ひたすら受験問題を解説していくブログ
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灘中学校2013年算数:第一日目第11問
1-11.png
個人的に難しいと思います。こういう図形問題なんてなくなるとうれしいです。高校数学(余弦定理とか)に毒されていることもあって、生徒に聞かれてもノータイムで解答を言えそうにありません。でも図形が得意な人はパッと解いちゃうんでしょうね。

解答

解法のポイント
  • 求めるのが角度なら角度をいじって出ないか検討。それでもダメなら残りの使っていない要素(ここではMが中点だとか)と関わる形で補助線。それでもだめならアクロバティックな謎補助線(自分はこんな順に考えることにしています)
  • 中点や何対何の点などは平行線を引いて相似な三角形を作る

a1-11-1.png

まず、わかってる角度からいろいろやってみましたが、何も出てきません。なので、使っていない要素(Mが中点、MD=5cm、AC=5cm)が関わってくる補助線を引きます。中点の場合はどこかと平行な線を引いて相似三角形を作るのがよくある作戦であり、ACとも関わるようにしたいので、ACに平行な線MHを引きます。相似比よりMH=2.5cmとなります。これにまだ使っていないMD=5cmを絡めると、MDHが正三角形の半分だとわかります。よって∠MDHは30度になり、イは180-75-30=75度とわかります(左辺で出てくる75度は90-ア)(①)。

次に、BDですが、BDを含む三角形を探してやると三角形BDMかBDAしかありません(直接長さから求めるBC-DCはBCもDCも骨が折れそうなので断念)。二つの三角形のうちより多くの情報があるのはBDMなのでこっちを考えます。
Mが中点ということを使い、Dも中点になるように平行な線AEを描きます。
するとAE=10cmということと、∠AEC=30度であることがわかります。BDを求めるためにはBEもしくはDEがわかればOKです。三角形BAEよりもより情報の多い三角形AEDに着目すると二等辺三角形であることが角度の計算からわかるので、DE=AE=10cmになることがわかります。よってBDも10cmになります(②)
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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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