ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京工業大学2013年数学第5問
tokodai_2013_math_5q.png
(1)が難しめで、(2)(3)は標準問題でコメントすることなしといった感じです。それにしても臨時メンテナンスって怖いですね。投稿したと思ったらすべてが消えていました。

解答

解法のポイント
  • 円が内接=内接される側と円の中心の距離の最小値=円の半径
  • 円の積分は扇形引く三角形


円の中心(a,0)と楕円上の点(x,y)の距離を求めます。
tokodai_2013_math_5a-1.png
この最小値=a2を見て行きますが、両辺をa2で引いて考えたほうが表記が楽なので、引いた後のものを平方完成します。
tokodai_2013_math_5a-2.png
あとは楕円の変域-1≦x≦1の範囲に置ける最小値を求めるだけですが、x2の係数と軸の位置で場合分けしていきます。
(i)1-b2<0⇔b>1 ∵b>0
上に凸なので軸から遠い境界が最小になります。軸は分子が正、分母が負なので負です。よってx=1で最小値1-2aを取ります。これが0なのでa=1/2です。

(ii)1-b2=0⇔b=1 ∵b>0
直線の方程式1-2axができます。傾きが負なのでx=1で最小です。つまりa=1/2です。

(iii)1-b2>0⇔0<b<1 ∵b>0
下に凸なので軸が変域内なら頂点が最小、変域外なら軸に近い境界が最小になります。軸は分子も分母も正であることに着目すると軸>0です。
(iii-i)0<軸≦1
tokodai_2013_math_5a-3.png
次にこのaのもとで0<軸≦1を満たす条件を求めます。
tokodai_2013_math_5a-4.png
(iii-ii)軸>1
x=1で最小なので、a=1/2です。このとき軸>1を求めると、b>1/√2になります。

(i)~(iii)より0<b≦1/√2の時a=b√(1-b2)、b>1/√2の時a=1/2となります

(2)
(1)でいう0<b≦1/√2のケースなので軸のxがpで、その時のyがqです。
tokodai_2013_math_5a-5.png
(3)
楕円が外側、円の変域が0≦x≦2a≦1であることに注意して積分します。x軸に対する対称な図形なのでx≧0の部分を2倍すればよいので、x≧0の部分の積分を考えると
tokodai_2013_math_5a-6.png
となります。円の積分なので、角度を求めて扇形から三角形を引いて求めます(それが無理ならコツコツ積分します)。角度は前者後者ともに0から、前者はπ/4、後者はπ/3までになるので(√2/3でくくって代入すればわかり易い)、
tokodai_2013_math_5a-7.png
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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