ひたすら受験問題を解説していくブログ
灘中学校2013年算数:第一日目第9問
1-9.png
さて、この辺から私の大嫌いな図形問題が出てきます。中学生以降の手法を使っていいなら難易度は下の中、小学生までに限定すると難易度は上の下といったところでしょうか?ちなみに、私は時間計測して解いた時は解答3の1次関数の方法でチートしました。ちょっと足りないかも知れませんが以下の図で説明してみます(Oはど真ん中です)。
a1-9-1.png

解答1

解法のポイント
  • 求めやすい図形を全体から引いていって斜線部を求める
  • 重なっている部分を考慮する
  • 求めにくい図形を求めなければならない場合はそれに相似な図形がないか調べる
  • 対称性の利用

まずは、外側で求めやすい図形から引いてやります。すると、三角形DEF(8×4÷2=16cm2)やそれと合同な三角形がまず思い浮かぶと思います。ただし、これらで引いていくと重なりができてしまいます。三角形DEFと三角形CGHの重なりの部分、つまり、三角形EGIを求めれば五角形CDFIHが求められます。

当然ながら、三角形EGIを求めるためには底辺と高さを求めなければなりません。GEは辺の1/3なので4cmになるので、あとは高さ(IからGEへの距離)を求める必要があります。ここで直接求めるのは難しいため、相似な図形を導入してやります。三角形FHIがそれにあたり、相似比は1:3です。CHが4cmになるので、三角形EGIは高さ1cmになり、三角形EGIの面積は2cm2になります。よって五角形CDFIHは16×2-2=30cm2になります。
次に五角形CDFIHと同じものを正方形ABCDの各辺に見つけます。これらを全体から引いてあげることを考えると、四角形DFJGと合同な図形が4つ余分に重なっています。

さてここで、直接求めるのは明らかにめんどくさそうなので、相似な図形を探してやります。四角形OIJKがそれに当たります。相似比はDF:OI=4:6-1=4:5となります。よって四角形OIJK-四角形DFJG=四角形DFJG×9/16なので五角形CDFIHを4つ足したものは正方形ABCD全体よりも四角形DFJG×9/4分少なくなっています。

つまり12×12-30×4=24=四角形DFJG×9/4となり、四角形DFJGは32/3cm2です。144-120+32/3×4もしくは4×32/3×25/16(斜線部は四角形OIJK4つ分なので)より66と2/3が答えになります。

解答2

解法のポイント
  • 求めるべき図形を求められる図形に分割して求める(三角形や長方形に分割)
  • 求めにくい図形を求めなければならない場合はそれが面積がわかっている図形の何分の1であるかに着目する
  • 対称性の利用

斜線部を三角形や長方形で分割する。三角形OKJ×8でもいいが、めんどくさそうなので、三角形OKI×4と三角形KJI×4に分割する。まあOKIの方はそれら4つで作られる正方形で考えてもいいでしょう。三角形OKIは解法1と同様の手法でOI=5cmとわかるので、25/2となります。

次に、三角形KJIですが、直接は難しそうなのでKIを底辺とした場合の高さを別の何かで表してあげます。KIを三角形OKIと共有しているのでKIを底辺とした場合のOKIの高さとの比がわかれば求められます。

さて、ここからが思いつくかの勝負ですが、AC、KI、FGをそれぞれ結びます。対称性から全部平行になります。
三角形DACとOKIとDFGは相似です。相似比は12:5:4なので、FGとKI間の距離はADの1/4倍です。また、OKIとDFGの相似比より、互いに相似な三角形である三角形KJIと三角形GJFの相似比も5:4になります。そのため、三角形KJIの高さはAD×1/4×5/9=AD×5/36となります。三角形OKIのKIを底辺としたときの高さはADの5/12だったので、三角形KJIはOKIの1/3の高さになるため、(25/2×4/3)×4=200/3すなわち66と2/3が答えです(カッコ内が三角形OKIとKJIの和、それが4つ分で斜線部です)。

解答3(中学生向き?)

解法のポイント
長方形に直線なら交点は1次関数で簡単にもとまる

交点を求めるだけで、あとは面積を普通にたて×よこでもとめるので、例えばJの位置だけ求めてみます。Gを原点とします。

GJはよこに8戻るとたてに4増えるので、y=-x/2です。FEはよこに4進むとたてが8増え、Gからたてに-4であるEを通るのでy=-2x-4となります。よって-x/2=-2x-4を解いて、x=-8/3、y=4/3つまりGから8/3cm左で4/3上の位置となります。こんな感じでKとかIとかも求めてしまえば、相似な三角形を全く考えなくて良くなるので難易度は激減です。

スポンサーサイト

テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
コメントの投稿
URL:
本文:
パスワード:
非公開コメント: 管理者にだけ表示を許可する
 
トラックバック
トラックバック URL
http://jukenkaisetsu.blog.fc2.com/tb.php/10-42733d91
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
トラックバック