなので全部の並び替えが存在しています。
この場合,ある並び替えに対して逆の並び替え(逆セット)が必ず存在することになります。しかしながら問題は重複しているものです。

重複しているもののうち2134は2つペアの交換であり,自分自身の3操作が逆セットになります。それ以外の重複は重複しているもの以外が逆セットになります(2番目が1ではないと逆セットになり得ない)。
すると,9通りは次のように分類できます。

7通り
AAAおよびBBB

前者にはそのままひとつづつ逆セットが,後者は2×2=4通りです。
したがって,11通りになります。

(3)
他の数字が先頭の場合は2314と2341になる3操作の逆セットのみに注意します。つまり,合計2増えることになります。
よって,
11+3×6+2=31通り

【(3)参考】(2)を飛ばしてまとめて考える
27を(2)と同じように分類すると,
27中23については逆セットが1つ存在し(重複しているものの逆セットを除いている),2つについては逆セットがそれぞれ2通り(2314と2341が逆セット),2つについては2134となる3操作自身が逆セットで4通りです。
したがって,
23+4+4=31通り


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灘中学校2017年算数2日目第4問
nada_2017_math2_4q.png

解説

解き方が悪いのか,非常にめんどくさい問題です。ある傾きを90°回転させると縦横の関係が逆になることがポイントです(相似でいいです)。

(1)
明らかに求めにくいのがIBDとFCEですね。それ以外は,

3×3+4×4+5×5+3×4=62

となります。三角形ABCでAからBCに垂線を引いた場合,左側は比でいう3相当の方なので,IBの横方向は比でいう4方向です。
よって,
3×4/5=12/5
したがって,
IBD=12/5×5÷2=6

同様に,FCE=6です。
以上から,62+6+6=74

(2)
DJの縦=IDIの横=BIの横です。また,EKの縦=EFの横=CFの横です。
CFの横=BIの横なので,KもJもDEから同じだけ下に来ており,KJはDEと平行です。

下図((3)で使う数値も書いています)におけるJPはIBの縦+BDなので,
JP=3×3/5+5

同様に
QK=4×4/5+5

したがって,
JK=3×3/5+5+5+4×4/5+5=20となります。

nada_2017_math2_4a_1.png

同様のことをLMにやれば,16,NOにやれば12が得られます。

(3)
上図のRSTUから余分なところを引いていきます。ORとRJはORJ≡JPD,LSとKSはLSK≡KQEより出しています。

以下,計算表記の都合上すべての長さを5倍しておきます。

求める六角形=RSTU-ORJ-LKS-MTL-UVNM-OVN
=124×89-(34×12+12×41+16×16×3×4+(12×5+12×3)×7+12×12×3×4)÷2
=314×25

よって,314

【(3)別解答】こっちが普通ですね
求めにくいのはOJDIとEKLFなのでここを次のような図形を考えます。
nada_2017_math2_4a_2.png

中の直角三角形はOJDIの場合はJDPです。よって,中の正方形は
34/5-12/5=22/5
です。したがって,
OJDI=(22×22+4×12×34÷2)÷25=52

同様に,
EKLF=(29×29+4×12×41÷2)÷25=73

台形勢は,
{(5+20)×12/5+(4+16)×3+(12+3)×4}÷2=90

よって,5×5の正方形と(1)で求めた図形も足して,
25+52+73+90+74=314


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灘中学校2017年算数2日目第3問
nada_2017_math2_3q.png

解説

断面は比例関係で交点の位置を求めること,複雑な立体の体積は面を共有する図形(角錐であることが多い)で分けて考えることを徹底すれば解けます。でも嫌いです。

(1)
結論から言うと下図のようになります(Rが後から出てくるなんて・・・なので(2)のRとは無関係です)。
nada_2017_math2_3a_1.png
まず,Rの位置ですが,PB:BQ=2:1です。よって,GH:HR=2:1となり,HR=4です。Sの位置は,QF:FG=1:3なので,RD:DS=1:3です。RD=DH-HR=1なので,DS=3で中点です。

