ひたすら受験問題を解説していくブログ
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大阪大学2013年数学第3問
handai_2013_math_3q.png
一見難しそうだが、試行錯誤しているうちに解けてしまう問題です。

解答

解法のポイント
  • 手がつけられないときは具体的な数字を入れて検討する
  • 素数ではない=ある素数で割れて、かつ、その素数ではない


この問題をみて私が思いついたことは、4つのうちでどれかは共通因数を持つ、すべてが素数として背理法でなんとかかんとか、とかでしたがダメな感じでした。

なので、具体的に割れる割れないをいくつかの素数で試してみました。割れるか割れないかの判定だと、2k-1だのおいたり、modで処理していくことが定石です。modは進学校なら結構おなじみなので気にせずmod的な処理を使っていきます(A≡B(modC)とはAをCで割ったあまりとBをCで割った余りが等しいことです。さらにD≡E(modC)なら、A+D≡B+E(modC)やAD≡BE(modC)が成立します)。

2は見た目的にすべての偶奇が一致するので、nを偶数とすれば全部2で割れません。
次に3ですが、3では余りは0,1,2が考えられます。すると4つの数の余りは次のようになります。
(i)n≡0(mod3)の場合
0+1≡1、03+3≡0、n3+3≠3より素数ではないので以下省略
(ii)n≡1(mod3)の場合
1+1≡2、13+3≡1、15+5≡0、n5+5≠3より素数ではないので以下省略
(iii)n≡2(mod3)の場合
2+1≡2 (これはn+1=3の場合もあるので無視)、23+3≡2、25+5≡1、27+7≡0、n7+7≠3より素数ではない

(i)~(iii)より4つの数のうちでどれかは、3で割り切れるかつ3ではない、つまり素数ではない。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
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このコメントは管理人のみ閲覧できます
2013/03/25(月) 06:53:35 | | # [ 編集 ]
問題解説のご依頼はありがたいのですが、依頼された問題自体が手に入らないため解けそうにありません。
2013/03/25(月) 20:34:26 | URL | 主 #- [ 編集 ]
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