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慶應大学理工学部2013年物理第3問
keio_riko_2013_phy_3q.png

1)

dの半分がltanθになるので2ltanθ


S0R0間がl/cosθなので、S0S1間が2l/cosθで、それをk倍すればよいので、2lk/cosθ


Skから出る光はいずれも偶数回反射しているため、位相の反転は無視できます。Sのk=k1、k2からでる光を振幅をAとでも置いて合成すると(公式で解いてもいいかと思います)、
keio_riko_2013_phy_3a-1.png
となります。時間tに関係ない部分が強めあいや弱めあいの部分ですので、cos内がπの整数倍になっていれば強めあいます。すべての光が強めあうということはk1とk2の差の絶対値が最小(0だと同一の光なので除外)となる組み合わせ、すなわち1の時でもπの整数倍になっていることが条件になります(1の時成立するなら、2でもmを2mに置き換えたら成立します)。つまり、
keio_riko_2013_phy_3a-2.png

ちょっと見にくいですが、下の図のようにS1を透過した光の進路にS0から垂線をひいてやると、光路差は垂線のS1から垂線の足までの距離に等しくなるので、d・sinφ1だけウの場合より大きくなります。今はk=0,1で見ましたが、k=k1、k2なら相似比からこのk2-k1倍になります。
keio_riko_2013_phy_3a-3.png

以上からウと同様に合成してやれば、
keio_riko_2013_phy_3a-4.png
となり。ウと同様に差が最小(=1)となるk=k1、k2を考えればOKなので、左辺のk2-k1は1となります。また、左辺のカッコ内第一項は条件(1)を満たすため無視できます(2π/λをかけるとmπになるので影響を与えない)。一方右辺では、最小の角度φを求めるため、nも最小の1になる必要があります(条件(1)による無視をしなければn=m+1)。よって、
keio_riko_2013_phy_3a-5.png

【参考】
上の図は近似だけあって感覚的に違和感を覚えるかもしれません。もう少し数学的にいくなら平均値の定理で求められます(aが小さいときの(1+a)p=1+apという近似でもいけますが)。まずはLをM2から光を映し出すスクリーン的なものの距離としてS0とS1から光の像までの距離を求めると、
keio_riko_2013_phy_3a-14.png
この差に平均値の定理を使います。以下のcはtanφ1≦c≦tanφ1+d/Lを満たすもので、d<<Lならc≒tanφ1です。
keio_riko_2013_phy_3a-15.png


再びウの式
keio_riko_2013_phy_3a-2.png
に戻って考えます。λを短くするということは1/λは大きくなるので、mも大きくなければなりません。つまりより短いλ1で光を強めあうためにはmの次の整数で等式が成り立つということです。
つまり、λをλ1で入れ替えて、mをm+1で入れ替えたものが成立します。
keio_riko_2013_phy_3a-6.png
ここで、mは解答に使えないものなので、解答につかえるλで置き換えてやります。
keio_riko_2013_phy_3a-7.png
なので、代入すると
keio_riko_2013_phy_3a-9.png

2)

図1のものは焦点に置かれていて、(問題文にl≪fと書いていないのはどうかと思いますが慶應さん)dはfに比べて十分小さいので、M2を透過する光はすべて焦点から出ていると近似できます。つまり、M2から出た光は凸レンズを通った後は、x軸に平行な光に近似できるということになります。
これは言い換えれば、凸レンズを通る時点でのy座標がそのままスクリーンに投影されることに他なりません。
そのため、明点が凸レンズの位置でどのようにできるかを考えればOKです。1)でいうφ1で進む光がy=0の次の明点になるので、yは下図の様になるためftanφ1になります。
keio_riko_2013_phy_3a-10.png
φ1は使ってはいけない文字なので、
keio_riko_2013_phy_3a-8.png
となります。最後のカッコはφ1が極めて小さいという近似が使える場合の答えです。


エの式に戻ります。
keio_riko_2013_phy_3a-12.png
nだった部分がmなのはx軸に平行な光がなす明点のnは、φ1の明点、つまりn=m+1の明点の一つ前の整数nだからです。これをφについて解けば、fsinφによって明点の位置が求まります(λの変化が小さいことからφも小さいことがわかるため、近似の方で求めて問題ありません)。
keio_riko_2013_phy_3a-13.png
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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