さて,ここから体積ですが,断面を底面として含むことは避けたいので,SPRQGのどれかに集中させます。ここではGが各錐の頂点だとします。
G-PBQ=6×3÷2×6÷3=18
G-PSDCB=(6×8-3×2÷2)×5÷3=75
G-SDR=3×1÷2×8÷3=4

18+75+4=97

(2)
下図のような比になっています。したがってこの面積は,

8x×6y-2x×3y÷2=45xy

です。1/3なら15xyですね。QGの高さは6yなので,RQ=5xとなります。よって,1:5です。

nada_2017_math2_3a_2.png

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灘中学校2017年算数2日目第2問
nada_2017_math2_2q.png

解説

いい解法が浮かばないですね。こんなの方程式じゃだめなんでしょうか。

(1)全部同じ時間なので,移動距離は速さの比になります。よって,歩いた距離の7倍が855mです。

初めに240-120=120の速度差,つまり歩いた距離の2倍だけ差がつき,240-60=180,つまり歩いた速度の3倍で詰めることになります。歩いた時間の2/3倍です。よって,歩いた距離の4+2/3=14/3倍だけの位置です。

855/7×14/3=570

(2)
歩き,ジョギング,走りの時間をぞれぞれx,y,zとすると,時間合計,PQ間の距離,追い抜き距離で式を立てられます。
nada_2017_math2_2a.png

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灘中学校2017年算数2日目第1問
nada_2017_math2_1q.png

解説


複雑なイメージとかがいらないので解きやすい問題です。外してはならないですね。

(1)紙の上辺下辺をしっかり追っていきます。また,追う際には五角形の辺になっているか対角線になっているかが解答欄の点の間隔からわかるので,それも参考にしてみるとよいでしょう。
とりあえず上辺を赤,下辺を青で追うと次のようになります(追加している黒い線と●は(2)用です)。

nada_2017_math2_1a.png

これを順に追ってけばいいのでしたような解答になります。
nada_2017_math2_1a_2.png

(2)
CFを結び,それが上辺下辺とどこで交点を持つのか考えていきます(上図の黒丸ですね)。折り返し回数ごとに見ていくと,
0回:下のCから出ていってF(上辺でも下辺でもない)
1回:上のCに到達
2回:上のCから下のADの中点
3回:上のBDの中点から出てF

以上を描いてみると以下のようになります。

nada_2017_math2_1a_3.png


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2017年第1回東大実戦模試文系数学第4問
a,bはa>0,b<0を満たす実数とする。座標平面において曲線C:y=ax2+bxと曲線D:y=x3が異なる3つの交点をもち,CとDが囲む二つの領域のうち左側の領域の面積と右側の領域の面積の比は5:32である。

(1)bをaを用いて表せ。
(2)aが変化するとき,Cの通過する領域を図示せよ。

解説

こういう問題を私に解かせると言うことは一つです。計算がめんどくさいだけのただの糞問です。数学的な面白さは皆無というかただの通過範囲です。頑張って計算してみます。

(1)
条件を淡々と行くだけなので,異なる三つの交点ということで,連立させてできた式の解の個数を判別式にします。
sundai_todaijisen1_2017_a4_1.png

次に面積です。まず左側から行きますが,積分領域つまり解が分からないので小さい方からr,sと置きます(α,βだと区別が)。Cの軸が正であることに注意してグラフの概形でも書いてやればr,s>0です。
sundai_todaijisen1_2017_a4_2.png

右側の積分は関数の上下が反転していることと,変数を変換してやればもとまることに注意すると,
sundai_todaijisen1_2017_a4_3.png

これが5:32なので,
sundai_todaijisen1_2017_a4_4.png

同次式なので全部をr4で割ってもいいですが,めんどくさいのでそのまま。s=krの形で行けるだろうから,因数定理を使います。両方正なので,1,3,9,27とその5分の1が候補です。
s=3rを代入するときれいに消えるので,(s-3r)で割ると,
sundai_todaijisen1_2017_a4_5.png
となるので,s=3r以外の解は存在しません。あとは代入するだけです。
sundai_todaijisen1_2017_a4_6.png

