ひたすら受験問題を解説していくブログ
京都大学2013年物理第1問
kyodai_2013_phy_1q-1.png
kyodai_2013_phy_1q-2.png
kyodai_2013_phy_1q-3.png

よく見る形の問題です。証明が難しい事項などはすべて問題文で与えられているので、穴埋め問題を中心に確実に点をとっておきたいところです。京大は難関大学なので遠慮なく積分を使います。すみません。

(1)

問題文に外側の部分は無視できるとあるので、内側部分が中心Oに集まったとして考えます。
まず質量を求めます。半径がRの全体がM、内側の半径はrであり、密度が均一であることから、質量は体積に比例します。よって相似比からMr3/R3となります。万有引力の式に代入すれば、
kyodai_2013_phy_1a-1.png

Oを原点、図の右側をr軸の正として運動方程式を立てると
kyodai_2013_phy_1a-2.png
となるので、周期は
kyodai_2013_phy_1a-3.png
(2)
ウ、エ
単振動の場合(というか位置エネルギーの場合)はエネルギー保存則で速さを求めるのが定石です。なのでまずは位置エネルギーを求めますが、r>Rかr<Rで保存力が変わってくるので、それを考慮してエネルギーを求める必要があります。
kyodai_2013_phy_1a-4.png
となります。全体が原点基準の位置エネルギー、第二項が地表基準の位置エネルギーです。よって、これらが運動エネルギーに変わったという式を立てて求めると、
kyodai_2013_phy_1a-5.png
オ、カ
弾性衝突なので、運動量保存と、反発係数もしくは運動エネルギー保存則でいけます。
kyodai_2013_phy_1a-6.png
問1
無限遠までいってもまだ運動エネルギーがある場合と言い換えられるので、無限遠までに必要なエネルギー≦運動エネルギーということです。左辺はウエの積分においてμをm、hを無限にしてやれば出ます。右辺はh=0の場合に質量mでvの物体が持つ運動エネルギーです。μ/m>0に注意して処理すると、
kyodai_2013_phy_1a-7.png
(3)

アのx方向成分を求めればよいので、cos∠O'OPをかけてやればOKです。x/rになるので、
kyodai_2013_phy_1a-8.png

キはrをxに変えただけなので、周期はイと同じになります。反対側の地表は半周期後なので、
kyodai_2013_phy_1a-9.png
(4)

(2)と同様に考えます。式はほとんど同じになるので計算は実際にしなくて(2)を参照すればいいでしょう。はじめの積分はAの位置エネルギーとO'時点のAの速度。次の連立方程式は衝突前後の速度、その次の積分以降はBの位置エネルギーと運動エネルギーの比較です。
kyodai_2013_phy_1a-10.png


これは前提として地表から打ち出されたものが第二宇宙速度未満なら楕円軌道(円や直線の往復を含む)を描いて元の位置に戻ってくるため、水平(接線方向)に打ち出されたとき以外は地表にぶつかるという知識がないとちゃんと解くことは難しいです(ケプラーさんから導き出します)。
とりあえず上記のことを知っているとして解くと(地表から出た後はx軸ではなく距離rで考える必要があります)、
kyodai_2013_phy_1a-11.png

問2
エネルギー保存則と面積速度一定から行きます。まず、最も離れた点の速度をvとしてエネルギー保存則
kyodai_2013_phy_1a-12.png
vさえ求まれば解けるとこがわかりますので、vが入っている面積速度一定からvを求めます。地表から出たときの速度をv0としておきます。
kyodai_2013_phy_1a-15.png
sinθがわからないとダメです。速度をr方向とそれに水平な成分に分解してやれば、速度と水平成分の比がsinθになっていることがわかります。常にr方向に引かれるので、最も離れた点ではr方向の成分が0、すなわちsinθ=1ということがわかります。以上から
kyodai_2013_phy_1a-16.png
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
コメントの投稿
URL:
本文:
パスワード:
非公開コメント: 管理者にだけ表示を許可する
 
トラックバック
トラックバック URL
http://jukenkaisetsu.blog.fc2.com/tb.php/107-aede7d5a
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
トラックバック