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東京工業大学2013年数学第1問
tokodai_2013_math_1q.png

はずしたくない大問です。個人的には(2)みたいな問題はよくミスする(実際した)ので私の中では今年最難問ですけどね。

解答

解法のポイント
  • n&証明と来たら数学的帰納法
  • 2次方程式の解α、βときたら解と係数の関係
  • αn+βnは(α+β)(αn-1+βn-1)、(αk+βk)(αn-k+βn-k)、(α+β)nのどれかから生成

「見るからに数学的帰納法です。ありがとうございます。」と試験会場で言えるようになって欲しい問題で、数学的帰納法の基本問題です。しかも○○の倍数系の問題は合わせるものがひとつしかないので取っ組みやすいです。=系問題だと2通りだし、>系問題だと2通りに加えて不等号の証明問題が加わります。

解と係数の関係より、α+β=3、αβ=5です。証明すべきこととして、αn+βnが整数ということを追加しておきます。

(i)n=1のとき
α+β-3=3-3=0=0・5、またα+βは3なので整数です。

(ii)n≧2のとき
n=kまでのnで成立すると仮定すると、αk+βk-3kは5の倍数で、αk-1+βk-1は整数になります。
最終的に示したいn=k+1との違いを見てみると次数が違うだけで、具体的な3よりもαとβをあわせる方がのちの調整がつきやすいのでαとβを合わせに行きます。
ポイントでも述べたようにこの形は良く出てくるもので、αk+1+βk+1=(α+β)(αk+βk)-αβ(αk-1+βk-1)です。
よってαk+βk-3kにα+β=3をかけると、αk+1+βk+1-3k+1+αβ(αk-1+βk-1)であり、これは
仮定より5の倍数です(5の倍数に3をかけたものになるので)。証明すべきものとの違いであるαβ(αk-1+βk-1)に着目すると、これは5×整数となっているため、残りのαk+1+βk+1-3k+1も5の倍数になります、また、3k+1は整数なのでαk+1+βk+1も整数になります。
よってn=k+1においても成立します。

(i)(ii)より、αn+βn-3nは5の倍数となります。

【参考】
0以上の整数kにおいてαk+βkが整数ということが証明されていれば、
tokodai_2013_math_1a-1.png

となり、最後のΣ内も整数になるので5の倍数であることが証明できます。

(2)
箱を6つ用意します。順番に1から4とナンバリングしておきます。次に4つの数字を選んで(6C4)、1から4の箱の前に置きます。6つの玉を適当に配布します(6!)。ここで、残り2つの箱を1から4の箱の後ろに置きます。若い箱の後ろにある順から5,6とします。5,6重ならないようにおく場合は4C2ですが、例えば1と5が重なる場合には、中身が逆のものが重複するので1/2します。6の箱に関しても同じなので4C2×3/4=3/2となります。5と6が重なる場合、4通りですが、例えば1,5,6が重なる場合には3!の並びがあるので、4/3!=2/3となります。
以上から6C4・6!・(3/2+2/3)/66=325/648となります。

あんまり解説する気ない感じですみません。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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