条件はa>0なので満たしています。

(2)解の存在範囲かx固定で行けばいいです。解の存在範囲なら,a>0で解を持てばいいのですが,rでやった方がきれいです。rも同様にr>0ならいいのでこっちで考えます。
sundai_todaijisen1_2017_a4_7.png

(i)x=0の場合
y=0です。

(ii)x≠0の場合
sundai_todaijisen1_2017_a4_8.png
の解の少なくとも1つが正なので,
判別式≧0
から
1次の項≧0 かつ 定数項≦0
を引いてやればよいです(解と係数ですが,軸と境界で考えても同じ)
sundai_todaijisen1_2017_a4_9.png

前半部分がxの正負によって符号が変わる(x2でもかけてしまってよい)に注意して描くと,次のような領域になります。

sundai_todaijisen1_2017_a4_10.png

境界となっているx軸,y軸は含まず,原点や曲線の境界は含みます。


2017年第1回東大実戦模試文系数学第3問
sundai_todaijisen1_2017_q3.png

解説

解を持つようにと言われていますが,言い方を変えればこの範囲でx,yを動かすとな領域の図示問題です。通常と違って変数が2つあります。変数が2つあって困るのならば,一つを固定することは定石なのではないでしょうか。

xを固定した場合にどんな図形になるのか考えると,定数+cos,定数+sinなのでただの円です。x,yは自由に動けるので,この定数部分を動かして(xを動かして)終わりです。

考え方によっては,ベクトル(cosx,sinx)と(cosy,siny)を足したものととらえても良いでしょう。こんな感じの問題は日医とか慈恵とかで見たことがある気がします。

いずれにせよ,半径1の半円の軌道を中心に半径1の半円を描くので,下図のようになります(点線は円の中心の軌跡)。
sundai_todaijisen1_2017_a3_1.png

したがって,面積は半径2の半円から半径1の円を引いたものなのでπです。

【別解答】変数変換(大学生以上向け)
変数変換と見なせば定期テストでも簡単な部類ですね。とりあえず関数行列式を計算すると,
sundai_todaijisen1_2017_a3_2.png

のようになります。つまり正方形部分とy=x部分を書いてやれば終わりです。通常では下半分も書いてやる必要がありますが,本問ではxとyは対称なので一方のみでよいです。上半分を書いてやります。
sundai_todaijisen1_2017_a3_3.png
sundai_todaijisen1_2017_a3_4.png

関数行列式=0となる集合の面積は0なので,普通に変数変換で積分できます。
sundai_todaijisen1_2017_a3_5.png
2017年第1回東大実戦模試文系数学第2問
nを3以上の整数とする。円周を2n等分する点A1,A1,・・・,A2nから無作為に相違なる4点を選ぶとき,鋭角三角形の3頂点を含む4点を選ぶ確率をpnとする。
(1)p3を求めよ。
(2)p4を求めよ。

解説

模試の問題の解説は著作権的にどうなんでしょうね(駿台さんに怒られたら消します)。普通は3点なんですけど,4点のところが憎たらしい問題です。まずは3点でもいいので鋭角三角形とか,鈍角三角形とかの数え方って大丈夫なのでしょうか?

一番離れている弧が半円以上なら鈍角,半円なら直角ですね。鋭角は半円未満なのですが,すべての角を鋭角にしようとするのは難しく,鈍角と直角を全体から引いてやることが無難でしょう。

本問では”鋭角三角形の3頂点を含む4点”なので,言い方を変えれば”少なくとも一組は鋭角三角形の3頂点を含む4点”であるになります。
本来は(1)で試行錯誤した結果になるのですが,まず四角形を書いてみると次の図のようになり,角の性質として隣り合う頂点が作る弧の円周角(×)と一個飛ばしの頂点が作る円周角(●)があることが分かります。そして,×2つと●1つからすべての三角形は作られています。
sundai_todaijisen1_2017_a2_1.png

(i)隣り合う頂点が作る弧の円周角で直角以上がある場合
一つの三角形で考えてみれば,直角以上になる円周角の隣り合う点は半円以上離れています。点を固定したいので1点を上にとり(反時計回り順に上からABCDと呼びます),最も離れている2頂点をABにします。

