ひたすら受験問題を解説していくブログ
大阪大学2013年数学第2問
handai_2013_math_4q.png

典型的な立体の求積問題です。難関校受験者は押さえておきたいところですので、積分の仕方を2つ(普通のとバームクヘン)を提示しておきます。
今回は東京大学2013年前期第6問において駿台さんがやっていたようにベクトルで求めていますが、普通に三平方の定理を何回か使って求めることももちろん可能です。

解答


解法のポイント
  • 図形問題は座標系だけでなくベクトルでも考えてみる
  • 円錐→頂点からの垂線と側面のなす角が一定

円錐をぐるっとy軸まわりに一周させるということは、通常のy軸に沿った積分(y軸に垂直な平面で切った断面積を積分するやつです)なら断面の形、つまりx,z平面の形が必要です。また、バームクーヘン積分(今回はこちらの方が面倒だったりしますが)の場合は、y軸からの距離を決めたときのyの値が必要になります。

回転前の円錐の底面以外のベクトル(x,y,z)と、x軸に平行なベクトル(1,0,0)で内積をとります。角度がπ/4であることに注意すると、
handai_2013_math_4a-1.png
となります。この式からy固定の断面やx固定のyを求められます。

(i)y固定断面
上で求めた円錐を回転させた図形なので、y軸から一番近いところの長さと遠いところの長さを知ればOKです。求める図形はy軸に回転対称なので、いずれの長さも回転前の円錐で求めてやればOKです。y軸からの距離は円錐の方程式を利用すると
handai_2013_math_4a-2.png
となります。円錐の方程式(もしくは元となった直線)からxの範囲を求めると、|y|≦x≦1となります(x2=y2+z2なのでz=0のときxは最小で|y|)。よって長さは|y|が最小で√(2-y2)が最大になります。断面積を求めて積分すると(xz平面に対称なので0から1の積分を2倍しています)、
handai_2013_math_4a-3.png

(ii)バームクーヘン法
今回は普通にやったほうが簡単ですが参考までにバームクヘンもいきます。y軸からの距離rを固定した場合のyの範囲を求めます。r2=x2+z2なので円錐の側面においてy2=2x2-r2となります。xの範囲がわかればいいので、再びr2=x2+z2からx2=r2-z2なので、x≦1を思い出せば、r≦1ならばz=0でxは最大値r、r>1ならばx=1が最大です。
これらを代入したときのyが最大値と最小値になります。図にするとこんな感じです。
handai_2013_math_4a-4.png
S1から生じる回転体は円柱から上下の円錐を引いたものなので1×1×π×2×2/3=4π/3です。
S2は積分で求めると
handai_2013_math_4a-5.png
となり合計で8π/3です。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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