ひたすら受験問題を解説していくブログ
桜蔭中学校2013年算数第3問
ouin_2013_math_3q.png
一見めんどくさいだけの問題に見えますが余り計算はいりません。

解答

解法のポイント
  • 経路差で考える
(1)
待ち時間をできるだけ短くするように待つケーブルカーを選んであげるだけの作業です。時速の計算がいやなので分速になおしてやります。上りが8/60=2/15、下りが12/60で1/5です。
上り下りのケーブルカーが2km(駅やポイント間の距離)走るのにかかる時間はそれぞれ15分、10分です。
各駅やポイントに達する時間を計算していきます。
上で計算したかかる時間から、まず10分後にBが先にポイントにつきます。Bがそのまま進んだ方がBが止まってAを通過させるよりもかかる時間は少ないので、ふもと近くのポイントをBが通り過ぎるまでAが待ちます(20分後まで)。その後Aが発進します。
Bがふもとに着くのは止まっていないので30分後、Aが山頂に着くのは5分(20分-15分)止まったので45+5=50分後です。(その後それぞれ5分停車しますが、両方休めば関係ないので無視して最後に足します)。
ここまでで20分ずれています。今度はAが近いポイントに行くのは60分後です。一方Bはその時(60-30)÷15=2ポイント分なので同じチェックポイントにいるため、両者が止まらずにすれ違うことになります。

気づく人はここで気づくと思います(天才さんは計算する前から気づくのが許せませんが・・・)が、両者の経路差(AとBが走った距離を下り同士と上り同士で打ち消してやる。順序が逆な気もするが、解答の図を参照するとわかり易い)を考えれば計算しなくても止まることなく交互にふもとと山頂のポイントですれ違うことがわかります。
つまり、ふもと近くのポイントですれ違うと、次の山頂近くのポイントまでの距離はAB共に上りが2ポイント分、下りが1ポイント分になり、経路差は0となるということです。また、山頂近くのポイントですれ違う場合も同様で、次のふもと近くのポイントまでの距離は上り1ポイント分、下り2ポイント分になり、経路差は0となります。

もっと深く考察すれば、ある点ですれ違ったら、全長の半分の距離(ここでは3km)に対してその点に対称な点でもすれ違うということになります。AとBの対称性(のぼりくだりをそれぞれ交互に行なうという対称性)から出てくるものですね。

以上からグラフは以下のようになります(5分の停車を忘れずに)
ouin_2013_math_3a-1.png

(2)
20分以降は繰り返しです。ふもとポイントのすれ違いから山頂ポイントのすれ違いは45分、逆は40分です。よって、5回目は20分+(45分+40分)×2=20分+(1時間25分)×2=3時間10分なので11時10分です。
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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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