ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京工業大学2013年数学第4問
tokodai_2013_math_4q.png
個人的には第1問の(1)と同じくらい簡単でしたが、題意をつかめない受験生は多そうな印象で、難易度は普通か少し上ぐらいでしょう。題意がつかめない場合には具体的なnをいれて試行錯誤してみるのがいいと思います。

解答

解法のポイント
  • 周期ものは周期ごとに考えてやる

まずnを無視します。0≦x≦π/2において、siny≧sinxを満たすyとはどんなyでしょうか。yに制限がない場合には1周ごとに満たすyがあるため、とりあえずは0≦y<2πに制限して考えてみると、x≦y≦π-xであることが分かると思います。yは何週してようがかまわないので、0以上の整数kを用いてx+2πk≦y≦π(2k+1)-xの範囲になります。ここでnを戻します。
x+2πk≦4nx≦π(2k+1)-xとなるので、これを満たすxの範囲を求めるために解いてやると、
tokodai_2013_math_4a-1.png
となります。この区間が存在するためにはその区間の長さが0以上でなければなりません。
tokodai_2013_math_4a-2.png
であり、また4nxの範囲は0≦4nx≦4n・π/2=2πnなので、kは0からn-1までの整数です。あとは普通にkについて和をとり、n→∞にします。
tokodai_2013_math_4a-3.png
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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