ひたすら受験問題を解説していくブログ
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東京大学2013年後期総合科目II第2問B
todai_2013_sogo2_4q-1.png
todai_2013_sogo2_4q-2.png
todai_2013_sogo2_4q-3.png
まずまずの難易度です。というよりも商を定義して解いていくという道筋ですが、もし誘導がなかったら結構な難問です。もしかしたら解くのに日単位で時間がかかるかもしれません。このレベルの作問ができるようになりたいものです。

(B-1)
f(θ)を直接求めてしまいます。
(a)まず適当にAのy座標を表してやると、lsinθ-OBとなります。なので、OBを求めてあげられればOKです。OBを含む方程式を解きたいということです。
下図でOP=O'P'なのでOBを利用して2通りの方法で表して解いてやります。その際にはPP'が1ということを使います(なぜならば、PP'の長さによって同じθでもOBの位置が変わるので関係があります)
todai_2013_sogo2_4a-1.png
todai_2013_sogo2_4a-2.png
よってd=sinθ0に注意して商を求めると
todai_2013_sogo2_4a-5.png

(b)
同様に下図で求めてやります。
todai_2013_sogo2_4a-3.png
todai_2013_sogo2_4a-4.png
商を求めると
todai_2013_sogo2_4a-7.png

(B-2)
(a)
上で謎の商を求めたのでそれを使います。また、問題文で使っていない不等号がたくさんあります。具体的にはl>1を使います。また、sinθは考えている範囲で単調増加なので
todai_2013_sogo2_4a-8.png

となり。最大はθ0のときで、m0=lsinθ0=ldとなります。

(b)
θ0≦θ<π/2のときにはみ出ないことが条件になります。
つまり
todai_2013_sogo2_4a-9.png
がすべてのθについて成り立ちます。cosθ0⁡-cos⁡θ≧0より、右辺の最小値はθ=θ0の時になります。よって
todai_2013_sogo2_4a-10.png

(B-3)
(a)
lを大きくしていくので(B-2)の(b)の範囲外だけ考慮すればOKです。θ0≦θ<π/2におけるf(θ)の微分して最大値を求める必要があります。
todai_2013_sogo2_4a-11.png
当然のごとくどうともならなそうな形です。求めたいも、lとθ1の関係を見るためにl=の形にして、θ1で微分してやります。面倒ならば初めからcos2倍しても大丈夫です(cos2は有限かつ正なので)。
todai_2013_sogo2_4a-12.png
となるので、下に有限で(sinθの単調増加性を考慮すると下に凸の可能性が高い)でθ1=π/2に近づくと+∞になる関数だとわかります。
よって、π/2が答え。

(b)
todai_2013_sogo2_4a-13.png
最後は分母は1-d以上、分子はcosが0に収束かつカッコ内は有限だからです。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
ソファの問題に似ているな
2016/03/05(土) 10:51:34 | URL | takahiro #- [ 編集 ]
その問題自体を知らなかったのですが,調べてみたらかなり似ていますね。
きっと元ネタなんですね。
2016/03/06(日) 07:13:31 | URL | 解説の人 #- [ 編集 ]
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