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京都大学2013年前期数学第6問
kyodai_2013_math_6q.png
(2)の難易度は普通+α程度だが、(1)が点を与えるための問題です。(2)の解法は思いついた3つを載せてみました。最後のとか悲惨です。試験でこの解答でいくと漏れない確率の方が低そうです。

解答

解法のポイント
  • 原点(やx軸など)以外の対称移動は、原点に対称の中心を移動→対称移動→対称の中心を元に戻す
  • まとめて問題ない場合は複数の操作をセットで考える


(1)
各移動について考えてみます(ついでに(2)別解答2のために絶対値についても触れておきます)。
表:原点に対称なのでxが-xに行きます。絶対値に変化はありません。
裏:1に対して対称なので、全体を-1スライドさせれば原点に対して対称になります。スライド後はxはx-1になるので、1-xが原点に対称移動後になります。これを再び1スライドさせて元の数直線に戻すと、1-x+1=2-xになります。この時、絶対値はx<1なら+2で2-x>1、x=1なら不変、x>1なら絶対値-2で2-x<1になります。

以上の議論から変わらないためには表表、もしくは裏裏しかあり得ません。
よって1/4×2=1/2となります。

(2)
(1)の誘導にそって2回の移動を一組で考えます。するとn回の-2,0,+2の移動で2n-2に行くことになるので、考えられる移動の組み合わせは+2移動がn-1回、0移動が1回のパターンしかあり得ません(2nが最大なので、その付近で取り得るパターンは非常に制約を受けます)
よって、nC1(1/4)n-1(1/2)1=n/22n-1


(2)別解答1


面倒ですが漸化式でも解けます。(1)の誘導にそって2移動を一組で行きます。2n回移動をして2nにいる確率をqn、2n回移動して2n-2にいる確率をpnとします(求めるべきはpnです)。すると連立漸化式ができるので、これを解いていきます。
kyodai_2013_math_6a-1.png

(2)別解答2


むりやり並びかたを考えて解く解法です。
なんとなくですが、(1)の移動の仕方を見るに、2n-2って結構頑張って移動している気がします。
なので、どれぐらい頑張って移動しているのかを考えてやります(限界だと計算は楽になる傾向があります。二項定理の両端の項では真ん中より計算が楽ですよね)。

絶対値の増え方に注目します。すると-2,0,+2の3通りの移動の仕方があり(他の解答とはことなり2回セットではなく1回での移動です)、(1)の考察から、-2や+2はそれぞれ2連続で使うことはできません。-2なら間に0か+2を合計で奇数回、+2なら間に0か-2を合計で奇数回入れる必要があります。。

よって、もっとも頑張るケースを考えてみると、始まりが原点=0<1を考慮すると初めは-2は取れないので、+2,0,+2,0,・・・・・+2,0もしくは0,+2,0,+2,0,・・・・・0,+2と+2の移動がn回、0がn回のものの絶対値が最大になります。
つまり絶対値は最大で2nにしかなりません。これより絶対値が2小さいパターンを考えればいいことがわかります。
考えられるパターンは2つです。+2がn-1回、0がn+1回のもの。もしくは+2がn回、-2が1回、0がn-1回のものです。

(i)+2がn-1回、0がn+1回のもの
決まりきっている部分に余分な0を加えることを考えます。つまり、+2がn-1回、0がn-2回のもの(+2,0,・・・・・,+2,0,+2)に0を加えていきます。ここで注意すべきものは各移動で点の絶対値が逆転すること(点は1の位置にはこないので)、および、+2と+2の間には奇数回の0が入らなければならないことです。
すると初めて符号がつくのは初めて絶対値+2の移動をした場合です。全体の移動が2n回であることを考えれば、初めての+2移動は偶数回目の移動でなければなりません。よって、0,+2・・・・か0,0,0,+2・・・・のいずれかになります。つまり前者に0,0を挿入していくか(0,0がセットじゃないと+2と+2の間が奇数回にならない)、後者の1通りです。
二つあげましたが、0,+2,0,・・・・・,+2,0,+2に0,0を挿入すれば後者も生成できるのでこの場合の数を求めます。
入り得る箇所はn箇所あるので(+2がn-1なのでそれに1加えたもの)、nC1=n通り存在します。

(ii)+2がn回、-2が1回、0がn-1回のもの
-2は+2となる裏と次の裏の間に0が偶数個なら発生します。よって+2がn回,-2が1回の並べ方を考え、それに0を巧く入れていきます。
初めに-2はこれないので、n通りあります。+2が連続し得ないことからn-2個の0は位置が固定されるもの(+2,0,・・・+2,-2+2,0,+2,・・・・0,+2もしくは+2,-2+2,0,+2,・・・・0,+2)n-1通り、n-1個の0が固定されるもの(+2,0,・・・・0,+2,-2)が1つです。
(ii-1)+2,0,・・・+2,-2+2,0,+2,・・・・0,+2
それぞれに対して、0を初めに加えるか、最後に加えるかの選択肢があり、0が正負反対にしないものとするものなので一方を選べばOKです。よってn-2通りあります。

(ii-ii)+2,-2+2,0,+2,・・・・0,+2
初めと終わりに加えて、+2,-2,0,+2・・・というようにもう一箇所入り得ます。正負を確認すると、初めと途中に0を挿入したパターンで最後が正になるため2通りあります。

(ii-iii)+2,0,・・・・0,+2,-2
これは最後が負になるためダメです。
よって(ii-i)~(ii-iii)より(ii)はn通りです。

(i)(ii)より合計2n通りとなり、2n/22nよりn/22n-1が答えです。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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