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東京工業大学2013年数学第3問
tokodai_2013_math_3q.png
なんか試行錯誤しているうちに解けてしまう問題。グラフの概形を求める方法はいくつかマスターしておきましょう。難易度は中の上?

解答

解法のポイント
  • 極小か極大はf''の正負で判定
  • 連続関数において極小と極大は交互になる

グラフの概形を求めるために左辺=f(x)とでも置いて微分します。
tokodai_2013_math_3a-1.png
パッと見でx=eの時に成立するのはわかりますが、他の解がないか不明です。情報量を増やすためもう一度微分してみます。
tokodai_2013_math_3a-2.png
またしてもどうともならない形の式ですが、極小か極大の判定はf''の正負で判定できることを思い出して、f'の等式を代入してやります。
tokodai_2013_math_3a-3.png
となるのでx>0の範囲において極値を取るxがx<e-1なら極大、x>e-1なら極小になることがわかります。これとf'(e)=0、連続関数において極小値や極大値は連続しないこと(極大値のあとに極小値がこないで極大値が来ることはない)から、x>e-1で変極点はなく極小値が1つ(x=eのこと)、x≦e-1で極大値が1つ以下ということがわかります(等号が入るのはx=e-1でどうなるかは不明のため)。
更にf(0)=1>f(e)=0、0<x<eの範囲(等号を除いているのは両端のf'(x)≧0なのはわかっているため)でf'(x)<0となるxが存在します。f'(0)=1なので中間値の定理より、f'(c)=0となる0<c<eが存在します。
x>e-1で変極点はなく極小値が1つであることを思い出せば0<c≦e-1に絞れます。具体的な値を検証するために、f'(x)=0から得られた等式のlogをとってやります。
tokodai_2013_math_3a-4.png
xでまとめたいので、logx=0、つまりx=1の場合とx≠1の場合で分けて検討してみます。としようとしてみたところ、x=1の時点で等式が成立してしまい、x<e-1のf'(x)=0の点が見つかってしまいます。極大値は最大で1つなのでこれが極大値です。よってグラフにすると、
tokodai_2013_math_3a.png
となるため、f(x)=kの解はk<0で0個、k=0またはk>e-1で1つ、0<k≦1またはk=e-1で2個、1<k<e-1で3個となります。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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