この場合,ABもACも対角である(CまたはD),Dは直角以上になります。一方残った三角形はBCDですが,すべての点が半円の右方に押し込められているので,DBは半円以上になります。したがって,Cは直角以上です。

半円から残った3点を選ぶのでnC3通りあります。
固定をはずすには2n倍すればいいので,2nnC3通りです(右にのみ押し込めたのは一周する過程で左押し込めがカウントされるからです)。


(ii)隣り合う頂点が作る弧の円周角がすべて鋭角である場合
すべての×は鋭角です。この場合には●が活躍するしかないです。ここがすべて直角以上なら良いのですが,四角形の対角の和が180°になるため,鈍角には鋭角がセットでついてきてしまします。したがって,すべての●が直角以上になるためには直角しかありえません。

対頂点が自動で決まることからnから2個選ぶだけなので,nC2です。

全体から(i)(ii)のケースを引いたものが求めたい事象なので,
sundai_todaijisen1_2017_a2_2.png


【別解答】
(1)
鋭角三角形になるのは正3角形のみなので,これに1点を追加します。追加の仕方は一種の正3角形あたり3通りなので,3×2=6通りです。全事象は15通りなので,2/5です。

(2)
n=4ぐらいになると鋭角三角形に注目するのはきついのでしょうか?私はミスなく数える自信はありません(重複しそう)。本解答と同じく鈍角のみになる方を数えます。全事象で高々70で,かつ,パッと見で鋭角になるものなんてのは外せます。大した数じゃないでしょう。頑張ってください。

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灘中学校2017年算数1日目第12問
nada_2017_math1_12q.png

解説

正直なところ面倒な問題です。このような問題では,段階段階で求めていく場合と,すべての過程が終わった後にきれいな図形で処理できるパターンがあります。本問では多分後者が簡単です。

図4に描かれていない円の通り道(中心から一番離れている所に注目しましょう)を描いて求める図形の色を塗ると下図のようになります(細い線は私が引いた補助線ですがただの直径なので無理はそんなにないと思います)。
nada_2017_math1_12a_1.png

図形を求められる図形にばらしていきます。
nada_2017_math1_12a_2.png

(b+c)×2+a+dで元の図形になります。
a: 6×6×π÷4=9π
c: 6×6×π÷6=6π
d: 12×12×π÷12×3/4=9π

問題ぽいbですが,次のように空白部分を3つに分けます。こういう問題で正三角形が出てくるとその面積はきれいに消えるはずなので,それを念頭にして弧ABの部分は60°の扇形から求めます。
nada_2017_math1_12a_3.png

左から順に
6×6×π÷6-正三角形
6×6×π÷12
正三角形

合計9πなので,
b: 12×12×π÷6-9π=15π

(b+c)×2+a+d=(6π+15π)×2+9π+9π=60π=188.4


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灘中学校2017年算数1日目第11問
nada_2017_math1_11q.png

解説

展開図の問題は私も苦手ですし,なんの意味があるの?中受と折り紙以外で何で役に立つの?って思いますけど,いくつか定石があります。本問では,直角三つで直立,対面が同じ図形かチェックするっていうことをしっかりやればどうにかなります。

ど真ん中に直角が三つ集まっているので,ここで直立しますそれに注目して,少し組み立てた図を描いてみます(下図左)。更に,同じ図形が2組ずつにでき,各面の付き方も同じであることから対面は同じ図形で平行になります。これに注意していけば,下図右のようになります。
nada_2017_math1_11a_1.png

正直なところ対称性から下半分は書く必要はありませんが。直角三角形の平面で切ってやると,一辺3の立方体と,高さ(6-3)の三角柱2つになります。よって,

3×3×3+2×(3×3×3÷2÷3)=36


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灘中学校2017年算数1日目第10問
nada_2017_math1_10q.png

解説

断面を考えてその切断箇所を問う問題はある平面に投射した図で考えるとわかりやすいです。
OP=ORなので対称性から面OQDに投射した図を考えます。

nada_2017_math1_10a_1.png

三角形OBAとQBHの相似から,
QH=2OA/5
BH=2BA/5  ∴HD=8BA/5

三角形QHDとPADの相似から,
PA=5QH/8=OA/4  ∴OP=3OA/4=7.5

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灘中学校2017年算数1日目第9問
nada_2017_math1_9q.png

