ひたすら受験問題を解説していくブログ
大阪大学2013年数学第1問
handai_2013_math_1q.png
証明自体は普通に習うものなので思い出しながらやれば難しくないですが、全く知らないと少し悩むかもしれません。

解答

解法のポイント
  • 直接求まらない極限ははさみうつ


x→0で分子、分母ともに0になりますが、sinの微分を問う問題なのでロピタルも使用不可能です。また、知っている人は知っているであろうテイラー(マクローリン)展開も使用不可となります。

なのでちゃんと求める必要がありますが、sinxはx2のようにxで割れるとかではないため(割れるような式にするのはマクローリン展開)、直接求められそうにありません。
なので、同じ値に収束するけど求めるものより大きいもの、求めるものより小さいものではさみこんで求めます。
sinxをxで割ったものなので、sinxより大きいもの、小さいものとsinxを入れ替えるか、xより小さいもの、大きいものでxを入れ替えれば、それぞれ求めるものより大きいものと小さいものができます。

結論からいくとx→+0なら以下の図でsinx<x<tanxなのでこれを使います。
handai_2013_math_1a_1.png
つまりxをこれらで入れ替えることになるので、
handai_2013_math_1a_2.png
より1です(負から近づく場合はsinx>x>tanxと順番は逆になりますが同様です)。

微分の定義の式を立てて三角関数の和の公式(?)というなの加法定理の亜種を使うと、
handai_2013_math_1a_3.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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