ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京工業大学2013年数学第2問
tokodai_2013_math_2q.png

行列式とトレース(対角成分の和)な問題。難易度は標準か?(2)のtの方は類題を解いたことがないとハミルトンケーリーに至らないかもしれません。

解答

解法のポイント
  • 高次式は整式の除法を活用する

(1)
2次元じゃなくても成り立ちますし、n次元でも証明は簡単です(大学の定期試験で出る程度のレベル)。
まず以下の様において左辺を計算して右辺を導きます(パッと見で項の数が違うので、途中で消える項があると思われるため、項の数の多い方から計算します。)。
tokodai_2013_math_2a-1.png

(2)
まず(1)よりΔ(A5)=Δ(A)5=1であり、Aの成分はすべて実数なのでΔ(A)も実数となることから、Δ(A)=1となります。
yの方はx=1+√5の時、x5の値を求めろ的な問題を思い起こして欲しいです。高次式の値は=0となる式で除して求めるので、その逆も可能ということになります。
今回は=0となる式が与えられていないので、yが入る形で作ってやる必要があります。行列で=0といえばハミルトンケーリーです。Δ(A)=1をあらかじめ代入しておくと、A2-yA+E=0となります。これでA5を割っていけばいいのですが、yの次数が高くなるので、両辺にA-1を2回かけてA3=(A-1)2と変形してやります。
また、、A2-yA+E=0にもにA-1を2回かけて(A-1のハミルトンケーリーと同じです)、(A-1)2-yA-1+E=0として両辺をそれぞれで割って余りを出すと、
tokodai_2013_math_2a-2.png
(1,2)成分および(2,1)成分から
tokodai_2013_math_2a-3.png
(1,1)成分とかは代入が面倒なのでトレースをとって、
tokodai_2013_math_2a-4.png
であり、y=2の方がb=c=0であることを考慮すれば、Δ(A)=1を満たすものが
tokodai_2013_math_2a-5.png
と存在するのでこれらのyが答えになります。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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