解説

比が分かっている辺に沿って頂点を移動していき,底辺や高さの比から面積比にしていくことが定石です。しかしながら,本問ではGを(に)移動することができないという問題が生じてしまいます。
このような場合には,Gに関する比を求める必要があり,方法としてはGの比を使う方法と使わない方法で同一のものを表してやることが考えられます。

三角形ABCをいろいろいじって三角形FDEを作ってみます(なんとなく一番外の大きい三角形を作ることが好みです)。このときも本問はいやらしく,移動を工夫しないとできないようになっています。関連している影響度を考慮するとBまたはCの後にAの順に動かしていくのでしょうが,それではAが移動できません。そのため,三角形FDEを分割してやります。

FDE=FAD+FAE+DAE
FAD=3×1×ABC (B→F,C→D)
FAE=4×3×ABC (C→F,B→E)
DAE=1×3×ABC (C→D,B→E)
∴FDE=18×ABC

今度はAGとFGの比を使ってやると,FG=kAGとします。
FDE=1×3×k×ABC (C→D,B→E,A→F)
よって,k=6
FAD=3×ABC=(6-1)×ADG (G→F)
より3/5

【別解答1】邪道(過程不要のところを受ける受験生は大学受験生も含め覚えておくと良い手法です)
与えられている条件だけで答えが1つに求まるならば,他の条件は何でもいいです。置きやすいように置いてしまっていいので,下図のように置きます。

nada_2017_math1_9a_1.png

あとはただの直線の交点なので簡単な数学の問題です。比から
E(3,0)
F(-3,4)
Gは直線DE(y=x/3-1)とFA(y=-4x/3)の交点なので,Gのx座標は3/5です。AC=AD,AB=1なので3/5倍です。

【別解答2】ベクトル(高校生向け)
ベクトルの三角形の公式を使って両方の面積を求めます。ABをb,ACをcベクトルとします。FとEを求めて交点Gを出してやればでます。あとは適当に頑張ってください。計算めんどいです。

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灘中学校2017年算数1日目第8問
nada_2017_math1_8q.png

解説

斜めがあるため一見ややこしいです。横縦で行くよりも斜めの方が最短なので,斜めの選択肢をなくす移動はダメです。そのような移動を消すと次のようになります。
nada_2017_math1_8a_1.png
斜めになっているだけで普通の4×4の最短経路問題です。AからBは2×2なので,数字を書く方法か,Cを使う方法で解けばいいです。ここでは後者で解きます。

4C2=6通り

AからCは4×4なので,

8C4=8×7×6×5÷(4×3×2×1)=70通り

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灘中学校2017年算数1日目第7問
nada_2017_math1_7q.png

解説

①②
基準からのずれで考える手法が身についていると楽な問題です。全部水曜日を選べたとすると,3×5+7×(1+2+3+4)=85となって,81より4オーバーしてしまいます。
日月火水木金土の順に,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3なので,これらから5つ選んで合計を-4にしてやればよいです。
5つ選ぶには必ず+も選ばなければならないので,-5か-6をまず作ります。-5は日月ですが,どんなプラスを小さくしても+1には収まりません。なので-6を作って残り二つで+2です。つまり,木と土が不要です。


何が嫌かって,週によって選べない曜日があることですね。じゃあ,どの曜日も選べるところから考えればいいです。求めたい通りは(高校生はおなじみの集合で考えています),

全部OK-アで違反-オで違反+アオ共に違反

で求まるので,制限の多いい所から計算する定石どおりに(アで違反ならアから決める)
5×4×3×2×1-1×4×3×2×1-1×4×3×2×1+1×1×3×2×1
=3×4×3×2×1+3×2×1
=13×3×2×1
=78


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灘中学校2017年算数1日目第6問
nada_2017_math1_6q.png

解説


3/4していくということはだんだん小さくなっていきます。つまりA>B>C>0の順であることが分かります。また,整数になるということは4で割れるということです。つまりBC,CAともに4で割れます。
つまり,Cは2の倍数であり,Cが2の倍数ならAは4の倍数になります(CA=10×C+Aなので)。

