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東京大学2013年後期総合科目II第2問A
todai_2013_sogo2_3q-1.png
todai_2013_sogo2_3q-2.png
難しいです。A-2bなんていじめです。自分が解いた方法だと「θ=0の近傍に置ける円の接線の傾きを近似を使って求めろ」って感じになりました。

(A-1)
まずはSがどんな集合か調べます。この際に条件である直線との距離がm増える場合にはどんな集合になるのか考えます。
まず、結論から言うと直線から等距離の点の集合は平行な直線になります。求める点の集合の座標を(x,y)とおいてやれば、点と直線の関係式から、y=10xから距離がmに対応するものは以下のようになります(ただし、mを負にも拡張して直線の両側を表せることとします)。
todai_2013_sogo2_3a-2.png
同様にy=-10xからnの距離にあるものを求めて、x,yについて解くと、Sが出てきます。
todai_2013_sogo2_3a-3.png
ここから逆にm,nが整数となるx,yを求めます。つまり、m,nについて解いて整数となるようにするのですが、無駄な係数を省いた以下のx',y'で考えてしまえばOKです。
todai_2013_sogo2_3a-4.png
この時、
todai_2013_sogo2_3a-5.png
これらが整数になるためにはx'とy'の偶奇性が一致することが必要十分条件です。
よって、x',y'上にプロットすると以下のようになり、それをx,y上の距離に置き換えてやればOKです。
todai_2013_sogo2_3a-1.png
ここでdとDのとりえる値について検討します。
代表的なLとしてx'=0,y'=0、x'=y'は簡単に発見できるのではないでしょうか?この3直線を明示的に選んだ理由は、(0,0)を取り囲む最小距離になりえる8点を通る直線だからです(座標変換の都合上、単純にx',y'上の距離で測れないため、検討する範囲は少し増えています。)。
これらの直線から直線の傾きを変化させた場合、3直線にならない限り、Dは点の分布の対称性から必ず減少し、dも必ず増加します(取り囲む点より外側に来ます。)
よってとりあえずはこの3直線を吟味してやれば何か見えてくるかもしれません(L上や距離が最小となる点が無限にあることは分布の仕方を見れば偶数、奇数が無限にあることや整数が無限にあることに帰着します)。

(i)x'=0のとき
原点からL'上で最短のものx'=0,y'=2なので、x,y上の距離でd=√101です。また、L'から最短の点はx'が1だけ離れた点なので、D=√101/20となります。よってD/d=1/20でだめです。

(ii)y'=0のとき
(i)と同様に、d=√101/10, D=√101/2。よって、D/d=5。これはx軸に平行な直線。

(iii)x'=y'のときdを求めるにはx'=1,y'=1と原点の距離をx,y上の距離に直すもので、またDも同じになるので、D/d=1となりダメです。

(i)から(iii)以外の直線は(i)よりもD/dが小さくなることは前に述べた通りなので、(ii)のみがD/d>1を満たし、D/d=5。これはx軸に平行な直線y=√101/2 m (mは整数)です。

(A-2)
まず、Sを考察します。y軸から整数なので、整数pによって(p,y)と表せる点です。次にあるnがあって(n,0)からPの距離がRになる点です。つまり
todai_2013_sogo2_3a-6.png
なる点です。

(a)
dですが、y=aなので
todai_2013_sogo2_3a-7.png
が成立します。しかしここで、任意のpに対してnを適当に選べばN=|n-p|が成立するものは取れてしまうので、SのL上の点のは、x座標が整数の点すべてだとわかります。
よって、d=1。

次にDですが、|n-p|は結局整数になることから、Lに近いものは|n-p|=N+1かN-1です。ここで、aやyの式はどこかでみたことありますね。円です。つまりaやyがRsinθということになります。
sinθの微分が-cosθになって0≦θ≦π/2ではπ/2に近づくほど減少量が小さくなる(2階導関数である-sinθが大きくなる)ことを思い出してみると、|n-p|=N-1の方がy方向への変化量が小さいためDが最小になります。
よって
todai_2013_sogo2_3a-8.png
となります。

(b)
平均値の定理によってあるN-1≦c≦Nが存在して次のことが成立します。
todai_2013_sogo2_3a-9.png
さてここで、(N-1)/R=cosθと置き(0≦θ≦π/2)、D/d=Dが5になる境界をみたいので。上の式の一番右が5になる場合を考えます。
todai_2013_sogo2_3a-13.png
cosθとsinθの増減が逆になることを考慮すれば、cosθ>5/√26を示せばD/d>5が示される。
todai_2013_sogo2_3a-11.png
上の式ではa<100とR>1000を使っている。
todai_2013_sogo2_3a-12.png
これは計算するまでもなく>0なので、D/d>5が示された。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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