ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2013年後期総合科目II第1問A
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電力ネタが来たか!難易度は本年の総合科目では簡単な部類です。点を取っておきたいところです。

(A-1)
それぞれ昼間の消費は昼間の価格が上がると消費が減る一方で、昼の消費の代替となる夜の電力価格が減ると夜に消費がシフトするため昼の消費が減る。夜に関してもこの逆が同様に成立しており、消費者は電力消費を確保しつつコストを下げようとしていることを表している。

(A-2)
x+y=C max{x,y}ならx=yでC/2になるのが最も小さいものです。あとはそれを取りえることを証明します。
C/2=45なので、
100-3p+q=45⇔3p-q=55、50-2q+p=45⇔p-2q=-5、これらを解くと、p=23、q=14とp,qが存在することがわかります。よってこれらが答えです。
この時、px+qy=(23+14)45=1665です。

(A-3)
x+y=100-3p+q+50-2q+p=150-2p-q=90⇔q=60-2p⇔q-p=60-3p、p≧0,q≧0,x=100-3p+q≧0⇔q≧3p-100、y=50-2q+p≧0⇔q≦25+p/2という条件下で、px+qyの最小、最大の問題です。条件を図にすると以下のようになるので、14≦p≦30だとわかります。
todai_2013_sogo2_1a-1.png
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より、(a)p=30,q=0で最小の300、(b)p=20,q=20で最大値1800になります。

(A-4)
(a)
上の図にK>x=100-3p+q⇔q<K-100+3pとK>y=50-2q+p⇔q>(50-K+p)/2を加えます。それぞれ、Kと-K/2平行移動させたものになります。q<K-100+3pを加えたグラフ(k<100より切片は原点を超えません)にq>(50-K+p)/2を加えて移動させていくとわかりよいでしょう。
l1:q=K-100+3pのp軸との交点は(100-K)/3です。これと上から下がってくるl2:q=(50-K+p)/2のp軸との交点K-50が一致するまで、つまり(100-K)/3≧K-50⇔K≦125/2では下図のように平行四辺形。
todai_2013_sogo2_1a-3.png
K>125/2かつq=-100+3pのp軸との交点100/3をl2の交点K-50が超えない範囲、つまり100/3>K-50⇔K<250/3では下図のように5角形。
todai_2013_sogo2_1a-4.png
100>K≧250/3では下図のようにまた四角形に戻ります。
todai_2013_sogo2_1a-5.png

(b)
(a)におけるx+y=150-2p-qの最大値なので、線形計画法のセオリーどおり150-2p-q=kとでもおきます。
q=150-k-2pなので、切片が最小になるものを探してやります。(a)のグラフから、それぞれ原点に一番近いものが切片最小になります。

(i)K≦125/2
原点に一番近い領域の点はl1とl2の交点です。よって(50-3K/5,50-4K/5)を通るので、q=150-k-2pに代入すればk=2Kとなります。

(ii)125/2<K<250/3
原点に一番近い領域の点はl1とp軸の交点です。p=(100-K)/3、q=0ですので代入すると、k=(250+2K)/3となります。

(iii)250/3≦K<100
(ii)と同じです。

よって(i)(ii)(iii)より、K≦125/2ならp=50-3K/5、q=50-4K/5で2k
125/2<K<100ならp=(100-K)/3、q=0で(250+2K)/3が答えになります。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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