また,3/4倍されるということは3の倍数の観点でも見ていけます。3や9の倍数であるかの判定はすべての桁を足して3や9で割れるかを見ていけばよかったので,ABCもBCAもCABも3や9で割り切れるかどうかは同じになります。3/4倍や9/16倍しても同じなので,元々9で割れていることになります。

以上の情報から,
(A,B,C)=(8,6,4),(4,3,2)に絞れます。実際に計算してみるとOKです。

【別解答】高校生的に
定石通り,桁を分けて数式にしていきます(二つ目は文字の入れ替えでさっくり求めています)。
nada_2017_math1_6a_1.png

この時点でCは2の倍数,更にAは4の倍数です。式が一個足りないので不定方程式です。適当に1字消して解くと(情報の少ないBを消しましょうか),
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Bを求めて終わりです。


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コンデンサー回路のエネルギー収支の問題について

Q1

先日質問させて頂きました際(プロペラの役割(東京大学1996年前期物理第3問))には丁寧なご解答を頂きましてありがとうございました。
再度となりますが、このたびどうかご教示いただきたいことがございまして、メールさせて頂きました。

入試問題としては定番でどの問題集にも載っている「コンデンサーへの充電時の過渡現象とエネルギー収支」について質問させてください。
(起電力Vの電池にスイッチをはさんで抵抗RとコンデンサーCが直列につながれた問題です)


エネルギー収支として、
十分時間が経った後は
・コンデンサーに蓄えられたエネルギーはCV^2/2
・電池のした仕事はCV^2
・コンデンサーには電池のした仕事の半分のエネルギーしか蓄えられていないが、残りは抵抗 Rを電流が流れるときにジュール熱になった
と説明されます。(微分積分を使った数式で定量的に説明されている参考書も多々あります)

ここでずっと疑問なのですが、もし抵抗なしで回路を組んだ場合(数学的にR=0の場合)はどうなるのでしょうか?
※現実的にはR=0はないというようなことは今回考えず、あくまで理想的な物理モデルを仮定した場合を考えたいのです。
 空気抵抗や摩擦を無視する、とかと同じようなことです。


【疑問点1】
数式でも考えたのですが、いろいろとおかしなこと(?)がおこります。
たとえば、スイッチをつないだ瞬間はI=dq/dt=∞になりませんか? これでいいのでしょうか?
また、任意の時刻tでの電流Iはどうなるのでしょうか?(縦軸I(=dq/dt)、横軸t のグラフはどうなるのでしょうか?)


【疑問点2】
十分時間が経った後のエネルギー収支はどう考えればよいのでしょうか?
コンデンサーに蓄えられたエネルギーはCV^2/2(?)
電池のした仕事はCV^2(?)
残りのエネルギーは抵抗Rがなくジュール熱とならないので消えた? あれれ?おかしいぞ??



この疑問は多くの(ハイレベルな)高校生が抱いているのではないかとも思います。
高校範囲外となってしまってもかまいません。例えば微積物理は「物理入門」で鍛えましたのでついていけます。
詳しい解説をどうぞよろしくお願いいたします。

A1


結論から行くと,蓄えられたエネルギーはCV^2/2にならないのではないでしょうか。電磁波によるロスが無ければ振動して最大値は2CV^2だと思います。二つのモデルを考えてみました。

【モデル1】
疑問点1で考える際に,電子は無限の速さで流れません。疑問点2で触れる電磁波によるエネルギーロスや,モデル2における自己インダクタンスを考えない場合も,単振動になって,最大の蓄えられるエネルギーは2CV^2になる気がします。
電子の運動方程式を立てて考えてみると(銅線の長さはlで一様に電場がかかるとします。この仮定は何か怪しい気がします。),
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単振動になり,Iが最大になるのはa=0であり,その時はQ=CVです。ここは振動の真ん中なので,Iはその後も流れます。つまり二倍の2CVまで溜まるのではないでしょうか?2CV送り出した時は電池の仕事=2CV^2 であり,コンデンサーの仕事も同じになってエネルギー保存則を満たします。

【モデル2】
回路自体の自己インダクタンスを考えれば,LC回路になるので,これも単振動になります。さらに,電磁波によるエネルギーの消失もあるので,厳密には抵抗が0であろうが減衰振動になるのではないでしょうか?

