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東京医科歯科大学2013年数学第1問
ikashika_2013_math_1q.png
(3)は少し難しめですが、誘導が露骨なので、設問間の関連性を考える癖をつけておけば対応可能だと思います。折角なので誘導ガン無視の解き方も別解答として載せておきます。

解答

解法のポイント
  • 与えられている条件(他の設問を含む)と求めるべきものを繋げる操作を考える
  • 文字が多いものは文字を減らしてやる


(1)
求めなければいけないものはα+βでわかっているものはtanαtanβです。この二つが出てくる式を考えます。
ikashika_2013_math_1a-1.png
がまさにそれです。ここでtanαtanβ=1なので分母が0になるので、tan(α+β)は定義外(無限)になります。αとβの定義域から、0<α+β<πなので、定義外はπ/2のみだとわかります。

(2)
文字が多いので与えられた等式を使ってγでも減らしてやります。γ=π/2-(α+β)を使うと、
ikashika_2013_math_1a-2.png
となるので、これを代入します。
ikashika_2013_math_1a-3.png

(3)
(2)と(3)は全く同じ条件の問題なので、(2)の結果を(3)に使えないか考えます。こういう場合には次数が参考になることが多いです。なので、定義域から(3)の式は0より大きいことは明らかなので、(3)の式を2乗して次数を合わせると、
ikashika_2013_math_1a-4.png
となるので後は2乗の項の最小値(最大値はαをπ/2に近づければ無限に近づくのは自明)を求めればいいことになります。その際に2乗の項を含み、できれば情報のあるtanの積も出てくる不等式ができないか考えます。すると
ikashika_2013_math_1a-5.png
が得られます(等号成立はα=β)。α、β以外の組み合わせも考えてやれば、
ikashika_2013_math_1a-6.png
となるので、α=β=γ=π/6の時に最小値√3になります。よって
ikashika_2013_math_1a-7.png

【参考】
やっていることはコーシー=シュワルツの不等式の証明と同じなので、この不等式をそのまま使ってもいけます。
(tan2α+tan2β+tan2γ)2=(tan2α+tan2β+tan2γ)(tan2β+tan2γ+tan2α)
≧(tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα)2=1です。

(3)別解答1

解法のポイント
  • 下に凸な関数のf(x)の平均値はf(xの平均値)よりも大きい
  • 正の数の最小値は相乗相加平均

ポイントにある通りです。tanxは0<x<π/2で下に凸な関数なので
ikashika_2013_math_1a-8.png
です(等号成立はα=β)。なので、
ikashika_2013_math_1a-9.png
が成立します。tan部分をtとでも置いてあげれば、相乗相加平均より
ikashika_2013_math_1a-10.png
となります。等号成立は3t=1/tよりt=1/√3でα=β=γ=π/6です。

(3)別解答2


別解答1の相乗相加をそれ以外で行きます。γを固定した場合に、α=βで最小となるのは別解答2と同様です。
その後今度はαかβの一方(ここではαとします)をその値に固定した場合に同様に考えれば、β=γの時は更に小さくなります。

この操作を繰り返すと。異なる二つの値の平均値を延々と取っていくことになるので、α=β=γに収束します。
つまりこの時が最小だとわかります(ここから動かすと等号が崩れ大きくなるので)。よって代入して与式≧√3となります。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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