単振動ととらえた場合にも,自己インダクタンスで初めは電流が流れず,コンデンサーがマックスの時に電流が0となることから,
QA_phy_1_2.png

となって最もコンデンサーに電荷がたまった際には2CVの電荷です。

減衰振動になった場合は,減衰することによってたまった際のコンデンサーの最大エネルギーが下がる,すなわちその時の電圧も下がってしまうため,電源に対する反発力が足りません。そのため,最大のQは徐々に下がっていき,最終的には電源と釣り合うところで止まるかと思います。

Q2

ご回答ありがとうございます。

以下に私の考え方を書かせていただきます(どこかが間違っているはずですが、どうしてもわかりません)。

まずR=R(有限)の場合を考えて普通に回路方程式(キルヒホッフ第二)を立てて解き、
I(t)=dq(t)/dt=V/R・exp(-t/RC)を導きます(ここまではどの参考書にも載っており、I-tグラフも減衰曲線)。
ここでR→0では、スイッチをつないだ瞬間t=0のときI→∞となり、その後はIは∞から一気に下がるというI-tグラフ(尖った関数)を考えました。

多くの高校生は安易に(?)上記のように考えると思うのですが、これはやっていることがおかしいのでしょうか?
おかしいとしたらどこがおかしいのでしょうか?この考え方では電流Iの単振動がどうしても出てきません。
※今回はあくまでもR=0、L=0のコンデンサー充電回路を仮定しているので、モデル2のようなLC回路による単振動は考えません。

・・・非常に難しいです。何が正解なのかわからなくなってきました。

A2


求めている式自体がR=0で成立しないのはR=0で割っているので定義されないためです。極限は極限なので,R=0で不連続な関数になっていればR=0のときの値は求められません。求められるのはRがものすごく小さい場合,つまりRが存在する場合のことです。このときI→∞になります。

しかしながら,R→0(=0ではなく)でI→∞になるということに関しても否定できます。モデル1で見たように,電子には質量があり,一瞬で無限の速さまで加速することはありえません(また,相対性理論により光速に近づくにつれて,加速に必要な力も∞に近づきますので,時間をかけようが光速は突破できません)。
それにもかかわらず,V=RIが成立すると仮定していることは,その導出である

0=eE-kv (kは抵抗の定数)

を前提としており,電子はすでに加速済みのところでしか考えていません。通常の問題においては加速までの時間が無視できる範囲で,かつ,抵抗がvに比例する範囲にvに収まっているということでしょう(導体中の電子の流れはとてつもなく遅いです。自由電子の密度nがわからないので求めにくいですが,1Aって1秒でたったの1Cなので,大して移動しません。)。

Q3


・やはり【モデル1】の結論である「振動」が答え?
・ジュール熱ないので(放射エネルギーさえ無視すれば)エネルギー散逸ないので振動し続けて定常状態としてのいわゆる「充電」はできない? 
・もし「振動」が解ならば、(ミクロ視点の電子の運動方程式からではなく)マクロ視点の回路方程式から電流Iの振動解をどのように導出するか?

A3

我々の知っているマクロの法則というのがそもそもオームの法則を前提としているので,限定的な条件(Iが小さい)でしか成り立ちません。
なのでそこから考えることになります。
その際に電流が電子の運動であるというミクロの事象は使わざるを得ないです(やっていることは見かけが違うだけで上の回答と同じ)。

抵抗なしの導線に電池Vをつないだ時のエネルギー保存則から,
QA_phy_1_3.png
となります。ここでは電流が電子の速度に比例するというミクロの事象を使って,抵抗によるロスなく,電池の仕事=電流の運動エネルギーを考えています。
両辺を微分すると
QA_phy_1_4.png
となり,無抵抗の法則が得られます。これがオームの法則の代わりになる法則です。

これを用いて電圧降下の式を立てると,
QA_phy_1_5.png

となって,単振動の式が得られます。

オームの法則的に用いましたが,コンデンサー付きでエネルギー保存則を立てて微分しても結果は同じです。
QA_phy_1_6.png

上記から抵抗によるロスがなく,電池の仕事は電流とコンデンサーのエネルギーになると考えると単振動になります。
普段のオームの法則はこの電流のエネルギーを無視している感じです。

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灘中学校2017年算数1日目第5問
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解説


何かいいのが思い浮かばなかったので方程式で。

上った時間が分からないので面倒です。これをAとして,ボートの速さをx,川の流れの速さをyとして距離で等式を作っていきます(時間で立てると分数になるので)。不明なものが3つなので3本立てればOKです。一つ目はボールの位置から,二つ目はボートの下った距離から,三つめは上りの距離からです。式変形は問われてもいないAを優先的に消していきます。中-下-上で消えます。
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代入した内の二つからAを消します。
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ということで2.5倍,分速45mです。




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灘中学校2017年算数1日目第4問
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解説


不明な量のものが加えられていたりすると一気に難しくなるので,変わらない物に着目します。つまり水の不変性に着目すると,Aの80%はBの90%の3倍です。したがって,それぞれの容器の砂糖水は27:8となります。ということで,Bは

665×8/35=19×8=152g

となります。砂糖は10%なので15.2g入っており,また,後から加えられた砂糖は

152-150=2g

です。よって,元々には砂糖が

15.2-2=13.2g

入っています。

13.2/150×100=8.8

【別解答】
数学としてはただの方程式なので,淡々と方程式で解いておきます。

分からないものを文字で置くので,元の水の%をx,Aに追加した砂糖をyとし,水に関しての等式を立てます。なぜならば,後からわからない量の砂糖を入れているので,砂糖については等式が立てにくいです。
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別の置き方でもいいです。
元の水の%をx,20%の砂糖水をyと置きます。全体で立てるか個別で立てるかはご自由に。ここでは容器AとBを個別に立ててます。xだけ求めればいいですが形的にyが求めやすいのでyをここでは求めてからxを求めてます。
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灘中学校2017年算数1日目第3問
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解説

高校生以上にはおなじみの群数列と言われるものですね。何度も1が出てきていて,その次が必ず整数で1ずつ増えているのでその辺で区切ります。また,分数は普通の分数に直しておきましょう。基本的に分数は分母分子が別の規則になっていることが多いです。整数も分数にすると一貫性が保てます。
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といった具合に分子が固定で,分母がその数まで増えていきます。つまり,同じ分数のグループに入る数は何番目のグループなのかと同じになります。1から連続する数の和が100に近いものを探します。公式を覚えていれば(いなければ足してけばいいだけ),
n(n+1)/2
が100ぐらいなら良いので,適当に入れて,n=14で105番目になることが分かります。この数は14/14なので,5個巻き戻してやれば,14/9です。1と5/9

分母が3になってかつ,分子が7になるものを探します。ただ,これは約分後なので,それを考慮すると,登場が早い順に分子が小さいので,
7/3
14/6
21/9
となります。つまり,求めるものは21/9であり21グループ目の9番目です。
20×(20+1)÷2=210
が20グループの最後なので,9を足して219です。


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灘中学校2017年算数1日目第2問
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解説

めんどくさいので方程式で。男子の数をx,女子をyとします。人数の合計と,二つの配り方の差から
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灘中学校2017年算数1日目第1問
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もはや説明は不要な問題ですね。逆算して解いていきます。何かほかにいい方法は思いつかなかったです。

解説


同じ数字が出てくるとまとめられるので,その辺は考えて計算してみましょう。
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灘中学校2017年算数解説

1日目

今更というか完全に忘れていました。いい解法が思いつかないものは方程式で解いてしまってます。まあ灘だし方程式ぐらいできてくれてもいいかと。私の思う難易度順は,12>>9=11>5>4>7>6>8>10=3>>2>1といったところです。

2日目
難易度的には4≧3>5>2>1なんでしょうかね。相変わらず立体図形は嫌いなので3は過大評価かもしれません。図を描いていてわけわからなくなりますね。

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